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“Su alcuni problemi nella Teoria dei Linguaggi Formali”

“Su alcuni problemi nella Teoria dei Linguaggi Formali”. Unita’ di Salerno. Marcella Anselmo Clelia De Felice Rosalba Zizza. Splicing Systems. [Bonizzoni, cdf, Mauri, Zizza 2002]. Proposition.

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“Su alcuni problemi nella Teoria dei Linguaggi Formali”

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Presentation Transcript

  1. “Su alcuni problemi nella Teoria dei Linguaggi Formali” Unita’ di Salerno Marcella Anselmo Clelia De Felice Rosalba Zizza

  2. Splicing Systems

  3. [Bonizzoni, cdf, Mauri, Zizza 2002] Proposition Let L be a regular language, t  N, mi = wi [xi] be a constant class, with [xi] being a simple or finite class, i  {1, ..., t}. Let L(mi)={y  L | y=y’1m y’2, y’1 , y’2 A*, m  mi } Then, the language L’ = L(mi) is a finite splicing language. Head, Goode, Pixton 2002 (?)

  4. Codici (teoria classica)

  5. DEFINITIONS C  A* code   c1 , c2 , ..., ck , c’1 , c’2 , ..., ch  C[ c1 c2 ... ck= c’1 c’2 ... c’h  h=k, i ci = c’i ] (Finite codes) C  A* prefix code  C  C A+ =  C  A* maximal code over A  (C’ code, C  C’  C = C’ )

  6. Conjecture 1 (Schützenberger). Every finite maximal code can be obtained by composition of prefix and suffix codes. (FALSE) (Cèsari 1974, Boë 1978, Vincent 1985) Conjecture 2Every factorizing code can be obtained by substitution of prefix and suffix codes.

  7. RESULTS [cdf, MFCS 00, IC 01] Counterexamples to Conjecture 1 (Cèsari 1974, Boë 1978, Vincent 1985) can be obtained by substitution of prefix and suffix codes. Proposition 1Conjecture 2 is true for C=P(A-1)(1+w), w  A* Proposition 2C factorizing code, an  C, n >1 such that ai bz  C i<n ; ybaj  C j <n.  C can be obtained by substitution of factorizing codes C(h) with ak  C(h) , k < n. Proposition 3C=P(A-1)S+1 maximal code, PZ<a>, S Z<A>. C can be obtained by substitution of prefix and suffix codes

  8. Proposition 4[cdf 02] The relation C=(a{0,2,4} + a{0,2,4}ba{0,7,9,11} ) (a+b-1) (a{0,1,6,7} + a{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}ba19 ) + 1 defines a 3-code C which cannot be obtained by substitution (with other codes).

  9. [cdf 02]Characterization of subsets C1 a*ba* such that  n N ,  a factorizing code C with C1 an = C  (a*ba*  an) Corollary[cdf 02]Given X  a*ba* we can decide whether  a factorizing code C such that X  C.

  10. Proposition 5[cdf IJAC 99] Let C1 be a subset of a*ba* which satisfies inequalities • C1 = aI baJ +  ai baLi (a-1) aJ +  aMj (a-1)aI baj  0 iI’ jJ’ • aI aJ = (an-1) / (a-1) Then, there exists an arrangement of C1 over a matrix C1 = such that, for any row Tp and any column Rq , (Tp, Rq) is a Hajós factorization of Zn having (I,J) as a Krasner companion factorization.

  11. Equazioni tra linguaggi

  12. Equazione di coniugazione XZ=ZY per linguaggi X,Y,Z. Problema 1: Dato Z, caratterizzare (X,Y) tali che XZ=ZY Problema 2: Data (X,Y), caratterizzare Z tale che XZ=ZY • Generalizzazione della equazione di commutazione XZ=ZX tra linguaggi (risolta per |X|=2 e per X prefisso [ Choffut, Karhumaki, Ollinger 1999; Ratoandramanana 1989] ). • Estensione ai linguaggi della equazione di coniugazione tra parole xz=zy.

  13. RISULTATI NOTI [Cassaigne, Karhumaki, Manuch 2001] x z X,Y overlapping y z’ Z biprefisso x z X,Y non overlapping z’ y • Caratterizzazione di (X,Y) tali che XZ=ZY con: • Z biprefisso e |Z|=2 • Z biprefisso, con soluzioni non overlapping Caratterizzazione di Z tale che XZ=ZY con |X|=|Y|=2

  14. OPEN: XZ=ZY, Z biprefisso, X,Y overlapping x z CONTRIBUTI [cdf, Zizza 02] y z’ Z uniforme  X=Y  i, wZ t.c. |w|=i X=Y XZ = ZX risolta per Z prefisso [Choffut, Karhumaki, Ollinger 1999; Ratoandramanana 1989]

  15. Codici (teoria non classica)

  16. Decifrabilita’ di codici UD(unica decodifica di concatenazione di parole di codice) MSD(unica decodifica a meno di una permutazione delle parole di codice) SD(unica decodifica sullo stesso insieme delle parole di codice) UD  MSD  SD • Ogni UD soddisfa la disuguaglianza di Kraft-McMillan. • Esistono MSD che non soddisfano la disuguaglianza di Kraft-McMillan [Restivo, 1989]

  17. RISULTATI NOTI E PROBLEMI APERTI |C|=2 UD = MSD = SD [Lempel 86; Guzman 95] [Guzman 95; Head,Webwer 95] |C|=4 UD  MSD  SD ? C={c1 , c2 , c3} |c1 | = | c2 |  | c3| UD = MSD =SD [Blanchet-Sadri, 2001]

  18. Distribuzione di lunghezze

  19. (length ditribution of XA+ ) un= Card(XAn) uX =(un) n1 uX(z)=  un zn Problema 1 Caratterizzazione della distribuzione delle lunghezze di un codice biprefisso (Risultati parziali ed una congettura [Ahlswede, Balkenhol, Khachatrian, 1997]) Problema 2 Semplificazione della caratterizzazione della distribuzione delle lunghezze di un codice circolare

  20. 1. CONVEGNO 2. LETTERA 3. INVITI

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