וקטור קואורדינטות

1. וקטור קואורדינטות החוג למדעי המחשב -אלגברה לינארית

2. ווקטור קואורדינטות - הגדרה יהי מ"ו מעל שדה ויהי בסיס של אזי כל ניתן להצגה יחידה כצ"ל של אברי כלומר קיימים סקלרים כך ש- ווקטור המקדמים בצ"ל הנ"ל , דהיינו הווקטור נקראוקטור הקואורדינטות של הווקטור בבסיס , ומסומן החוג למדעי המחשב -אלגברה לינארית

3. ווקטור קואורדינטות - דוגמאות דוגמא 1: יהי וקטור במ"ו ונמצא את ביחס לבסיס הסטנדרטי במ"ו זה: החוג למדעי המחשב -אלגברה לינארית

4. מתקיים ולכן ווקטור קואורדינטות , המשך דוגמאות דוגמא 2: נתון בסיס למ"ו ונתון הווקטור • מהו עבור הבסיס הסטנדרטי של ? • חשבו עבור הבסיס הנתון ל- . החוג למדעי המחשב -אלגברה לינארית

5. ווקטור קואורדינטות - תכונות משפט: יהי מ"ו מעל שדה ויהי בסיס של אזי לכל ו- מתקיים: • . • . הוכחה: בתרגול. החוג למדעי המחשב -אלגברה לינארית

6. ווקטור קואורדינטות - הערה מושג זה של ווקטור קואורדינטות ותכונותיו, מאפשר לחקור ביתר קלות מרחבים ווקטוריים. נסביר ע"י דוגמא: קיימת התאמה טבעית בין הפולינום ( שהוא ווקטור במ"ו ) לבין ווקטור הקואורדינטות שלו ביחס לבסיס הסטנדרטי ( שהוא ווקטור במרחב ) ישנו קשר של דמיון בין המ"ו ו- . קשר זה נקרא איזומורפיזם. החוג למדעי המחשב -אלגברה לינארית

7. איזומורפיזם החוג למדעי המחשב -אלגברה לינארית

8. איזומורפיזם - הגדרה יהיו ו- מ"ו מעל שדה . העתקה נקראת איזומורפיזם אם מתקיים: • העתקה ח.ח.ע. • העתקה על. • לכל ולכל מתקיים א) ב) החוג למדעי המחשב -אלגברה לינארית

9. איזומורפיזם – המשך הגדרה יהיו ו- מ"ו מעל שדה . אם יש איזומורפיזם בין ו- אומרים שהם מרחבים איזומורפיים ומסמנים החוג למדעי המחשב -אלגברה לינארית

10. איזומורפיזם - דוגמאות דוגמא 1: המרחבים ו- איזומורפיים הוכחה: נגדיר העתקה באופן הבא: נוכיח כי איזומורפיזם. החוג למדעי המחשב -אלגברה לינארית

11. איזומורפיזם – המשך דוגמאות דוגמא 2: המרחבים ו- איזומורפיים הוכחה: נגדיר העתקה באופן הבא: נוכיח כי איזומורפיזם. החוג למדעי המחשב -אלגברה לינארית

12. איזומורפיזם - הכללת הדוגמאות משפט: יהי מרחב ווקטורי מעל ממימד נגדיר העתקה באופן הבא: כאשר בסיס כלשהו ל- , בפרט הבסיס הסטנדרטי אזי איזומורפיזם ולכן החוג למדעי המחשב -אלגברה לינארית

13. איזומורפיזם – תכונות משפט: אם איזומורפיזם בין מ"ו אזי (איזומורפיזם משמר את תכונת הנייטרליות של איבר האפס ) משפט: אם איזומורפיזם בין מ"ו אזי: קבוצת הוקטורים ת"ל ב- אםם קבוצת התמונות ת"ל ב- . ( איזומורפיזם משמר את תכונת התלות / אי תלות לינארית ) החוג למדעי המחשב -אלגברה לינארית

14. איזומורפיזם – המשך תכונות מסקנה ממשפט קודם: אם המרחבים ו- איזומורפיים אזי: קבוצת ווקטורים בת"ל ב- עוברת לקבוצת וקטורים בת"ל ב- ובפרט, בסיס במ"ו עובר לבסיס במ"ו ובהכרח מתקיים: כלומר כל שני מרחבים איזומורפיים הם בהכרח מאותו מימד. האם ההיפך נכון? כלומר האם כל שני מרחבים מאותו מימד הם בהכרח איזומורפיים? החוג למדעי המחשב -אלגברה לינארית

15. איזומורפיזם – המשך תכונות משפט: יהי מרחב ווקטורי מימדי מעל נגדיר העתקה באופן הבא: ( כאשר בסיס כלשהו ל- ) אזי איזומורפיזם ולכן החוג למדעי המחשב -אלגברה לינארית

16. איזומורפיזם – המשך תכונות מסקנה: כל שני מרחבים ווקטוריים מימדים מעל שדה הממשיים הם איזומורפיים ל- ולכן איזומורפיים זה לזה. החוג למדעי המחשב -אלגברה לינארית

17. דוגמאות לשימוש בתכונות האיזומורפיזם דוגמא 1: בדקו תלות/ אי תלות לינארית של המטריצות החוג למדעי המחשב -אלגברה לינארית

18. דוגמאות לשימוש בתכונות האיזומורפיזם , המשך דוגמא 2: הראו כי קבוצת הפולינומים מהווה בסיס למ"ו . החוג למדעי המחשב -אלגברה לינארית