５図形と相似

５図形と相似 １章　図形と相似 §４　平行線と線分の比　　　　　　　　（５時間）

§４平行線と線分の比 《板の分割１》　次ような板を、幅が１：２：４になるように分割しなさい。

§４平行線と線分の比 《板の分割２》　次は、わり算を使わずに定規だけで分割しなさい。

§４平行線と線分の比 《まとめ１》

§４平行線と線分の比 《まとめ２》

平行線と線分の比 A △ABC で、辺AB, AC 上に、それぞれ、点P, Qがあるとき、 P Q (1)PQ // BC ならば、 AP:AB＝AQ:AC＝PQ:BC B C

平行線と線分の比 A △ABC で、辺AB, AC 上に、それぞれ、点P, Qがあるとき、 P Q (1)PQ // BC ならば、 AP:AB＝AQ:AC＝PQ:BC B C (2)PQ // BC ならば、 AP:PB＝AQ:QC

平行線と線分の比 A △ABC で、辺AB, AC 上に、それぞれ、点P, Qがあるとき、 P Q (1)PQ // BC ならば、 AP:AB＝AQ:AC＝PQ:BC (2)PQ // BC ならば、 B C AP:PB＝AQ:QC

《平行線と線分の比(1)の証明１》 A 4cm △APQ と△ABC で ∠APQ＝∠ABC P Q 12cm 9cm ∠AQP＝∠ACB ２角相等で、 △APQ∽△ABC B C 10.5cm よって、 AP:AB＝AQ:AC＝PQ:BC 各辺の長さを代入して、 4:12＝AQ:9 4:12＝PQ:10.5 12AQ＝4×9 12PQ＝4×10.5 4×9 AQ＝―――＝3 (cm) 12 4×10.5 PQ＝――――＝3.5 (cm) 12

《平行線と線分の比(1)の証明２》 △AP’Q’と△ABC で ∠AP’Q’＝∠ABC ∠AQ’P’＝∠ACB A ２角相等で、 △AP’Q’∽△ABC よって、 AP’:AB＝AQ’:AC AP’:AB＝P’Q’:BC B C P’ Q’

《平行線と線分の比(1)の証明２》 △AP’Q’と△ABC で ∠AP’Q’＝∠ABC ∠AQ’P’＝∠ACB A ２角相等で、 △AP’Q’∽△ABC よって、 AP’:AB＝AQ’:AC AP’:AB＝P’Q’:BC B C P’ Q’ Q” P” △AP”Q”と△ABC も同様にして、 △AP”Q”∽△ABC よって、 AP”:AB＝AQ”:AC＝P”Q”:BC

《平行線と線分の比(1)の証明２》 Q” P” △AP’Q’と△ABC で ∠AP’Q’＝∠ABC ∠AQ’P’＝∠ACB A ２角相等で、 △AP’Q’∽△ABC よって、 AP’:AB＝AQ’:AC AP’:AB＝P’Q’:BC B C △AP”Q”と△ABC も同様にして、 P’ Q’ △AP”Q”∽△ABC よって、 AP”:AB＝AQ”:AC＝P”Q”:BC

《P106 解答 ①》 A P Q B C

《平行線と線分の比(2)の証明》 A P Q B C A 点P を通って、辺AC に平行な直線がBC と交わる点をR とする。 P Q B R C

《平行線と線分の比(2)の証明》 A 点P を通って、辺AC に平行な直線がBC と交わる点をR とする。 P Q △APQ と△PBR で ∠APQ＝∠PBR ∠PAQ＝∠BPR B R C ２角相等で、 △APQ∽△PBR よって、 AP:PB＝AQ:PR 四角形PRCQ は平行四辺形だから、 PR＝QC したがって、 AP:PB＝AQ:QC

《平行線と交わる直線》 (1) AB:BC＝A’B’:B’C’ A A’ B B’ C C’ AB:A’B’＝BC:B’C’ (2) A A’ B B’ C C’

《平行線と交わる直線(1)の証明》 Aを通り、直線A’C’に平行な直線を引き、直線BB’, CC’との交点を、それぞれD, E とする。 A A’ B D B’ △ACE で、 BD // CE だから、 C E C’ AB:BC＝AD:DE 四角形ADB’A’, DEC’B’はともに平行四辺形だから、 AD＝A’B’ , DE＝B’C’ したがって、 AB:BC＝A’B’:B’C’

《平行線と交わる直線(1)の証明（別解）》 A , C’を通る直線を引き、直線BB’との交点を、 D とする。 A A’ B D B’ △ACC’で、 BD // CC’だから、 AB:BC＝AD:DC’ C C’

《平行線と交わる直線(1)の証明（別解）》 A , C’を通る直線を引き、直線BB’との交点を、 D とする。 A A’ B D B’ △ACC’で、 BD // CC’だから、 AB:BC＝AD:DC’ C C’ また、△C’AA’で、 DB’ // AA’だから、 AD:DC’＝A’B’:B’C’ したがって、

《平行線と交わる直線(1)の証明（別解）》 A , C’を通る直線を引き、直線BB’との交点を、 D とする。 A A’ B D B’ △ACC’で、 BD // CC’だから、 AB:BC＝AD:DC’ C C’ また、△C’AA’で、 DB’ // AA’だから、 AD:DC’＝A’B’:B’C’ したがって、 AB:BC＝A’B’:B’C’

《平行線と交わる直線(2)の証明》 (1)の証明１より、 A A’ AB:BC＝A’B’:B’C’ B B’ これより、 AB･B’C’＝A’B’･BC 両辺をA’B’･B’C’でわると、 AB BC ――＝―― A’B’B’C’ C C’ AB ――は、AB:A’B’の比の値であり、 A’B’ BC ――は、BC:B’C’の比の値であるから、 B’C’ AB:A’B’＝BC:B’C’

《平行線と交わる直線(2)の証明》 (1)の証明１より、 A A’ AB:BC＝A’B’:B’C’ B B’ これより、 AB･B’C’＝A’B’･BC 両辺をA’B’･B’C’でわると、 AB BC ――＝―― A’B’B’C’ C C’ AB ――は、AB:A’B’の比の値であり、 A’B’ BC ――は、BC:B’C’の比の値であるから、 B’C’ AB:A’B’＝BC:B’C’ a:b＝a’:b’ a:a’＝b:b’ さらに、

《平行線と交わる直線(2)の証明》 (1)の証明１より、 A A’ AB:BC＝A’B’:B’C’ B B’ これより、 AB･B’C’＝A’B’･BC 両辺をA’B’･B’C’でわると、 AB BC ――＝―― A’B’B’C’ C C’ AB ――は、AB:A’B’の比の値であり、 A’B’ a:b＝a’:b’ BC ――は、BC:B’C’の比の値であるから、 B’C’ AB:A’B’＝BC:B’C’ a:a’＝b:b’ D D’ さらに、 AB:A’B’＝BC:B’C’＝CD:C’D’

《P109 解答 ④》 p xcm 18cm zcm q 27cm 30cm r 9cm ycm 8cm s

線分の比と平行線 A △ABC で、辺AB, AC 上に、それぞれ、点P, Qがあるとき、 P Q (1)AP:AB＝AQ:ACならば、 PQ // BC B C

線分の比と平行線 A △ABC で、辺AB, AC 上に、それぞれ、点P, Qがあるとき、 P Q (1)AP:AB＝AQ:ACならば、 PQ // BC B C (2)AP:PB＝AQ:QCならば、 PQ // BC

線分の比と平行線 A △ABC で、辺AB, AC 上に、それぞれ、点P, Qがあるとき、 P Q (1)AP:AB＝AQ:ACならば、 PQ // BC (2)AP:PB＝AQ:QCならば、 B C PQ // BC

《線分の比と平行線(1)の証明》 A △APQ と△ABC で ∠PAQ＝∠BAC P Q AP:AB＝AQ:AC ２辺の比と夾角相等で、 △APQ∽△ABC B C 相似な三角形なので、 ∠APQ＝∠ABC 同位角が等しいので、 PQ // BC

《線分の比と平行線(2)の証明》 A 点C から BA に平行な直線をひき、直線PQ との交点をR とする。 R P Q △APQ と△CRQ で ∠PAQ＝∠RCQ ∠AQP＝∠CQR B C △APQ∽△CRQ ２角相等で、 AP:CR＝AQ:CQ よって、また、仮定から、 AP:PB＝AQ:QC だから、 AP:PB＝AP:CR これらより、 PB＝CR PB＝CR , PB // CRだから、四角形PBCRは平行四辺形、したがって、 PQ // BC

《線分の比と平行線(2)の証明（別解）》 A 仮定より、 AP:PB＝AQ:QC P Q この比を、m:nとすると、 AP:PB:AB＝ m:n:(ｍ＋n) AQ:QC:AC＝ m:n:(ｍ＋n) B C よって、 AP:AB＝AQ:AC＝ m:(ｍ＋n) 平行線と交わる直線(1)の証明より PQ // BC

《P111 解答 ⑥》 O P R Q A C B

《P111 練習解答 ①》 A P D B E Q C R F

《P111 練習解答 ②》

END

５ 図形と相似