Wykład 13

1. Wykład 13 4.4.2 Zderzenia w układzie środka masy 4.4.3 Ruch rakiety 4.4.4 Wyznaczanie środka masy • Ruch obrotowy • 5.1 Zachowanie momentu pędu dla ruchu obrotowego • punktu materialnego 5.2 Zachowanie momentu pędu dla układu punktów materialnych. 5.3 Zachowanie momentu pędu przy działaniu siły centralnej Reinhard Kulessa

2. 4.4.2 Zderzenia w układzie środka masy Omówmy przypadek zderzenia ciała o masie m1 i prędkości v1 ze spoczywającą w układzie laboratoryjnym cząstką o masie m2. Ponieważ v2 = 0, w oparciu o r. (4.30) otrzymujemy, . Reinhard Kulessa

3. m1 v1Sf S L m2 m1 v2Sf m2 p2Si v2f vS v1f v1i p1Sf p1Si Układ laboratoryjny Układ środka masy p2Sf Jeśli w układzie środka masy zaznaczymy prędkości analogicznie jak pędy na prawym rysunku, to w oparciu o definicję pędu w układzie środka masy możemy napisać; . Reinhard Kulessa

4. Dla zderzenia elastycznego zachowana jest również energia kinetyczna. Dla układy środka masy możemy ją napisać następująco: . Z zasady zachowania pędu w układzie środka masy S podanej na poprzedniej stronie, mamy . Wstawiając to do poprzedniego równania otrzymujemy: Reinhard Kulessa

5. D S L L S A B C vS vS v1f v1f v1Sf v1Sf W oparciu o rysunek na stronie 3 możemy znaleźć związek pomiędzy prędkościami w układzie laboratoryjnym i w układzie środka masy. .  W oparciu o prawy rysunek możemy napisać; . Reinhard Kulessa

6. Z zasady zachowania pędu (r. (4.31) ) możemy napisać: , bo v2i = 0. Z transformacji prędkości pomiędzy układem L i S, mamy, . Możemy więc napisać: Reinhard Kulessa

7. Na zależność pomiędzy kątami rozproszenia w układzie laboratoryjnym L i w układzie środka masy S otrzymujemy: . (4.41) W przypadku zderzenia dwóch równych mas, mamy m1 = m2, czyli . Reinhard Kulessa

8. dv v0 m-dm dm m 4.4.3 Ruch rakiety Rozważmy następujący układ. Rozważmy problem ruchu rakiety w układzie środka masy. Jest on umiejscowiony w rakiecie tak długo jak masa wyrzucanych gazów dm jest mała w stosunku do chwilowej masy rakiety. W układzie tym całkowity pęd jest stały przed i po wyrzucie gazów i jest równy zero. . Zaniedbując dm·dv mamy: . Reinhard Kulessa

9. Prędkość rakiety zależy od prędkości wylotu gazów i stosunku mas rakiety z paliwem do masy pustej rakiety, 4.4.4 Wyznaczanie środka masy W jaki sposób możemy wyznaczyć środek masy ciała? Rozważmy następującą sytuację. Reinhard Kulessa

10. rS x dmig ri Względem punktu zawieszenia działa moment siły; . Pamiętamy w oparciu o r. (4.30) że, . Otrzymujemy więc, że, . Widzimy, że równowagę uzyskamy tylko wtedy, gdy środek masy czy ciężkości leży poniżej punktu zaczepienia, rS|| g, (lub ogólnie, gdy suma momentów sił działających na dane ciało jest równa zero) Powtarzając tą czynność dwa razy , możemy wyznaczyć rS . Reinhard Kulessa

11.  F r • Ruch obrotowy • 5.1 Zachowanie momentu pędu dla ruchu obrotowego • punktu materialnego Rozpatrzmy następujący układ. Równanie ruchu punktu materialnego można napisać jako: . Pomnóżmy to równanie wektorowo z lewej strony przez r. . Równanie to możemy zapisać inaczej korzystając z zależności; Reinhard Kulessa

12. . Mamy więc; , lub krócej, (5.1) . Wyrażenie nazywamy momentem siły lub momentem obrotowym. Z kolei nazywamy momentem pędu lub krętem. Reinhard Kulessa

13. 5.2 Zachowanie momentu pędu dla układu punktów materialnych. W poprzednim rozdziale równanie (4.32) opisywało ruch środka masy. Jego ruch zależał tylko od sumy sił zewnętrznych. Gdy ich nie ma, środek masy porusza się ruchem jednostajnym po linii prostej lub spoczywa. . Widzimy więc, że środek masy nie bierze udziału w ruchu obrotowym ciała. Możemy więc wysnuć wniosek, że przy braku sił zewnętrznych obrót ciała może zachodzić tylko wokół osi, które przechodzą przez środek masy ciała. Reinhard Kulessa

14. S Fz Fz Zastanówmy się jak zasadę zachowania momentu pędu możemy uogólnić dla układu wielu mas. Przeprowadźmy w tym celu następujące rozumowanie. Reinhard Kulessa

15. 2 F23 1 F21 F12 3 F32 F13 S F31 F1z F2z F3z r1 r3 r2 Siły zewnętrzne pochodzą od mas i ładunków z poza naszego układu. Drugie prawo Newtona dla jednego ciała możemy napisać jako: Reinhard Kulessa

16. . Równanie to pomnożymy z lewej strony wektorowo przez wektor r1. Następnie robimy to samo dla pozostałych dwóch mas i dodajemy do siebie. . Pamiętając o zasadzie akcji i reakcji, czyli np. otrzymamy, Reinhard Kulessa

17. Wiemy, że , i.t.d.. Wobec tego znikają pierwsze trzy człony po lewej stronie. Mamy więc; (5.2) . Możemy to równanie zapisać inaczej jako; (5.3) . Reinhard Kulessa

18. Całkowity moment pędu układu zamkniętego może zostać zmieniony tylko przez działający zewnętrzny moment siły. kiedy Mz = 0, . (5.4) 5.3 Zachowanie momentu pędu przy działaniu siły centralnej Zarówno moment siły M jaki i moment pędu L zależą od r. Zależą więc od wyboru układu współrzędnych. Szczególnie warto zauważyć, że w przypadku gdy siła jest siłą centralną, moment siły jest równy zero. W przypadku ruchu planety wokół Słońca, siła grawitacji leży zawsze wzdłuż promienia i z tego powodu zawsze jest spełniona zależność: Reinhard Kulessa

19.  r F . Taka sama sytuacja zachodzi przy rozpraszaniu cząstki  na ciężkim jądrze atomowym. Jeśli w czasie ruchu ciała nie działa moment siły, to z równania (5.1) wynika, że . (5.5) Reinhard Kulessa

20. Równanie (5.5) przedstawia sobą trzecie ważne prawo zachowania – prawo zachowania momentu pędu. W dalszej części wykładu pokażemy jak z prawa zachowania krętu można wyciągnąć szczegółowe informacje dotyczące toru ruchu planet czy cząstki . Reinhard Kulessa