24.1 垂径定理

1. 24.1垂径定理

2. 问题情境 赵州桥主桥拱的半径是多少？ 问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？

3. 实践探究 活动一 　把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？ 可以发现： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．　

4. ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 弧：ＡＣ＝ＢＣ　，ＡＤ＝ＢＤ 把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，　 点A与点B重合，AE与BE重合，ＡＣ　和　ＢＣ　 重合，ＡＤ和　ＢＤ重合． ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 活 动 二 如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E． （1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？ C （1）是轴对称图形．直径CD所在的直线是它的对称轴 · （2） 线段： AE=BE O E B A D

5. 直径ＣＤ平分弦ＡＢ，并且 平分ＡＢ　及　ＡＣＢ ⌒ ⌒ 即ＡＥ＝ＢＥ　 ＡＤ＝ＢＤ，ＡＣ＝ＢＣ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧． 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． C · O E B A D

6. Ｃ Ｏ Ｅ Ａ Ｂ Ｄ ②CD⊥AB, ③AM=BM, • 由 ① CD是直径 • 由 ① CD是直径 ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ④AC=BC, ④AC=BC, ③ AM=BM ② CD⊥AB ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 可推得 可推得 ⑤AD=BD. ⑤AD=BD. 几何语言表达 垂径定理： 推论：

7. 辨别是非 判断下列说法的正误 ①平分弧的直径必平分弧所对的弦( ) 　②平分弦的直线必垂直弦 ( ) ③垂直于弦的直径平分这条弦( ) ④平分弦的直径垂直于这条弦( ) ⑤弦的垂直平分线是圆的直径 ( ) ⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦( ) ⑦在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，　 　必平分此弦所对的弧 ( )

8. ⌒ ⌒ 如图，用 ＡＢ 表示主桥拱，设 ＡＢ所在圆的圆心为O，半径为R．经过圆心O 作弦AB 的垂线OC，D为垂足，OC与AB 相交于点D，根据前面的结论，D 是AB 的中点，C是ＡＢ 的中点，CD 就是拱高． ⌒ AB=37.4，CD=7.2， 在图中 OD=OC－CD=R－7.2 C D B A R O 解决求赵州桥拱半径的问题 解： 在Rt△OAD中，由勾股定理，得 OA2=AD2+OD2 即 R2=18.72+（R－7.2）2 解得：R≈27．9（m） ∴赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.

9. 练习 1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径． 解： · E A B O 在Rt △ AOE 中 答：⊙O的半径为5cm.

10. · C O E B D A 2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形． 证明： ∴四边形ADOE为矩形， 又　∵AC=AB ∴ AE=AD ∴ 四边形ADOE为正方形.

11. 某地有一座圆弧形拱桥圆心为Ｏ，桥下水面宽度为７.2 m ，过O 作OC ⊥ AB 于D， 交圆弧于C，CD=2.4m， 现有一艘宽3m，船舱顶部为方形并高出水面（AB）2m的货船要经过拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？ C M N H A D F E B O

12. 不学自知,不问自晓,古今行事,未之有也. 努力吧同学们！