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线性代数

线性代数. 教材： 《 线性代数 》 （第三版）赵树嫄主编 中国人民大学出版社. 第一章 行列式. §1.1 二阶与三阶行列式. 1.1 二阶与三阶行列式. 1.1.1 二阶行列式. 对于二元一次方程组. 定义二阶行列式. 则当. 时上述二元一次方程组有唯一解 , 并且通过带入消元法方程组的解为. 即可用二阶行列式表示为. 例 1 解二元一次方程组. 解：. 一、二阶行列式的引入. 1. 定义的引出. 用消元法解二元线性方程组. 方程组有唯一解为. 由方程组的四个系数确定. 2. 二阶行列式的定义. 主对角线. 副对角线. 即.

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Presentation Transcript

  1. 线性代数 教材：《线性代数》（第三版）赵树嫄主编 中国人民大学出版社

  2. 第一章 行列式

  3. §1.1二阶与三阶行列式

  4. 1.1 二阶与三阶行列式 1.1.1 二阶行列式 对于二元一次方程组 定义二阶行列式 则当

  5. 时上述二元一次方程组有唯一解,并且通过带入消元法方程组的解为时上述二元一次方程组有唯一解,并且通过带入消元法方程组的解为 即可用二阶行列式表示为

  6. 例1解二元一次方程组 解：

  7. 一、二阶行列式的引入 1.定义的引出 用消元法解二元线性方程组

  8. 方程组有唯一解为 由方程组的四个系数确定.

  9. 2. 二阶行列式的定义 主对角线 副对角线 即 2阶行列式的对角线法则 对于二元线性方程组 系数行列式

  10. 3.例子 例 解

  11. 例 解

  12. .列标 行标 二、三阶行列式 1.定义 记

  13. 2.三阶行列式的计算 对角线法则 说明1红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三 元素的乘积冠以负号． 说明2对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．

  14. 例 3.例子 解 按对角线法则，有

  15. 例 解 方程左端

  16. 1.1.2 三阶行列式 定义三阶行列式为:

  17. 则三元一次方程组 当

  18. 时方程组的解可用三阶行列式表示为

  19. 例2 计算行列式

  20. 解:

  21. §1.2 n阶行列式

  22. 由n个不同数码1，2，…，n组成的有序数组，称为一个n级排列，用由n个不同数码1，2，…，n组成的有序数组，称为一个n级排列，用 表示。 一、相关概念和定理（排列和逆序） 1.排列 例：2431—— 一个四级排列 45321—— 一个五级排列 12…n—— 一个n级排列 注1：n级排列的总数为n!个。 注2：12…n称为自然排列。

  23. 在一个排列 中，若数 则称这两个数组成一个逆序.一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数.记为 逆序 逆序 逆序 2.逆序 我们规定各元素之间有一个标准次序, n 个不同的自然数，规定由小到大为标准次序. 定义 例 排列32514 中， 3 2 5 1 4

  24. 例 求排列32514 的逆序数 3 2 5 1 4 例 思考：求 n(n-1)···1排列的逆序数？ 故此排列的逆序数为5. (n-1)+(n-2)+…1=

  25. 3.排列的奇偶性 逆序数为奇数的排列称为奇排列; 逆序数为偶数的排列称为偶排列. 例计算下列排列的逆序数，并讨论它的奇偶性. 解 此排列为偶排列.

  26. 4.对换 例：排列32514 排列23514 5.定理1：任意一个排列经过一次对换后奇偶性相反 证明 思路： 结论：相邻元素对换一次奇偶相反 t+t+1次相邻对换 结论：不相邻元素对换一次也奇偶相反

  27. 若将所有奇排列都施以对换（1,2）， 则p个奇排列全部变为偶排列，所以pq 若将所有偶排列都施以对换（1,2）， 则q个偶排列全部变为奇排列，所以qp p=q=n!/2. 5.定理2：n个数码（n>1)共有n!个n级排列，其中奇偶排列各占一半 证明：n级排列的总数为：n(n-1)…1=n! 设其中奇排列数为p个，偶排列数为q个。

  28. 二、n阶行列式 1. 观察 三阶行列式  =0  =2  =2  =1  =3  =1 观察结果 类似地： （1）每项都是位于不同行不同列的元素的乘积． （2）每项行标都是自然排列， 列标为偶排列则该项符号为＋，否则为－

  29. 的一个排列， 这里 是 2.n阶行列式的定义 定义 等于所有取自不同行不同列的元素的乘积 （1）式的代数和。 每一项（1）都按下列规则取符号：当 为偶排列时，（1）带正号；反之，（1）带负号。

  30. 注3一阶行列式 不要与绝对值记号相混淆; 注1 注2n阶行列式是由n!项组成，且正号项和负号项 各占一半。

  31. 定义4由 个数组成数表 从中选取处在不同行不同列的 个元素相乘 ,其中 为 的一 个全排列,并冠以符号 ,则 为 称和 阶行列式,记作

  32. 或简记为 表示处在第 ,其中 行,第 列位置的元素. 例4计算行列式 其中未写出部分全为零. 解：在行列式的展开式中共有 个乘积 ,显然如果 必为零, 从而这个项也必为零,因此只须考虑 则 的项.同理只须考虑 ,也即行列式的展开式 中只有 (其他的项乘积均为零),而

  33. 因而其符号为正.因此 定义5对角线以上（下）的元素全为零的行列式称为下（上）三角行列式. 由例4还可得出关于上、下三角行列式的如下结论:

  34. 例5计算行列式 解:在行列式的展开式中共有 个乘积 显然如果 则 必为零,从而这个项也必为零,因此只须考虑 的项.同理只须考虑 ,也即行列式的展 开式中只有 (其他的项乘积均为零),而

  35. 因而其符号为 ，因此 由例5还可得出下三角行列式的如下结论：

  36. 以上各种形式是计算行列式的常用形式,应该对这几种形式加以注意并加强对它们的理解和应用.以上各种形式是计算行列式的常用形式,应该对这几种形式加以注意并加强对它们的理解和应用.

  37. 例　计算行列式 解

  38. 例计算上三角行列式 解 思考：下三角行列式呢？

  39. 例

  40. 例证明对角行列式

  41. 考察： 2 1 3 1 2 3 (= 0) ( =1) 3 1 2 1 3 2 ( = 2) ( =1) 行排列 列排列

  42. n阶行列式的定义也可写成

  43. 定理 行标排列 证明思路 列标排列

  44. 总结n阶行列式的定义 推论

  45. 例 用行列式定义计算

  46. 其列标所构成的排列为： i 5 2 k 3 则 4 5 2 1 3是 奇排列。 例选择 i 和 k ，使 成为5阶行列式中一个带负号的项 解 可将给定的项改为行标按自然顺序，即 若取 i = 1，k ＝ 4， 则 (1 5 2 4 3) = 4，是偶排列， 该项则带正号， 对换1，4的位置， 故 i = 4，k = 1 时该项带负号。

  47. 逆序 整节回顾 1、二、三阶行列式和它们的计算 对角线法则 3 2 5 1 4 － ＋ － ＋ 2、n级排列、逆序、逆序数的概念 ，逆序数的计算 奇排列、偶排列的概念 3、什么是对换？ 定理1：任意一个排列经过一次对换后奇偶性相反 定理2：一个n级排列有n!种情况，其中奇偶各半

  48. 4、n阶行列式的定义 结论：三角形行列式的值等于主对角线上的元素的乘积

  49. 课堂练习

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