1 / 65

本章题头

本章题头. 第四章. 定轴转动. 定轴转动. w. 角动量守恒定律. 角动量守恒定律. 与刚体的. 与刚体的. L. I. w. chapter 4. law of conservation of angular momentum. rigid body rotation with a fixed axis. 内容提要. 本章内容. Contents. chapter 4. 角动量与角动量守恒. angular momentum and. law of conservation of angular momentum. 刚体的定轴转动.

habib
Télécharger la présentation

本章题头

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. 本章题头 第四章 定轴转动 定轴转动 w 角动量守恒定律 角动量守恒定律 与刚体的 与刚体的 L I w chapter 4 law of conservation of angular momentum rigid body rotation with a fixed axis

  2. 内容提要 本章内容 Contents chapter 4 角动量与角动量守恒 angular momentum and law of conservation of angular momentum 刚体的定轴转动 rotation of rigid-body with a fixed axis 刚体作定轴转动时的功能关系 relation of work with energy in rotation of rigid-body 刚体的角动量守恒 law of conservation of angular momentum of rigid-body

  3. 第一节 角动量与角动量守恒定律 角动量与角动量守恒定律 角动量与角动量守恒定律 角动量与角动量守恒定律 s s Angular momentum and law of conservation of angular momentum r r v v 一、角动量 m m sin sin angular momentum q q 大量天文观测表明 v 4 - 1 常量 夹 角 m r q s m 定义： 运动质点 s angular momentum and p v v 对点的 角动量 为 O L m m O v law of conservation of angular momentum L 大小： r v q ) ( r r r r L 方向： 速度 位矢 质量

  4. 问题的提出 二、质点的角动量定理及其守恒定律 theorem of partical angular momentum and its conservation 质点 对 的角动量 问题的提出 m O 大小 L L q v r r v sin m m 地球上的单摆 太阳系中的行星 q r r O m v O m q v L r v m L r v m 变 变 变 变 q sin 大小未必会变。靠什么判断？ 大小会变 L L

  5. 质点角动量定理 导致角动量 随时间变化的根本原因是什么？ L L L 与什么有关？ 思路： 分析 由 L v r m ( d v ) d d 则 m ( ) d d d d v + m v r r r r r m d d t t d t d t d d d d t t t t 0 d v v v m a m m F F F 两平行矢量的叉乘积为零 ( ) 得 L L 所受的合外力 位置矢量 质点 对参考点 的 O m 叉乘 等于 角动量的时间变化率 质点的角动量定理

  6. 微分形式 r r r r r 而 是力矩的矢量表达： M 即 力矩 F O r F F 大小 方向 M F q 垂直于 r sin 所决定 d F d 的平面，由右螺旋法则定指向。 q m d d d d t t 得 质点 对给定参考点 的 O m F F F 角动量的时间变化率 所受的合外力矩 M L L 称为质点的 角动量定理的微分形式 如果各分力与O点共面，力矩只含正、反两种方向。可设顺时针为正向，用代数法求合力矩。

  7. 积分形式 质点的角动量定理也可用积分形式表达 M M M 由 L L L d t t d d d d d t , t L L t 0 L L 0 0 角动量的增量 称为 冲量矩 例如， 单摆的角动量大小为 L =mv r, v为变量。在 t = 0 时从水平位置静止释放，初角动量大小为 L0= m v0 r =0； 时刻 t下摆至铅垂位置，角动量大小为 L⊥=m v⊥ r 。则此过程单摆所受的冲量矩大小等于 L-L0= m v⊥ r =m r 2gr 。 这就是质点的 角动量定理的积分形式

  8. 归纳 质点的 角动量定理 归纳 r M t 微分形式 d 角动量的时间变化率 所受的合外力矩 M L 积分形式 t L 冲量矩 角动量的增量 d L L 0 t d L 0 0 d t 当 0 0 时， 有 M 特例： L L L L 0 0 F 即 物理意义：当质点不受外力矩或合外力矩为零 L 前后不改变。 （如有心力作用）时，质点的角动量 （后面再以定律的形式表述这一重要结论）

  9. 质点角动量守恒 质点的角动量守恒定律 质点的角动量守恒定律 r r 根据质点的 角动量定理 ( ) 若 则 0 0 M M M 常矢量 即 当质点 所受的合外力对某参考点 的力矩 d d M O m L L d d t t 为零时，质点对该点的角动量的时间变化率 为 d L d t F F 零，即质点对该点的角动量 守恒。 L L 称为 质点的角动量守恒定律 若质点所受的合外力的方向始终通过参考点，其角动量守恒。如行星绕太阳运动，以及微观粒子中与此类似的运动模型，服从角动量守恒定律。

  10. 开普勒第二定律 应用质点的角动量守恒定律可以证明 开普勒第二定律 行星与太阳的连线在相同时间内扫过相等的面积

  11. 定律证明 时刻 m 对 O 的角动量大小为 证： t m L q d s r v m t d t + t h ( ) r r r r r r r m s s sin q r m d d d + ) ( d h d d d d d O m 瞬间 位矢扫过的微面积 d d d d d t t t t t d t A h h 2 m 1 1 d 2 2 A L s 即 （称为掠面速率） d d A A d t 2 m 因行星受的合外力总指向是太阳，角动量 守恒。 L A L 常量 故，位矢在相同时间内扫过的面积相等 则 2 m

  12. 质点系角动量 三、质点系的角动量定理 theorem of angular momentum of partical system L L 惯性系中某给定参考点 O S i i S m v r i i i i r v m 1 3 1 r 各质点对给定参考点的 m 2 2 r m 3 3 v 1 角动量的矢量和 v 2 质点系的角动量 质点系的角动量

  13. 质点系角动量定理 质点系的角动量定理 对时间求导 将 S m v i r r r r r r i i i i i i i i d L L L ( S ( S + r m m v v i i i i d t i i i i 某给定参考点 O + S S S S S S S m a r i i 2 i i i i i i i d d d d S m + 0 2 d F r i i 1 d d d d t t t t i F i + F 内 外 m m i v v 1 i i 内 i 内 得 外 内 + L L 外 M M M F F F F i i i 2 2 1 1 外 质点受外力矩的矢量和 质点系的角动量 外 M M 外 的时间变化率 i 内力矩在求矢量和时成对相消 称为 微分形式 质点系的角动量定理

  14. 微、积分形式 质点系的角动量定理 M 对时间求导 将 S m v i r r r r r r i i i i i i i i t d L d d t L L L ( S 0 ( S + r m m v v t i i i i d t i i 0 i i 某给定参考点 O 0 + S S S S S S S S m a r i i 2 i i i i i i i i d d d d d S m + 0 2 d F r i 的微分形式 的积分形式 i 1 d d d d d t t t t t i 质点系的角动量定理 质点系的角动量定理 F i + F 内 外 m m i v v 1 i i 内 i M M 外 i 内 得 外 内 + L L L L L L L 外 M M M F F F F i i i 质点系的角动量 2 2 1 1 质点受外力矩的矢量和 质点系的 质点系所受的 外 质点受外力矩的矢量和 质点系的角动量 外 的时间变化率 角动量增量 冲量矩 M M 外 的时间变化率 i 内力矩在求矢量和时成对相消 称为 微分形式 质点系的角动量定理 若各质点的速度或所受外力与参考点共面，则其角动量或力矩只含正反两种方向，可设顺时针为正向，用代数和代替矢量和。

  15. 质点系角动量守恒 质点系的角动量守恒定律 M t 由 d t M 外 L i M M t , 0 0 d 恒矢量 则 若 或 0 L L L 0 当质点系所受的合外力矩为零时，其角动量守恒。 0 S i d d t L L L L L

  16. 随堂小议 随堂小议 两人质量相等 两人同时到达； （1） 又忽略 既忽略 轮绳摩擦 滑轮质量 O 终点线 终点线 用力上爬者先到； （2） 一人用力上爬 一人握绳不动 握绳不动者先到； （3） 以上结果都不对。 （4） 可能出现的情况是 （请点击你要选择的项目） 结束选择

  17. 小议链接1 两人质量相等 又忽略 既忽略 轮绳摩擦 滑轮质量 O 终点线 终点线 一人用力上爬 一人握绳不动 随堂小议 可能出现的情况是 （请点击你要选择的项目） 两人同时到达； （1） 用力上爬者先到； （2） 握绳不动者先到； （3） 以上结果都不对。 （4） 结束选择

  18. 小议链接2 两人质量相等 又忽略 既忽略 轮绳摩擦 滑轮质量 O 终点线 终点线 一人用力上爬 一人握绳不动 随堂小议 可能出现的情况是 （请点击你要选择的项目） 两人同时到达； （1） 用力上爬者先到； （2） 握绳不动者先到； （3） 以上结果都不对。 （4） 结束选择

  19. 小议链接3 两人质量相等 又忽略 既忽略 轮绳摩擦 滑轮质量 O 终点线 终点线 一人用力上爬 一人握绳不动 随堂小议 可能出现的情况是 （请点击你要选择的项目） 两人同时到达； （1） 用力上爬者先到； （2） 握绳不动者先到； （3） 以上结果都不对。 （4） 结束选择

  20. 小议链接4 两人质量相等 又忽略 既忽略 轮绳摩擦 滑轮质量 O 终点线 终点线 一人用力上爬 一人握绳不动 随堂小议 可能出现的情况是 （请点击你要选择的项目） 两人同时到达； （1） 用力上爬者先到； （2） 握绳不动者先到； （3） 以上结果都不对。 （4） 结束选择

  21. 小议分析 质点系 忽略轮、绳质量及轴摩擦 , R 若 系统受合外力矩为零，角动量守恒。 O 系统的初态角动量 系统的末态角动量 v v m m m m m 2 m m m m m 1 1 1 1 1 1 v v 0 2 2 2 2 2 R R 1 1 得 不论体力强弱，两人等速上升。 若 系统受合外力矩不为零，角动量不守恒。 v v 2 2 同高从静态开始往上爬 可应用质点系角动量定理进行具体分析讨论。

  22. 第二节 刚体的定轴转动 刚体的定轴转动 刚体的定轴转动 刚体的定轴转动 s s rotation of rigid body with a fixed axis 一般运动 平 动 定轴转动 平面运动 定点运动 4 - 2 s 刚体质心限制在一平面内，转轴可平动，但始终垂直于该平面且通过质心 刚体任意两点的连线保持方向不变。各点的 相同，可当作质点处理。 s 刚体上各质点都以某一定点为球心的各个球面上运动。 刚体每点绕同一轴线作圆周运动，且转轴空间位置及方向不变。 rotation of rigid-body with a fixed axis 复杂的运动与平动的混合。 r r v a 刚体：形状固定的质点系（含无数质点、不形变、理想固体。） 刚体运动的分类

  23. 定轴转动参量 描述刚体定轴转动的物理量 描述刚体定轴转动的物理量 1. 角位置 q w 刚体中任一点 刚体定轴转动的运动方程 刚体 p q r 2. 角位移 p p X q q (t+△t) 参考方向 q q (t) q r r q ( ) t p p r t 0 3. 角速度 r w p 转动平面 （包含p并与转轴垂直） r d d d q q q q 转轴 静止 0 w 匀角速 d q 常量 w w 用矢量表示 或 时，它们与 刚体的转动方向采用右螺旋定则 变角速 d t w w t ( ) w w 4. 角加速度 , 转 b 动 d w b 常量 匀角加速 匀角速 方 b b 0 d t 向 变角加速 b b t ( )

  24. 转动方程求导例题 rad 单位： -2 -1 -2 -1 w b s s s s rad rad rad rad , , 1 rad 例 2 t t t t t t ( ( ( ( ( ) ) ) ) ) t 5 0 p ) p ( + 已知 q + p 2 求 b b w w t ) q 5 0 ( p p + , 解法提要 ) ( p , r q rad rad s s 匀 变 角 速 定 轴 转 动 1 2 d d q q rad b q w w d t 150p p 100p d 52p 50p 53p 51p 50p w t t b d t t s s p s 0 3 0 3 2 0 1 3 2 1 2 1

  25. 积分求转动方程 恒量 k 0 解法 b , w w w w w w w t t t 0 0 0 0 0 0 0 提要 w k 例 t t t t t ( ( ( ( ( ) ) ) ) ) b 已知 0 0 0 d d w w k b d d d t t t 得 w t t t k k k + + + w d d d q q q 且t= 0 时 w ) ) ( ( w d d d d t t t t , w q q q q q q 0 0 0 0 1 1 得 2 2 t t t t k k + + q r q 求 2 2 任意时刻的 匀变角速定轴转动的角位移方程 或 d + w b q q d t 匀变角速定轴转动的运动方程

  26. 线量与角量的关系 定轴转动刚体在某时刻t的瞬时角速度为 ，瞬时角加速度为 ， 已知 w 刚体中一质点P至转轴的距离为r w b 瞬时线速度 d q 例 v O O 瞬时切向加速度 质点P 的大小 求 r r 瞬时法向加速度 P P d d d q q q a a t t a a 解法提要 n n w r r r d d d d v w s s s s r d d v b r w ) r ( d d d d t t t t 2 ) ( 2 v 2 w r r r 这是定轴转动中线量与角量的基本关系

  27. 公式对比 质点直线运动或刚体平动 刚 体 的 定 轴 转 动 位移 角位移 ( ) x q q q ( ) ( ) t ( ) r x t x r 1 1 q w 角速度 s 速度 v 加速度 w 角加速度 v b a t t 2 2 d d d d 匀角速定轴转动 匀速直线运动 t t q w s v d d d d t t t t 匀变速直线运动 匀变角速定轴转动 1 1 2 2 2 t 2 t b t t q t w + v a a + s 0 0 b t w + v v + 0 2 2 2 b w w q 2 v w a 2 s 2 v 0 0 0

  28. 刚体转动定律引言 刚体的转动定律 刚体的转动定律 质 点 的运动定律 或 F=ma 刚体平动 合 外 力 惯性质量 合加速度 主要概念 使刚体产生转动效果的合外力矩 刚体的转动定律 刚体的转动惯量 若刚体作定轴转动，服从怎样的运动定律？

  29. 合外力矩 外力在转动平面上对转轴的力矩使刚体发生转动 切向 切向 M=r× F 力矩 1 1 1 大小 j F 1 d d d d 1 1 = = 1 2 2 1 M=rFsin j M 1 1 M=r×F 1 r r r r 2 2 2 1 1 2 2 M =rFsin j r P P F 大小 d 2 1 r M t 2 2 2 2 2 2 2 2 F d = O j = F t 1 1 1 2 F F 2 F 2 2 = + 合外力矩 M M 2 F F r F F F F 1 1 t t t t M M 1 1 2 2 1 1 = = M 大小 一、外力矩与合外力矩 方向 叉乘右螺旋

  30. 转动定律 瞬时 瞬时 i r r r m m m b i i i w f f 角加速度 角速度 i i + f = 分量均通过转轴， 其法向 不产生转动力矩。 受内力 t t 投影式为 其切向 j f + sin sin q O r i i i i r a b t = = i i n n r r r r F F m m m m r i i i i i i r r 等式两边乘以 a i i i i j 某质元 i i i i 并对所有质元及其所受力矩求和 b b r r F F F j ) ) ∑ ∑ f ∑ q ( ( ∑ sin + 2 2 sin i i = i i i 受外力 r r r r r r r m m m m m m m i i i i i i i q i 合外力矩 M 内力矩成对抵消= 0 = 得 M 二、刚体的转动定律

  31. 转动惯量 二、刚体的转动定律 瞬时 瞬时 i r r r m m m b i i i w f f 角加速度 角速度 i i + f = 分量均通过转轴， 其法向 与刚体性质及质量分布有关的物理量，用 表示 不产生转动力矩。 受内力 I t t 投影式为 其切向 j f + sin sin q O r i i 称为 转动惯量 i i r a b t = = i i n n 刚体的转动定律 r r r r r F F m m m m m r i i i i i i i r r 等式两边乘以 a i i i i b M I j 某质元 i i i i 即 并对所有质元及其所受力矩求和 M I b b b r r F F F j ) ) ∑ ∑ f ∑ q ( ( ∑ sin + 2 2 sin i i = 刚体所获得的角加速度的大小与刚体受到的 i i i 受外力 r r r r r r r r m m m m m m m m b i i i i i i i i q i 合外力矩 M 内力矩成对抵消= 0 合外力矩 的大小成正比， M r b = M ∑ 2 ) i = ( 得 与刚体的转动惯量 成反比。 M I

  32. 转动惯量的计算 a I = b m = F M 与质点运动定律 对比 将刚体转动定律 I 转动惯量 是刚体转动惯性的量度 与刚体的质量、形状、大小及质量对转轴的分布情况有关 I ∑ 2 k g I I 质量连续分布的刚体用积分求 为体积元 处的密度 2 2 r r r r m V d V r r i i r m i I 的单位为 2 d m m d V 二、转动惯量及其计算

  33. 分立质点的算例 可视为分立质点结构的刚体 若连接两小球（视为质点）的轻细硬杆的质量可以忽略，则 转轴 ∑ ∑ m m m m m 2 2 I I 2 2 2 2 2 m m m m m 1 1 1 1 1 r r r r 2 2 1 1 2 O 2 + 转轴 2 ( ) r r r r i i i i 0 0 0 6 6 6 sin sin r r m m l l l 2 i i ) ( 1 1 1 + l l l O 2 2 2 2 0.75 2 ) ( + 转动惯量的计算举例

  34. 直棒算例 质量连续分布的刚体 匀直细杆对端垂轴的 匀直细杆对中垂轴的 I I d d d d m m m m m m O O d d d d r r r r L m I 2 2 2 2 I r r r r r r L 0 L L m L m 3 m 1 3 L r r L L 0 3 1 1 1 平行移轴定理 对质心轴的转动惯量 L L L L 2 2 2 2 I I 2 r 3 3 3 r + m L C C m 对新轴的转动惯量 , O O O I I 质心 时 例如： C L 2 r 1 2 2 2 L L L m m m 质心轴 代入可得 新轴 I 端 1 2 新轴对心轴的平移量 r

  35. 圆盘算例 匀质薄圆盘对心垂轴的 I 取半径为 微宽为 的窄环带的质量为质元 r d d d m m m m d d d d d d r r r r r r m r p 2 O d d m m 2 R p m m 2 2 r r 2 2 r r r 2 2 R R R R 2 m 3 I R r 0 0 2 R 4 R 2 m r 1 m 4 2 2 R R 2 0

  36. 球体算例 匀质实心球对心轴的 可看成是许多半径不同的共轴薄圆盘的转动惯量 的迭加 I d m r r 的薄圆盘的转动惯量为 距 为 、半径为 、微厚为 O r y R y d d m m O d 其中 d m r V d d d 2 m r r p p y y y r d d d I I I 1 1 1 1 2 ) I ( r 2 2 2 2 4 d d d r r r r p p p y y y 2 2 2 2 2 2 2 R R r r r y y 2 R ( ) R m r 2 8 2 R 5 4 3 m R R p 5 1 3 5

  37. 常用结果 匀质细直棒 匀质薄圆盘 转轴通过端点与棒垂直 转轴通过中心垂直盘面 m R L m 1 1 2 2 mL I = mR I = 3 2

  38. 其它典型 匀质矩形薄板 匀质厚圆筒 转轴通过中心垂直板面 转轴沿几何轴 m a m 2 2 I= (a+b ) 2 2 R I= (R1+R2 ) 1 12 2 匀质细圆环 匀质圆柱体 2 2 mR mR 转轴通过中心垂直环面 R 转轴通过中心垂直于几何轴 L R 2 b m m R 2 I= I= I=mR 2 2 L I=R + 4 12 匀质细圆环 匀质薄球壳 转轴沿着环的直径 转轴通过球心 R R 2 3 2

  39. 转动定律例题一 三、转动定律应用选例 b M I 例 合外力矩 应由各分力矩进行合成 。 M 在定轴转动中，可先设一个正轴向（或绕向），若分力矩与此向相同则为正，反之为复。 合外力矩 与合角加速度 方向一致。 M b 时刻对应，何时 则何时 ， 与 b 0 b M M 则何时 恒定。 恒定 何时 b M 0 L m q q 1 2 1 1 , cos cos I L O M L g g m m m 3 2 2 , q 匀直细杆一端为轴水平静止释放 g g 3 3 b M I L L 2 2 M L 0 q b , , g m 0 0 q M 2 b p , ,

  40. 转动定律例题二 转动 (T2–T1 )R = Ib 已知 I = m R 2 2 b 平动 m2g –T2 =m2a 例 解法 提要 1 T1 T2 T1 – m1g =m1a 2 R 线-角 a = Rb m T1 T2 T1 a a 联立解得 求 m2 G1 m1 a g g = G2 a m1+ m2+ m m1 g m T1 = m1 ( g + a ) m 1 2 T2 = m2 ( g – a ) m2 g 轮轴无摩擦轻绳不伸长轮绳不打滑 如果考虑有转动摩擦力矩Mr ,则 转动式为 T2 (T2–T1 )R –Mr= Ib 再联立求解。 （以后各例同）

  41. 转动定律例题三 细绳缠绕轮缘 （A） （B） （A） 例 解法 提要 M F R F 2 b 1 I 2 R R m m 2 R R a b F R 2 m m m （B） 1 1 1 b 2 b R T R I m 2 2 2 b R g a T m m m m m m m m F 1 1 1 1 1 1 1 恒力 b g 1 ) ) ( ( R m m + + 滑轮角加速度 b 求 b R g 细绳线加速度 a a

  42. 转动定律例题四 物体从静止开始运动时，滑轮的 已知 求 转动方程 = 1kg q R = 0.1m m m = 3kg 对 和 分别应用 1 例 m t ( 解法 ) 提要 = 5kg 质点运动和刚体转动定律 m1g – T1 =m1a a = Rb b T2 –m2g =m2a 及 R (T1–T2 )R = Ib m 1 I = mR2 (m1-m2)g (m1-m2)g (m1-m2)g 2 T2 T1 b = 得 常量 R(m1+ m2+ m 2) R(m1+ m2+ m 2) R(m1+ m2+ m 2) T2 T1 d d q q m m 故 由 b t w w 1 1 w d q , m m m 2 2 2 d d t t t t q t w a 0 0 0 a g t 2 t G2 q 2 (rad) q 2 G1 d d t t

  43. 转动定律例题五 两者瞬时角加速度之比 已知 b 求 两匀直细杆 2 L 根据 b M I 例 解法 提要 q q b b M I I M b 1 1 L L L L L L L q 2 sin g 3 2 1 1 q 2 sin L g L 2 3 m m m m m m L 1 2 L 1 O O 地面 短杆的角加速度大 A B ( ) ( ) 且与匀质直杆的质量无关 从等倾角 处静止释放 q

  44. 第三节 刚体定轴转动的功能关系 刚体定轴转动的功能关系 刚体定轴转动的功能关系 刚体定轴转动的功能关系 s s Relation of work with energy in rotation of rigid-body 刚体中任一质元 的速率 w r m 一、转动动能 i 该质元的动能 w r r E E k k i i 2 2 4 - 3 2 1 1 r r w m m i i 2 2 对所有质元的动能求和 ∑ ∑ 1 1 2 2 2 ( ) r m w w E E i 2 2 s k k s 转动惯量I relation of work with energy in rotation of rigid-body O 刚体 得 I 转动动能 r r r r r r r r i i i i i i i i 公式 r r r m m m i i i v v v v v i i i i i

  45. 力矩的功 二、力矩的功和功率 力的元功 t A A r r r r r r d d O F j ( ) d d d d d d q q q q q q cos d d d d d F P j sin sin j j F r F F F p 力对转动刚体所作的功用力矩的功来计算 M M M 2 作的总功为 A 若在某变力矩 的作用下，刚体由 转到 ， M M q q q q 1 1 d 2 2 A M 力矩的瞬时功率 A d N M w d d t t

  46. 力矩的功算例 拨动圆盘转一周，摩擦阻力矩的功的大小 求 已知 转轴 总摩擦力矩 是 平放一圆盘 例 解法 提要 各微环带摩擦元力矩 的积分 O R m d 环带面积 d d d r 2 r r r p m m m m m 环带质量 d d ( ) d m m d d d 2 r d p 环带受摩擦力 d d f f g r r 环带受摩擦力矩 4 M M M M M M M 粗 糙 水 平 面 r r r r r r r 3 m 2 2 R d d s s g m 2 m r r r O 2 2 R R 圆盘受总摩擦力矩 r d r d m 转一周摩擦力矩的总功 2 2 得 g g p p m m 2 m m 2 R p A A d d R q q p d q 0 0 0 0

  47. 刚体的动能定理 三、刚体转动的动能定理 回忆质点的动能定理 刚体转动的动能定理 ？ 由力矩的元功 d A b I d d d d d d d A A I q q q q q M M d w d d t t b I M I w 转动定律 I d d d w w w 2 2 A v v m m w q 则 0 2 2 A I w I I w w 0 q w 0 0 1 1 1 1 2 2 2 2 转动动能的增量 合外力矩的功 称为 刚体转动的动能定理

  48. 动能定理例题一 圆盘下摆 时质点 的 匀质圆盘 求 q 0 0 0 3 3 3 、切向、法向加速度 角速度 盘缘另固连一质点 的大小 例 w 解法 提要 a a a a R n n t t m m 1 1 系统 对 O 水平静止释放 m m m 2 2 2 q 系统转动动能增量 外力矩的功 2 w sin R g I 2 2 R R m m m m m m m m m m m m 其中 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 I + 通过盘心垂直盘面的水平轴 g 2 2 2 2 2 2 得 m m m m 2 2 2 2 w ( R ) + 1 1 由转动定律 2 2 g g 3 3 M ( R ) g R 得 + cos I b I g 2 则 R w b R + + ,

  49. 动能定理例题二 从水平摆至垂直 已知 解法 提要 ) 一端为轴 ( L 匀直细杆 m 外力矩作的总功 , 水平位置静止释放 例 L d q q cos A 2 O 0 L q 2 0 w 0 由 2 2 A I I w w 0 得 A I w 2 1 G 2 3 L 本题 I m g m 1 1 代入得 g L w 3 2 2 p ？ 2 w 的关系 利用 v r w 摆至垂直位置时杆的 求 w 还可算出此时杆上各点的线速度 g g m m

  50. 动能定理例题三 从水平摆至垂直 已知 解法 提要 水平位置静止释放 段，外力矩作正功 a 例 a d A q q cos a 2 0 段，外力矩作负功 b 0 w 0 b 1 d L A q q cos O b q 2 g g 3 m m 2 0 合外力矩的功 A b a 3 3 G G ∑ 1 i L b b 1 1 g m A 4 4 4 4 G G 由 2 2 a a A I I w w 0 1 1 得 4 A I w 2 2 2 转轴对质心轴的位移 p p L 4 r L L 2 2 9 w L 7 2 I I r 2 L + m m 2 3 c 4 8 摆至垂直位置时杆的 求 w 代入得 g 4 g g 2 m m w L 7

More Related