力学

力学 第四章杨维纮中国科学技术大学近代物理系

第四章机械能守恒 第四章机械能守恒中国科学技术大学杨维纮在笛卡儿提出动量守恒原理后42年，德国数学家、哲学家莱布尼兹（Leibniz，1646~1716）提出了“活力”概念及“活力”守恒原理。和笛卡儿一样，莱布尼兹也相信宇宙中运动的总量必须保持不变，不过和笛卡儿不同，他认为应该用 mv2表示这个量，而不是 mv。莱布尼兹与笛卡儿关于 mv2 和 mv 之争，在历史上曾经历相当长时期的混乱，一百多年后，人们逐渐明白，这是两种不同的守恒规律，莱布尼兹的“活力” 守恒应归结为机械能守恒。下面我们从现代的观点对这些概念一一地予以重新定义。

第四章机械能守恒 第四章机械能守恒中国科学技术大学杨维纮 §4.1 能量守恒 §4.2 动能定理 §4.3 势能 §4.4 机械能守恒定律 §4.5 质心系 §4.6 碰撞 §4.7 对称性、因果关系与守恒律

第四章机械能守恒 §4.1 能量守恒中国科学技术大学杨维纮 4.1.1 永动机不可能 4.2.2 重力势能 4.3.3 动能 4.4.4 弹性势能和其它能量形式

第四章机械能守恒 4.1.1 永动机不可能中国科学技术大学杨维纮实际上，永动机这个名词不太恰当。如飞轮之类，运动一经开始，若无摩擦作用，则可永久继续运动，这在实际上虽然不易实现，但于理说得通，可以看作一种实际的极限情形，此时没有动力输出，若说什么也不消耗，可以永久输出动力，此则非但不可实现，而且于理也说不通。所谓永动机，指的是人们幻想的一种机械装置，它一经启动，就自行运转下去，不断作出有用的功。企图制造永动机的最早记载，大约出现在13世纪。此后各种永动机的设计层出不穷，一直延续到19世纪工业革命后，势头才有所减弱。即使到今天，还不时有人提出一些实质上是永动机的装置，只不过它们伪装得更好，更不易被识破罢了。

第四章机械能守恒 4.1.1 永动机不可能中国科学技术大学杨维纮千万次的失败并没有使所有的人认输，总有一些人陷在永动机梦想的泥潭里不能自拔，并死死纠缠着要别人接受他们的设计方案。在这种情况下巴黎科学院在1775年不得不通过决议，正式宣告拒绝受理永动机方案。这说明在当时科学界，已经从长期所积累的经验中，认识到制造永动机的企图是没有成功的希望的。人们的原始概念，乃是“人力有限”，如果我们能够没有任何消耗而得到永久工作，那将是人力无限了！这种事情未免太好，好得令人难以置信。直到现在，美英等许多国家的专利局都订有限制接受永动机方案的条款。

第四章机械能守恒 4.1.1 永动机不可能中国科学技术大学杨维纮现在人们常用能量守恒定律来否定永动机，而19世纪能量守恒定律的三个创始人之一——亥姆霍兹（1821~1894）当年却是用不可能有永动机来论证能量守恒定律的。他在《论自然力的相互作用》一文中写道：“……鉴于前人试验的失败，人们…不再询问：我如何能够利用各种自然力之间已知和未知的关系来创造一种永恒的运动，而是问道：如果永恒的运动（指永动机）是不可能的，在各种自然力之间应该存在什么样的关系？”

第四章机械能守恒 4.1.1 永动机不可能中国科学技术大学杨维纮人们造出机器，是为了让它作功。“功”的概念在一般人的感觉中是现实的，具体的，它起源于早期工业革命中工程师们的需要，当时他们需要一个用来比较蒸汽机的效率的办法。在实践中大家逐渐同意用机器举起的物体的重量与行程之积来量度机器的输出，并称之为功。在19世纪初期用机械功测量活力已引入动力技术著作中。 1820年后，力学论文开始强调功的概念。 1829年，法国工程师彭塞利（Poneclet，1788~1867）在一本力学著作中引进“功”这一名词。之后，科里奥利在《论刚体力学及机器作用的计算》一文中，明确地把作用力和受力点沿力的方向的可能位移的乘积叫做“运动的功”。功与以后建立的能量概念具有相同的量度，功作为能量变化的量度为研究能量转化过程奠定了一个定量分析的基础。时至今日，物理学中并没有告诉我们能量究竟是什么，也没有说出各种表达式的机理。

第四章机械能守恒 4.1.2 重力势能中国科学技术大学杨维纮在下面的推理中，我们的前提是永动机不可能。它的依据是从千千万万人的实践中总结出来的经验事实。人们曾设想过各式各样的永动机，这里我们只讨论举重机械。如果有这样一架举重机械，当人们运用它完成一系列操作之后，装置回到了初始状态，在此过程中产生的净效果，是把一定的重量提升了一定的高度，则我们说，这就是一架永动机。有了这样一架举重的机械，完成其它操作的永动机就都变为可能的了。因而我们只需假设，这种举重式的永动机是不可能的。

第四章机械能守恒 4.1.2 重力势能中国科学技术大学杨维纮作为最简单的举重装置之一，我们追随斯泰芬，也研究斜面装置。不过为了简化讨论，我们把装置改为如图 4.1 所示的形式。设小球重量为 mg，大球重量为 Mg，在摩擦力趋于零的情况下，静力学平衡时，我们有 Mg sinθ= mg, 如果小球拖得动大球的话，则以小球降低高度 h 为代价，把大球提升高度 h/ = h sinθ ，于是：上面得到的式子是由斜面这个具体装置推导出来的，我们的问题是：无论用什么举重机械，以重物下降一个高度为代价，至多能够把多少重量上举一个高度？要普遍地回答这个问题，用本课前面已有的力学知识就不行了。下面我们从热学中卡诺（Sadi Carnot, 1796~1832）那里借来一种绝妙的推理方法。

第四章机械能守恒 4.1.2 重力势能中国科学技术大学杨维纮我们把各种机械装置分成可逆的和不可逆的两种。所谓可逆装置，就是它既能够以重物 m 的高度降低 h 为代价，把重物 M 提升一个高度 h/，又能够以重物 M 的高度降低 h/ 为代价，把重物 m 提升一个高度 h。我们说，理想的无摩擦装置是可逆的。显然，“可逆”和“不可逆”的概念可以推广到任何装置。结论是：在给定的情况下， 1. 所有不可逆装置的 M 都不大于可逆装置； • 所有可逆装置的 M 都相等。下面用归谬法来论证这两个结论。

第四章机械能守恒 4.1.2 重力势能中国科学技术大学杨维纮如果某个不可逆装置在同样的条件下举起的重量 M/g > 可逆装置举起的重量 Mg，我们就能够从 M/ 中分出一部分 M 来，以它降低高度 h/ 为代价，反向操作那个可逆装置，把不可逆装置中降下来的重物 mg 恢复到原来的高度 h。这样一来，在其它所有状态都复原的情况之下，产生的净效果是把一个重量为 (M/－ M)g 的重物提升了一个高度 h/。这就导致永动机成为可能的荒谬结论。所以，上面的前提不能成立，实际情况应该是，此即上述的结论 1。如果有两个可逆装置 A 和 B，在重物 m 的高度降低 h 的同样条件下，能够把重量分别为 MA 和 MB 的物体提升一个高度 h/，则利用上述推理不难得知：由于装置B可以反向运行，只要永动机不可能，就应有 MA ≤ MB ；由于装置A也可以反向运行，只要永动机不可能，就应有 MB ≤ MA。最后只能是 MA = MB，此即上述的结论 2。

第四章机械能守恒 4.1.2 重力势能中国科学技术大学杨维纮无摩擦的斜面是一种可逆的举重装置，既然所有的可逆装置提升的重量都一样，故(4.1.1)式适用于一切可逆装置。于是我们得到一条普遍的规律：在装置可逆的条件下，重量和高度的乘积这个量是守恒的，它代表一种潜在的作功本领，我们称它为物体的重力势能，记为，即：

第四章机械能守恒 4.1.3 动能中国科学技术大学杨维纮我们利用无摩擦的单摆来求运动物体的动能，如图4.2所示。假定摆锤从某一高度自由下摆，便可来回摆动。当摆锤摆到最低点时，势能将减少，这部分减少了的势能跑到哪里去了？观察摆锤运动，可以看到它会再次爬上来，可见失去的重力势能必定转变为另一种形式的能量，显然它是靠自己的运动才重新爬上来的，这是一种由于摆锤的运动所具有的能量。依能量守恒原理摆锤能够上升的高度与上升机制无关，即与上升路径无关。但动能一定等于初始自由下摆时的重力势能。为写出动能的形式，假如以最低点处同一速度竖直向上抛出这个物体，达同样高度，依运动学公式有关系式。所以这个动能 Ek 可写为：

第四章机械能守恒 4.1.3 动能中国科学技术大学杨维纮当然，物体因运动具有能量与物体是否处于重力场中无关。只要物体运动，均有动能。顺便指出，重力势能（重量与高度的乘积）的表达式 mgh 和动能表达式 mv2/2 都是近似公式。前者在高度很大时不正确，因为假定了重力为常量；后者在高速运动时要给予相对论性修正，因为假定了质量 m是绝对量。然而，当考虑了这些因素，给出精确表达式后，能量守恒定律仍然正确。

第四章机械能守恒 4.1.4 弹性势能和其它能量形式中国科学技术大学杨维纮对从 x = x0 到 x = x0+h积分，在此过程的两头速度 v 都等于零，有：即：我们得到弹性势能：

第四章机械能守恒 4.1.4 弹性势能和其它能量形式中国科学技术大学杨维纮如果此装置是一个理想的可逆装置，弹簧一端的物体将不断来回振动。实际情况是，振动将会逐渐减弱，直至趋于静止。当弹簧不再振动时，能量又到哪里去了呢？因为能量是守恒的。由此，可以发现另一种形式的能量：热能。众所周知，在弹簧或一般机械装置中有着大量原子组成的晶体。当弹簧运动或机器运转时，由于材料本身的缺陷，产生撞击和跳动，材料中的原子加剧无规则摆动，与此同时，发现机械运动减慢了，直至趋于静止，但动能依然存在，只是它与看得见的机械运动没有联系。我们如何知道动能仍然存在呢？这可以通过弹簧或机器变热加以判定。材料温度的提高是材料内部原子无规则振动动能增加的证明。我们称这种形式的能量为热能，它是材料内部原子无规则运动的动能。

第四章机械能守恒 4.1.4 弹性势能和其它能量形式中国科学技术大学杨维纮以上分析可知： • 能量守恒定律极其有用，上面分析的几个简单例子中已经说明了这一点。 • 如果我们找到了各种能量的表达式，那么可以不必分析物理过程的细节就可以知道应当发生的某些结论。 • 因此不仅是能量守恒定律，其它守恒定律也一样让我们产生浓厚的兴趣，在下一章我们还要讲述角动量守恒定律，这就是从大到小的研究顺序的独到之处。 • 目前我们并没有深刻理解守恒定律，本章末将说明，能量守恒定律与时间平移对称性有关，动量守恒定律与空间的平移对称性有关。由此可见，把握了大的总体的方面，我们会对物理有深刻的理解。

第四章机械能守恒 §4.2 动能定理中国科学技术大学杨维纮 4.2.1 质点动能定理 4.2.2 功和功率 4.2.3 质点系动能定理

第四章机械能守恒 4.2.1 质点动能定理中国科学技术大学杨维纮我们知道，力的冲量可以使物体（质点）的动量发生改变；力又是如何使物体的动能发生改变的呢？为此，我们计算一下单位时间动能的改变。对于直线运动，考虑物体在力的作用下动能的改变，我们有：即：这是元过程的表达式，对于有限过程，则可以两边积分得：

第四章机械能守恒 4.2.1 质点动能定理中国科学技术大学杨维纮对于一般的曲线运动，考虑物体在力的作用下动能的改变，我们有：即：由上式知，动能的时间变化率等于作用在物体上的作用力与速度的标积。由于能量概念的重要性，我们把 mv2/2 称为动能，把 F﹡v称作力传递给物体的功率。以 P 表示功率，有：因此，上述结论又可以说成：一个物体动能的时间变化率等于作用在该物体上的力传递给物体的功率。我们把 F﹡dr 称作力对物体作的元功。对(4.2-6)式积分得：

第四章机械能守恒 4.2.1 质点动能定理中国科学技术大学杨维纮此式右边的积分被称为作用于物体的力所做的功，通常把该式称为质点动能定理：即作用于物体上的合力所做的功等于物体在此过程中动能的增量。动能定理本质上是能量守恒定律在牛顿力学范畴内的一种表述。上面所讨论的是单质点动能定理，其对象是单质点系统，如果与外界无相互作用，即既不输入能量，又不输出能量，系统（质点）必保持能量不变，即动能不变。如果与外界有相互作用，外界将以力对系统作功，输入（或输出）能量，其结果必然使质点系统能量改变，即动能改变，动能的时间变化率等于外力传递给物体的功率，或者动能的增量等于外力作的功。

第四章机械能守恒 4.2.1 质点动能定理中国科学技术大学杨维纮由质点动能定理及其推导可知： 1. 做功是通过力来实现的； 2. 做功的多少与路径有关； 3. 质点动能定理成立的参考系为惯性系。

第四章机械能守恒 4.2.2 功和功率中国科学技术大学杨维纮物理学上的功定义为力 F 与位移元 dr 标积的线积分，若以 A 表示功，有：其意思是：如果有一个力作用于物体上，同时物体在某一方向上发生位移，则只有位移方向上的分力作了功，与位移成直角的力不作功。物理学上功的含义与一般情况下的工作含义是不同的，按照物理学上功的定义，如果一个人把40千克的重物提在手中一段时间，他并没有做功，然而，他会感到很累。显然，物理学上功的定义与生理学中功的定义不一样。那么为什么我们要取现在的定义去计算功呢？这是因为这样计算功是有意义的：作用在一个质点上的力所作的功，恰好等于该质点动能的变化。

第四章机械能守恒 4.2.2 功和功率中国科学技术大学杨维纮有时重要的问题不是能作多少功，而是作功的效率，即在单位时间内作多少功。单位时间所做的功称为功率：简单机械可以省力，但功率是不能放大的。在国际单位制中，力的单位是牛顿（N），功的单位则为牛顿·米（N·m），通常把1牛顿·米称作1焦耳（J），由上面给出的势能、动能、功的定义不难验证，它们具有相同的量纲。功率的单位是焦耳/秒，也称瓦（W）。如果用瓦乘以时间就是所作的功，电力公司在计算每家用电量时，常采用千瓦·小时来计量用电量的多少，1千瓦·小时等于1千瓦乘3600秒，即 3.6×106 焦耳。

第四章机械能守恒 4.2.3 质点系动能定理中国科学技术大学杨维纮

第四章机械能守恒 4.2.3 质点系动能定理中国科学技术大学杨维纮其中：分别为作用于第 i 个质点上的合外力所作的功和第 j个质点对第 i个质点的内力所作的功。将上式对所有的求和，得：其中 Ek、A外、A内分别为质点系的总动能、外力和内力对质点系作的总功：

第四章机械能守恒 4.2.3 质点系动能定理中国科学技术大学杨维纮该式即为质点系动能定理，我们把它叙述如下：作用于质点系的所有外力所作之功与所有内力所作之功的总和等于质点系动能的增量。需要注意的是，内力产生的总动量虽然为零，但内力作的总功一般不等于零。

第四章机械能守恒 4.2.3 质点系动能定理中国科学技术大学杨维纮质点系动能定理与质点系动量定理的比较： • 质点系动量定理是矢量式，而质点系动能定理是标量式。 2. 质点系动量定理与质点系动能定理是相互独立的。 • 内力的作用不改变体系的总动量，但一般要改变体系的总动能。

第四章机械能守恒 §4.3 势能中国科学技术大学杨维纮 4.3.1 有心力及其沿闭合路径作功 4.3.2 保守力与非保守力、势能 4.3.3 势能曲线

第四章机械能守恒 4.3.1 有心力及其沿闭合路径作功 §4.3 势能中国科学技术大学杨维纮所谓“有心力”，即在空间中存在一个中心 O，物体（质点）P 在任何位置上所受的力 F 都与 OP 方向相同（排斥力）或相反（吸引力），其大小是距离 r = OP的单值函数。万有引力就是一种有心力，万有引力为：其中表示沿方向的单位向量。

第四章机械能守恒 4.3.1 有心力及其沿闭合路径作功中国科学技术大学杨维纮我们感兴趣的问题是，如果物体在有心力场中循环运动一周，其动能会不会有所增加（或减少）呢？或许有那么一条特殊的无摩擦的轨道从一点开始，经过一个循环回到初始点，有心力在过程中不断作功，使物体的动能有所增加？我们可以肯定他说，这是不可能的。因为，如果存在这样一个轨道，这个物体周而复始地沿此轨道作循环往复运动，在每次回到初始点时，将会获得越来越大的动能，而系统本身没有付出代价，这不符合能量守恒原理。这就是一种永动机，因而是不可能的。因此，结论是物体在有心力场中环绕任何封闭路径运行一周作的功必为零。（物体回到初始点动能减少也是不可能的。如果这样，可以沿原回路反向行进，必使动能增加。）

第四章机械能守恒 4.3.1 有心力及其沿闭合路径作功中国科学技术大学杨维纮下面用数学方法给出验证。如图4.4所示，设想把质点沿任意路径 L 从 P 点搬运到 Q 点，有心力所作的功为：由于：上式化为：此式只与两端点到力心的距离 rp 和 rQ有关，与路径 L 无关。上式表明，有心力作功可以化为沿任意半径的一维问题。

第四章机械能守恒 4.3.1 有心力及其沿闭合路径作功中国科学技术大学杨维纮有心力的重要性质：有心力作功只与始终点的位置有关，与路径无关。或：有心力沿闭合路径作功为零。

第四章机械能守恒 4.3.2 保守力与非保守力、势能中国科学技术大学杨维纮由上述可知，存在一类重要的力场，在该力场中，力对质点所作的功只与该质点的始、末位置有关，而与该质点所经的具体路径无关。我们称此力场为保守力场，物体在保守力场中所受的力称为保守力。显然，保守力场中力的环路积分必为零。凡所功不仅与始、末位置有关，而且与具体路径有关，或沿任一闭合路径一周作功不为零的力称为非保守力。沿闭合路径一周作功小于零的力称为耗散力。滑动摩擦力是非保守力，而且还是耗散力。

第四章机械能守恒 4.3.2 保守力与非保守力、势能中国科学技术大学杨维纮为了比较容易地判断常见的力是否保守力，下面给出保守力的一些充分条件。 • 对于一维运动，凡是位置单值函数的力都是保守力。例如服从胡克定律的弹性力 f = f (x) = －k(x－x0) 是 x 的单值函数，故它是保守力。 • 对于一维以上的运动，大小和方向都与位置无关的力，如重力 f = mg 是保守力。 • 有心力是保守力。例如万有引力就是保守力。

第四章机械能守恒 4.3.2 保守力与非保守力、势能中国科学技术大学杨维纮定理：对于保守力场，可以定义一个标量函数 V(r)，称为势能（或势函数、位能），使保守力作的功为：A(rA→ rB) =V(rA) － V(rB) 。其中A(rA→ rB)表示质点从空间 rA 点运动到 rB 点保守力所作的功。证：这样选择一个标量函数：如图4.5，先任取一点 rC，令：对空间任意点，定义：由于是保守力场，故 A(rC→ r) 唯一确定，与运动的路径无关，于是对于空间中的任意点 r，我们定义的 V(r) 的值确定并且唯一。下面证明 V(r) 就是势能。

第四章机械能守恒 4.3.2 保守力与非保守力、势能中国科学技术大学杨维纮对于空间中任意两点 rA 和 rB，按照我们对的 V(r) 定义，有：将上面两式相减，注意到保守力作功与路径无关，可得：由于：故 V(r) 就是势能。 [证毕] 反之，存在势能的力一定是保守力。

第四章机械能守恒 4.3.2 保守力与非保守力、势能中国科学技术大学杨维纮注：由证明可见，势能具有一个任意常数一般我们规定 ∞ 点的势能为零。势能 V(r) 与保守力 F 的关系：

第四章机械能守恒 4.3.2 保守力与非保守力、势能中国科学技术大学杨维纮例4-2：位于坐标原点的质量为 M 的质点的引力场对位于 r 点质量为 m 的质点的万有引力为：若规定无穷远点 ∞ 的引力势能为零，则空间 r 点质量为 m 的质点的势能为：当然，利用(4.3.6)的第二式可反推得：

第四章机械能守恒 几点注意：中国科学技术大学杨维纮 • 引力势能实际上属于 m, M 两者组成的体系，地球与月球间的相互引力势能应属地、月系统所共有。物体在地球表面的重力势能原则上是物体与地球整个系统所共有，鉴于在重力势能转化为动能时（物体下落重力作功），物体所获得的动能几乎等于下落前后的引力势能差，在这种情况下人们也常说物体具有重力势能，这里已经把地球质量看成无穷大了。 • 自然界中的大部分能量，以引力势能形式存在。 • 保守力作功使其势能减少。

第四章机械能守恒 几点注意：中国科学技术大学杨维纮 • 如果质点系内任意两点之间的作用力都是保守力，则称该质点系为保守体系。对于保守体系，我们可以这样定义势能，规定所有的质点都在无穷远处时体系的势能为零，即让 V(∞) = 0 ，然后将 n 个质点一个一个从无穷远点沿任意路径移至它们所在的点，算出保守力所作的总功 A，利用(4.3.8)式可知该保守体系的势能为：

第四章机械能守恒 4.3.3 势能曲线中国科学技术大学杨维纮一旦知道了势能的表达式，利用(4.3.5)式即可求得力的表达式。力是矢量，而势能是标量，一般情况下，确定标量函数比确定矢量函数要容易。如果保守力仅是两质点距离的函数，则势能是一维函数。在许多实际问题中，特别是在微观领域内，确定势能往往比确定力更方便，故用势能函数来了解力的性质是有实际意义的。表示势能与两质点相对关系的图形叫势能图。若势能为一维函数，这时，势能图成为势能曲线。

第四章机械能守恒 4.3.3 势能曲线中国科学技术大学杨维纮上面引出势能曲线进行讨论的原因还在于力的概念对量子力学的微观理论来说不太合适，而能量是对系统的恰当描述。当考察原子核中各核子之间、分子中各原子之间的相互作用时，力和速度等概念不用了，而能量概念继续存在，因此在有关量子理论的书中我们可以看到势能曲线，而很少看到微观粒子间的作用力曲线，因为那里人们采用能量，而不是采用力来分析问题。

第四章机械能守恒 4.3.3 势能曲线中国科学技术大学杨维纮 1. 几种势能曲线

第四章机械能守恒 4.3.3 势能曲线中国科学技术大学杨维纮 2. 势能曲线的用途 (1) 由势能曲线求保守力 • 求平衡位置及判断平衡的稳定性（该问题我们将在第七章中再详细讨论）。 • 决定质点的运动范围（该问题我们将在第五章中再详细讨论 ) 。

第四章机械能守恒 §4.4 机械能守恒定律中国科学技术大学杨维纮 4.4.1 质点系的功能原理和机械能守恒定律 4.4.2 保守系与时间反演不变性 4.4.3 两体问题

第四章机械能守恒 4.4.1 质点系的功能原理和机械能守恒定律中国科学技术大学杨维纮由质点系的动能定理(4.2.13)式：在一般情况下，可以将内力所作的功分为保守力作的功 A保内和非保守力作的功 A非保内两部分由(4.3.8)式知：于是：用 E 表示体系动能与势能之和，称为体系的机械能。则有：该式表示：外力的功和非保守内力的功之和等于体系机械能的增量，这就是质点系的功能定理或功能原理。

第四章机械能守恒 4.4.1 质点系的功能原理和机械能守恒定律中国科学技术大学杨维纮该式表示：外力的功和非保守内力的功之和等于体系机械能的增量，这就是质点系的功能定理或功能原理。若，体系机械能增加；若，体系机械能减少；若，体系机械能保持不变。

第四章机械能守恒 4.4.1 质点系的功能原理和机械能守恒定律中国科学技术大学杨维纮重要特例：这有如下几种情况： • 孤立体系，体系不受外力作用。 • 外力的作用点没有位移。如弹簧振子的固定端对弹簧所施的外力。 • 各外力与其相应作用点的位移互相垂直。如固定支承物的支承力。

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