湖北工业大学机械工程学院 杨光友 教授 中职机电技术应用专业

1. 数控机床的工作原理 湖北工业大学机械工程学院 杨光友教授 中职机电技术应用专业

2. 4.1 概述 4.1.1 插补的概念 • 在数控机床中，刀具不能严格地按照要求加工的曲线运动，只能用折线轨迹逼近所要加工的曲线。 • 插补（interpolation）定义：机床数控系统依照一定方法确定刀具运动轨迹的过程。也可以说，已知曲线上的某些数据，按照某种算法计算已知点之间的中间点的方法，也称为“数据点的密化”。

3. 插补的实质 • 数控装置向各坐标提供相互协调的进给脉冲，伺服系统根据进给脉冲驱动机床各坐标轴运动。 • 数控装置的关键问题：根据控制指令和数据进行脉冲数目分配的运算（即插补计算），产生机床各坐标的进给脉冲。 • 插补计算就是数控装置根据输入的基本数据，通过计算，把工件轮廓的形状描述出来，边计算边根据计算结果向各坐标发出进给脉冲，对应每个脉冲，机床在响应的坐标方向上移动一个脉冲当量的距离，从而将工件加工出所需要轮廓的形状。 • 插补的实质：在一个线段的起点和终点之间进行数据点的密化。

4. 插补器的分类 • 硬件插补器 • 由专门设计的数字逻辑电路组成。 • 插补速度快，升级不易，柔性较差。 • 软件插补器 • 通过软件（编程）实现插补功能。 • 插补速度比硬件插补器慢，但成本低、柔性强，结构简单，可靠性好。

5. 4.1.2 插补方法的分类 1.基准脉冲插补（行程标量插补或脉冲增量插补） • 特点：每次插补结束，数控装置向每个运动坐标输出基准脉冲序列，每个脉冲代表了最小位移，脉冲序列的频率代表了坐标运动速度，而脉冲的数量表示移动量。 • 仅适用于一些中等精度或中等速度要求的计算机数控系统

6. 主要的脉冲增量插补方法 • 数字脉冲乘法器插补法 • 逐点比较法 • 数字积分法 • 矢量判别法 • 比较积分法 • 最小偏差法 • 目标点跟踪法 • 单步追踪法 • 直接函数法 • 加密判别和双判别插补法

7. 2. 数字采样插补（数据增量插补） • 特点：插补运算分两步完成。 • （1）粗插补 在给定起点和终点的曲线之间插入若干个点，即用若干条微小直线段逼近给定曲线，每一微小直线段的长度都相等，且与给定速度有关。 （2）精插补 在粗插补算出的每一微小直线段的基础上再作“数据点的密化”工作，相当于对直线的脉冲增量插补。 • 适用于闭环、半闭环以直流和交流伺服电机为驱动装置的位置采样控制系统

8. 主要的数字增量插补方法 • 直线函数法 • 扩展数字积分法 • 二阶递归扩展数字积分插补法 • 双数字积分插补法 • 角度逼近圆弧插补法 • “改进吐斯丁”（Improved Tustin Method-ITM）法

9. 4.2 基准脉冲插补 4.2.1 逐点比较插补法 • 基本思路：每走一步都要将加工点的瞬间时坐标与规定的图形轨迹相比较，判断其偏差，然后决定下一步的走向。如果加工点走到图形外面，下一步就要向图形里面走；如果加工点走到图形里面，下一步就要向图形外面走，以缩小偏差，这样就能得到一个非常接近规定图形的轨迹，最大偏差不超过一个脉冲当量。 • 四个步骤：偏差判别->坐标进给->新偏差判别->终点比较

10. 1. 逐点比较插补法直线插补 如图所示直线OA和点P（Xi，Yi），A点（ Xe，Ye）。 P点在直线上方，则有： P点在直线上，则有： P点在直线下方，则有：

11. y F>=0 F<0 O x （1）偏差判别方程式： （2）坐标进给和计算 Fi,i>=0时，向＋x方向走一步。 Fi,i<0时，向＋y方向走一步。 （3）终点判断 • 每走一步判断最大坐标的终点坐标值（绝对值）与该坐标累计步数坐标值之差是否为零，若为零，插补结束。 • 总步数为：N=Xa+Ya。

12. 逐点比较法直线插补流程

13. 例4-1 插补直线OA，A（5，3）

14. 直线OA插补轨迹

15. 例. 插补直线OA，A（4,5）

16. 插补轨迹 y A（4,5） O x

17. 直线插补不同象限插补方向 • 无论在哪个象限，逐点比较直线插补法均采用直线坐标的绝对值计算。

18. 2. 逐点比较法圆弧插补 y E（X0,Y0） C（Xc,Yc） B（Xb,Yb） D（Xd,Yd） A（Xe,Ye） O x 如右图所示逆圆弧AE，C、D、B点分别在圆弧的外、内部和圆弧上。 C点在圆弧的外部，则有 D点在圆弧的内部，则有 B点在圆弧上，则有

19. （1）偏差判别方程式： （2）坐标进给和计算 Fi,i>=0时，向-x方向走一步。 Fi,i <0时，向＋y方向走一步。 注意：圆弧与直线不同，直线用于计算的自始至终是终点坐标，而圆弧则是一个动点坐标。 （3）终点判断：

20. 逐点比较法圆弧插补流程

21. 例4-2 插补第一象限逆圆AB

22. 插补轨迹

23. 圆弧插补的象限处理

24. 4.2.2 数字积分法 • 数字积分法也称为数字微分分析法，是在数字积分器的基础上建立起来的一种插补方法。 • 基本原理：数字积分法是利用数字积分的方法，计算刀具沿各坐标轴的位移，使得刀具沿着所加工的曲线运动。 • 优点：运算速度快，脉冲分配均匀，容易实现多坐标联动。 • 缺点：速度调节不便，插补精度需要采用移动措施才能满足要求。

25. 1. 数字积分原理 如右图所示，由曲线y＝f（t）与x轴所围成的面积S为： 取Δt足够小时，则有： 如令Δt为最小的基本单位“1”时，则有：

26. 设置一个累加器，并且假设累加器的容量为一个单位面积。设置一个累加器，并且假设累加器的容量为一个单位面积。 • 用该累加器来实现累加运算，那么在累加过程中超过一个单位面积时就必然产生溢出，即产生一个溢出脉冲。 • 累加过程中所产生的溢出脉冲总数就是所求的近似值，或者说所要求的积分近似值。

27. 2. DDA直线插补 各坐标轴的位移量 结论：动点从原点O走向终点A的过程，可以看作是各坐标轴每经过一个单位时间间隔∆t，分别以增量kxe，kye同时累加的过程。

28. DDA直线插补器结构

29. DDA直线插补器工作过程 • 平面直线插补器由两个数字积分器组成，每个积分器由累加器和被积函数寄存器组成。 • 终点坐标值存放在被积函数寄存器中。 • 工作过程：每发出一个插补迭代脉冲，使kxe和kye向各自的累加器里累加一次，累加的结果有无溢出脉冲取决于累加器的容量和kxe、kye的大小。

30. 系数k的选择和累加次数m的确定 假设m次累加后（m也为累加器的容量），x、y分别到达终点，则有 为保证坐标轴上每次分配的进给脉冲不超过一个，则有Δx<1和Δy<1，即kxe<1和kye<1。而xe和ye受寄存器容量的限制，令寄存器的位数为n，寄存器的最大值为2n-1，则有xe＝2n-1，ye＝2n-1。于是有 为保证累加次数m为整数，取 ，所以累加次数m＝2n。所以数字积分法直线插补的终点判别为m＝2n。

31. 寄存KXe与Xe的一致性 • 由于KXe= Xe/2n，运算的方法为：保持数字Xe不变，只需把数Xe往右移动n位即可得到KXe。 • 被积函数寄存器Jvx内装的Kxe，可改为只装Xe即可。 • KYe= Ye/2n，运算的方法为：保持数字Ye不变，只需把数Ye往右移动n位即可得到KYe。 • 被积函数寄存器JVY内装的KYe 可改为只装Ye即可。

32. 终点判别 • 终点计数器JE • 开始： JE =0 • 每进行一次加法运算， JE +1 • 当JE=2n时运算停止。

33. 例4-3 DDA直线插补（二进制计算）

34. DDA直线插补轨迹

35. 3. DDA圆弧插补 如右图所示，P点为逆圆弧AB上的一个动点，由图可知 注意：对于第一象限逆圆弧，x坐标轴的进给方向是－x方向，因此，要加上负号（－）。 其余过程与直线插补相同。

36. DDA圆弧插补器结构 与直线插补的区别： • 坐标值x、y存入被积函数寄存器JVx、JVy的对应关系与直线不同，正好相反，JVx存放着y，JVy存放着x。 • 直线插补时，寄存器中始终存放着终点的坐标值，为常数，而圆弧插补则不同，寄存器中存放着动点坐标，是个变量。在插补过程中，必须根据动点位置的变化来改变JVx、JVy中的内容。

37. 第一象限逆圆弧DDA的插补过程 • 运算开始时，x轴和y轴被积函数寄存器中分别存放着Y、X的起点坐标值。 • x轴被积函数寄存器中的数与其累加器的数累加得到的溢出脉冲发到－x方向。y轴被积函数寄存器中的数与累加器中的数累加得到的溢出脉冲发到＋y方向。 • 每发出一个进给脉冲后，必须将被积函数寄存器中的坐标值加以修正。即当x方向发出进给脉冲后，使y轴被积函数寄存器中的内容减1（x方向的坐标值减少1，但x坐标值存放在y轴被积函数寄存器中）；当y方向发出一个进给脉冲后，使x轴被积函数寄存器中的内容加1（y方向的坐标值增加1，但y坐标值存放在x轴被积函数寄存器中）。 • 终点判断：以圆弧的终点与起点的x、y坐标值之差的绝对值作为x、y方向各自发出的脉冲总数值，以此作为终点判断。

38. y B O A x DDA圆弧插补举例 已知第一象限逆圆弧AB，起点为A（5,0），终点为B（0,5），采用三位二进制寄存器和累加器，使用DDA法进行插补加工。

39. X积分器 0 3 3 5 1 2 0 0 0 0 5 5 0 2 3 1 1 1 4 1 0 0 1 5 0 5 0 4 0 0 5 4 0 1 1 2 3 3 3 5 0 0 3 5 5 5 7 5 5 4 JRy (Σxi) Y积分器 3 5 3 3 2 3 4 5 3 6 4 5 3 4 1 1 1 3 1 3 7 2 3 2 3 运算次数 2 4 2 2 5 5 5 4 1 6 6 3 7 0 8 3 5 1 JRx (Σyi) 7 3 10 0 5 5 4 4 1 1 6 1 5 0 0 13 0 1 0 0 0 0 0 0 4 5 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 5 1 0 1 2 2 0 0 1 0 0 0 4 3 0 0 0 Δy JVx（yi） Δx JVy(xi) 9 7 4 5 2 12 14 11 X终 Y终

40. ＋1 L1 L2 L3 L4 NR1 NR2 NR3 NR4 SR1 SR2 SR3 ＋1 内 容 SR4 ＋1 －1 ＋1 －1 －1 ＋1 －1 ＋1 JVY －1 ＋1 动点 修正 JVX －1 － ＋ 进给 方向 ΔX ＋ － － ＋ － － ＋ ＋ ＋ ＋ －1 － ΔY ＋ ＋ － － ＋ － － ＋ － ＋ －1 － ＋1 DDA不同象限插补处理 数字积分法不同象限直线和圆弧插补时，均以第一象限的直线和逆圆弧为标准，以不同象限的坐标值的绝对值进行计算，其进给方向和坐标修正如下表所示。

41. 4.3 数据采样插补 • 基本原理：是一种时间分割法，根据进给速度，将加工轮廓曲线分割为一定时间内（一个插补周期）的进给量（一条微小直线），即用一系列微小直线段逼近轮廓轨迹。在每个插补周期，调用插补程序一次，为下一插补周期计算出各坐标轴应该行进的增长段，并计算插补点的坐标值。 • 实现步骤：粗插补（用若干微小直线段逼近曲线）和精插补（脉冲增量插补）。 • 解决两个问题：选择插补周期；计算一个周期内各坐标轴的进给量。 • 插补周期的选择 （1）插补周期与插补运算时间的关系。 （2）插补周期与位置反馈采样周期的关系。 （3）插补周期与精度、速度的关系。

42. 数据采样插补直线与圆弧插补原理 • 直线插补：用插补所形成的步长子线段逼近给定直线，与给定直线重合。 • 圆弧插补：用弦线（直接函数法）或割线（扩展DDA算法）逼近圆弧。

43. 1. 直线插补算法原理 • 每个插补周期的进给步长为 ΔL=FT • 直线OPe的长度为 L=(Xe2+Ye2)0.5 • x和y轴的位移增量为 ΔX= ΔLXe/L ΔY= ΔLYe/L • 假设k=ΔL/L • 插补第i点的动点坐标为 Xi=Xi-1+ΔX= Xi-1+kXe Yi=Yi-1+ΔY= Yi-1+kYe

44. 2. 圆弧插补算法 • 基本思想：在满足精度的前提下，用弦进给代替弧进给，即用直线逼近圆弧。 • 圆弧上相邻两点坐标之间的关系如下。

45. 4.4 加工过程的速度控制 • 机床加工过程中，不同尺寸、不同材质的零件，切削速度不同。 • CNC系统进给速度控制包括自动调节和手动调节两种方式。 • 自动调节方式：按照零件加工程序中速度功能指令中的F值进行速度控制。 • 手动调节方式：加工过程中由操作者根据需要随时使用倍率旋钮对进行速度进行手动调节。 • 开环系统中，坐标轴运动速度是通过向步进电机输出脉冲的频率来实现，其速度控制方法是根据程编F值来确定其频率。 • 半闭环和闭环系统中，采用数据采样方法进行插补加工，其速度计算是根据程编F值将轮廓曲线分割为采样周期的轮廓步长。 • 因此，进给速度控制方法与系统采用的插补方法有关。

46. 4.4.1 基准脉冲插补法的进给速度控制 1. 程序计时法 • 首先分析、计算每次插补运算所占用时间，然后再用各种速度要求的进给脉冲间隔时间减去每次插补运算时间，从而得到CPU再每次插补运算后应等待的时间，用CPU的空运转循环对这段等待的时间进行计时，即采用软件延时子程序。 • 也可通过置速度标志来实现程序计数。 • 程序计时法多用于点位直线控制系统。 • 不同的空运转时间对应着不同的进给速度，空运转等待时间越短，发出进给脉冲频率越高，速度越快。

47. 2. 时钟中断法 • 时钟中断法只要求一种时钟频率，用软件控制每个时钟周期内的插补次数，以达到进给速度控制的目的。 • 为了换算出每个时钟周期应插补的次数（即发出的进给脉冲数），选定一个特殊的进给速度F对应的频率。该频率对给定的进给速度，每个时钟周期插补一次。

48. 4.4.2 数据采样插补法的进给速度控制 • 为了保证机床在启动或停止时不产生冲击、失步、超程或振荡，必须对进给电机进行加减速控制。分为前加减速控制和后加减速控制。 • 前加减速控制：对合成速度F进行控制，优点是不影响实际插补输出的位置精度。缺点是需要预测减速点（需要根据实际刀具位置与程序段终点之间的距离来确定）。 • 后加减速控制：对各运动轴分别进行加减速控制，不需要预测减速点，在插补输出为零时开始减速，并通过一定的时间延迟逐渐靠近程序段终点。缺点是对各运动轴进行控制，实际的各轴的合成位置可能不准确。

49. 1. 前加减速控制 • 稳定速度：系统处于稳定进给状态时，没有插补一次（一个插补周期）的进给量。稳定速度的计算如下 • 稳定速度计算完毕后，还需要进行速度限制检查，看是否超过参数设定的最大速度。 • 瞬时速度：系统在每个插补周期的进给量。当系统处于稳定进给状态时，瞬时速度Vi=Vg；当系统处于加速或减速状态时，Vi<Vg（或Vi>Vg）。

50. （1）线性加减速处理 • 设进给速度为F（mm/min），加速到F所需时间为t（ms），则加速度a（µm/ms2）为 • 加速时，当计算出的稳定速度 大于原来的稳定速度 时，需要加速，加速一次，瞬间速率为 • 减速时，先进行终点判别，计算离终点的瞬时距离Si，并根据减速标志判断是否到达减速区域S，若到达则减速。减速区域S为 • 若Si≤S，开始减速，每减速一次，瞬时速度为