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第十四章

第十四章. 頻率響應. 測試一個線性電路的便利方式為注入一個波弦函數為輸入時，觀察其弦波穩態的響應。 每種不同頻率的輸入，都會造成不同振幅及相位的電路響應。此種隨著頻率改變的響應，就是電路的頻率響應 。 分貝比例，是一種測量非負值數值的好方法；它被定義且使用在波德圖裡，它描述輸入 - 輸出的放大比 ( 增益 ) 隨頻率而變化之情形。. 14.1 頻率響應函數 14.2 分貝刻度 14.3 波德增益 ( 振幅 ) 圖 14.4 共　振 14.5 運算放大器的頻率響應 14.6 濾波器 14.7 主動濾波器設計 14.8 比例化

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第十四章

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  1. 第十四章 頻率響應

  2. 測試一個線性電路的便利方式為注入一個波弦函數為輸入時，觀察其弦波穩態的響應。 • 每種不同頻率的輸入，都會造成不同振幅及相位的電路響應。此種隨著頻率改變的響應，就是電路的頻率響應 。 • 分貝比例，是一種測量非負值數值的好方法；它被定義且使用在波德圖裡，它描述輸入 - 輸出的放大比 ( 增益 ) 隨頻率而變化之情形。

  3. 14.1頻率響應函數 • 14.2分貝刻度 • 14.3波德增益 ( 振幅 ) 圖 • 14.4共　振 • 14.5運算放大器的頻率響應 • 14.6濾波器 • 14.7主動濾波器設計 • 14.8比例化 • 總　結

  4. 14.1頻率響應函數 • 我們定義H(jω)為頻率響應函數 (frequency response function)， • H(jω)是以jω替代轉移函數的s，此比例值與輸入相量產生輸出相量。 • 在一穩定電路中，輸出相量是由輸入相量及頻率響應函數H(jω)的乘積所產生的。

  5. 例題14.1 某一電路的轉移函數為 ，試求穩態輸出 。輸入相量為 若輸入 ，並且由頻率響應方程式 (14.9) 式知 求得 因此 (14.10)

  6. 例題14.2 替代 若 ，試求激勵響應 。我們先求 ，再以 ，以此計算電路在此頻率下的頻率響應函數。 ， 在圖14.1中 節點的 領域節點方程式為 解之，得

  7. 欲求輸出 ，需以 乘以串聯導納

  8. 因此轉移函數 ，即 電源頻率為 ，而電源相量 ，藉頻率響應方程式， 輸出相量 等於輸入相量乘以 時之頻率響應函數， 用計算機計算得 即 此即穩態電流。

  9. 弦波輸出的振幅與弦波輸入的振幅之比，即為頻率響應函數的大小。弦波輸出的振幅與弦波輸入的振幅之比，即為頻率響應函數的大小。 • 稱為電路的增益 • 相量的角度即為相對應弦波的相位角度

  10. 例題14.3 畫出圖14.2電路的增益及相位移。輸出為 ，由分壓比，得 轉移函數為 此電路有一單極點在 ，且為穩定的。我們以 代入 即可求出穩態下的電路頻率響應函數 。其增益為頻率 的函數，

  11. (14.15) 輸出落後輸入會隨著頻率增加而增加相位移。注意，輸入若為dc ，則輸出不變 ( 此時電容器如同開路 )，意即dc的相位移為零。 圖14.2　例題14.3的電路 圖14.3(a) 增益對 ；(b) 相位移對

  12. 不穩定電路因無法測得穩態增益及相位移，故絕不可能得一“安定”的穩態。

  13. 14.2分貝刻度 • 最常用來量測增益的刻度，是一種稱為分貝刻度的對數刻度，對一正實數R定義為

  14. 例題14.4 圖。根據 (14.14) 式， 以分貝畫前一例子的電路增益 (14.23a) (14.23b) 其圖顯示於圖14.4，注意在 和 增益相差 ，且在 增益也是相差3-dB，後者的增益是 和 如此的小，以 致於很難在線性刻度上分辨出來 [ 見圖14.3(a)]

  15. 圖14.4　例題14.4的增益以分貝表示

  16. 二數的乘積轉換成分貝時，等於它們各別分貝值的和。二數的乘積轉換成分貝時，等於它們各別分貝值的和。 • 二數值的比值轉換成分貝時，等於它們各別的分貝值的差。

  17. 例題14.5 數值84.4以分貝表示為 ( 取三位有效數字 )， 則 此外， 此外， 餘此類推。

  18. 14.3波德增益 ( 振幅 ) 圖 • 將H(s)化為標準形式是畫波德圖的第一步。

  19. 例題14.6 將轉移函數 化為標準形式。首先，因式 分解，我們發現一個零點與三個一階相異極點， 重組共軛項， ，一極點在 我們可以得到一常數 ，單一零點在 ，阻尼因數 的二次式。 ，及一自然頻率

  20. 增益為 • 要畫以分貝表示的增益︱ H(jω)︱，變成先分別畫出(14.33)上式右邊的各項，然後將這些成分相加，便可得所要的增益圖。

  21. 只有二種項目須要學會如何去畫：實根項及共軛複數根項。更正確地說，還有第三項：常數項 dB，然而此項的圖很明顯地是在 的一水平直線。

  22. 圖14.5　實根分子因式 之波德增益圖

  23. 圖14.6　分子因式 的波德增益圖

  24. 例題14.7 畫出 的未修正及修正波德增益圖。 以標準形式表示

  25. 未修正波德圖與它的阻尼因數無關，但修正圖則與它的阻尼因數有很大的關係。

  26. 例題14.8 畫出下式的未修正及修正波德圖

  27. 例題14.9 對一個電路，其轉移函數為

  28. 14.4共　振 • 在一段很窄的頻率範圍和其他頻率有很大差異的電路，這些電路稱為共振電路。 • 高度共振電路的增益在它的共振頻率會達到一尖銳的極大值或極小值，而在共振頻率旁的一小段頻率之外的變化是非常低的。

  29. 圖14.13(a) 串聯RLC電路；(b) 波德增益圖。

  30. 共振峰值的寬度被用來測量共振電路的頻率選擇性，定義共振電路的頻寬B是一個差值共振峰值的寬度被用來測量共振電路的頻率選擇性，定義共振電路的頻寬B是一個差值

  31. 頻寬B是測量在電路接近共振時的頻率帶寬度，也就是增益在共振增益3dB內的頻率。頻寬B是測量在電路接近共振時的頻率帶寬度，也就是增益在共振增益3dB內的頻率。 • 定義品質因數Q為共振頻率和頻寬比值， • 品質因數愈大，電路愈常被選用

  32. 圖14.14　有相同頻寬但不同品質因數的兩個增益曲線圖14.14　有相同頻寬但不同品質因數的兩個增益曲線

  33. 例題14.10 我們希望設計具有共振頻率 和品質因數 為100的串聯共振 電路。因為有2個限制條件在三個參數RLC上，可以任意採用一 個試探值，假設固定一個電容值為 ，根據 (14.46) 式，

  34. 兩邊平方而解出 解 (14.51) 式得

  35. 對於高Q電路，將發現較常使用主動電路，其內含運算放大器 。 圖14.15(a) 並聯RLC電路；(b) Bode增益圖

  36. 表14.1　串聯和並聯RLC電路的性質

  37. 許多其他被動和主動電路也會發生共振現象，在每一個例子裡，他們的共振行為可以用波德增益圖決定，而且利用決定最大值 ( 或最小值 ) 增益位置去發現共振頻率， 不像串聯和並聯RLC電路，在一般例子裡，常常很難精確地算出共振頻率。

  38. 14.5運算放大器的頻率響應 • 修改固定的常數模型以反應實際隨頻率而下降的開迴路增益。

  39. 使用負回授可以大量減少開迴路增益在輸入 - 輸出電壓轉換比的影響。 圖14.19　反相放大器 圖14.20　反相放大器的波德圖

  40. 如果需要較大的增益和頻寬積，增益必須分成兩級或使用較高增益 - 頻寬的運算放大器，後者可能較昂貴。 • 運算放大器是高度地與頻率相依，頻寬太小而無法實際應用在開迴路上，當組成負回授電路如先前介紹的積塊電路 ( 單輸入和多輸入反相與非反相放大器，電壓隨耦器 )，頻寬將增加大約正比於增益減少。

  41. 14.6濾波器 • 濾波器是一個設計來阻止一些事物而讓其他通過的裝置 。 • 濾波器是由通帶的位置來命名，如果， 則是具有截止頻率的低通濾波器。如果通帶是在截止頻率的上面， ，則是高通濾波器。

  42. 例題14.12

  43. 帶通濾波器只有中間地帶才能通過 。 • 帶拒濾波器具有二個分開的通帶 。

  44. 例題14.13

  45. 電壓隨耦器充當緩衝放大器來消除負載效應 。 • 要防止負載效應，或許可以利用具有非常高輸入阻抗的緩衝放大器 ( 電壓隨耦器 ) 把電路分開成數級，可以得到一個串聯電路，此電路的轉移函數是由個別轉移函數乘積組成的。

  46. 濾波器需要那些元件？ • 一個濾波器完全由被動元件 (RLC) 組成是一種被動濾波器，如果使用具有電源供應元件的運算放大器或其他電路，則是一種主動濾波器。 • 主動濾波器時常用在實際濾波器設計應用上，然而卻有元件數目多和功率消耗大的明顯缺點。但如同我們現在描述的，使用被動濾波器有嚴重的限制存在。

  47. 被動濾波器的轉移函數包含共軛複數根因數，需要有電感和電容兩種元件。被動濾波器的轉移函數包含共軛複數根因數，需要有電感和電容兩種元件。 • 電感在現代小型化電路設計上傾向於儘量少用，電感是體積龐大和昂貴的，並且因為有充分串聯電阻使得他們一般只能在相當低Q值的應用上。 • 電感不能被有效地製作在薄膜積體電路上。

  48. 被動濾波器是浪費的，因為他們在任何頻率不會有大於1的增益。 • 串聯被動濾波器導致負載效應。 • 主動濾波器不需要電感，可以有任何要求的增益大小，並且如同我們所見的可以很容易設計承受高阻抗的負載。

  49. 例題14.14

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