Jäykän kappaleen dynamiikkaa

1. Jäykän kappaleen dynamiikkaa KOE1 A B 1 kg 1 kg Kaksi identtistä painavaa vauhtipyörää on kiinnitetty seinään. Vauhtipyörissä on kaksi kiekkoa. Pyörässä A naru on kierrettä ulommalle kiekolle ja vauhtipyörässä B sisemmälle kiekolle. Molemmissa naruissa on 1 kg punnus. Kysymys: Kumpi punnus putoaa suuremmalla putoamiskiihtyvyydellä? Vastaus: Vaikka kuormittava voima on sama, A putoaa nopeammin, koska voima vaikuttaa kauempana pyörimisakselista, voimalla sanotaan olevan suurempi momentti eli vääntövaikutus vauhtipyörään.

2. Voiman momentti Voiman vääntövaikutukseen vaikuttaa paitsi voiman suuruus F, myös voiman vaikutussuoran etäisyys pyörimisakselista (=voiman varsi ) r . Määritelmä: Voiman F momentti pisteen A suhteen M = F r missä r on voiman vaikutussuoran etäisyys akselista Momentin yksikkö on 1 Nm r M = Fr F

3. Hitausmomentti J samanmassaiset ja – säteiset A)ontto sylinteri, B) umpinainen sylinteri ja C) umpinainen pallo Koe 2 A B C 1 kg 1 kg 1 kg Kysymys: Missä järjestyksessä punnukset putoavat alas? Vastaus: Ensin umpinainen pallo, sitten umpisylinteri, viimeksi ontto sylinteri. Perustelu: Pyörimiseen liittyy myös massan hitaus, jossa massan lisäksi vaikuttaa kuinka kauas massa on jakautunut akselin ympärille. Umpinaisessa pallossa massa on lähinnä akselia, joten se lähtee helpoimmin pyörimisliikkeeseen. Kaikkein kauimpana akselista on onton sylinterin massa, joten se on vaikeinta saattaa pyörimisliikkeeseen

4. Hitausmomentin määritelmä Kappaleen hitausmomentti määritellään kaavalla J =  r2 dm missä integroidaan massa-alkioiden ja niiden akselista laskettujen etäisyyksien neliöiden tuloja. Seuraavassa eräiden kappaleiden hitausmomenttien arvoja: Ontto sylinteri (massa m, säde r) J = mr2 Umpinainen sylinteri J = ½ mr2 Umpinainen pallo J = 2/5 mr2 Sauva (massa m, pituus l ) - keskipisteen suhteen J = 1/12 ml2 - sauvan pään suhteen J = 1/3 m l2

5. Etenevän liikkeen ja pyörimisliikkeen analogiaa Pyörimisen ja etenevän liikkeen kinematiikan ja dynamiikan kaavat ovat samanlaiset, itse asiassa täysin samanlaiset, kun etenevän liikkeen suureet vaihdetaan vastinsuureisiin pyörimisliikkeessä. Seuraavassa taulukko vastinsuureista matka s kiertymäkulma  nopeus v = s/ t kulmanopeus  =   /  t kiihtyvyys a =  v/  t kulmakiihtyvyys  =   / t massa m hitausmomentti J voima F momentti M liikemäärä mv liikemäärämomentti J 

6. Analogisia kaavoja kinematiikkaa: v = v0 + at  = 0 +  t s = vkt = v0t + ½ at2 = kt = 0t + ½  t2 dynamiikkaa: dynamiikan peruslaki: F = ma M = J  työ: W = F s W = M  teho: P = F v P = M  liike-energia: Ek = ½ mv2 rotaatioenergia: Er = ½ J 2 liikemäärän säilymislaki -> liikemäärämomentin säilymislaki

7. Esimerkki dynamiikan peruslaista Esim. Umpinaisen sylinterin muotoista vauhtipyörää (m=5.0 kg, r = 30 cm, n = 900 rpm) jarrutetaan sen kehältä jarrukengällä jarrutusvoimalla 20 N. Laske a) vauhtipyörän kulmahidastuvuus  b) kuinka monta sekuntia pyörä pyörii ennen pysähtymistään c) kuinka monta kierrosta pyörä pyörii ennen pysähtymistään Ratk: kulmahidastuvuus  = M/ J = F r / ½ mr2 = 2F / mr = 2*20/5*0.3=26.7 1/s2 n= 900 rpm = 900/60 rps = 15 rps joten 0 = 2n = 30 π 1/s jarrutusaika: t = ( - 0)/  = ( 0 - 30 )/26.7 s = 3.5 s kiertymäkulma  = kt = 15  * 3.5 rad = 165 rad = 165/2π kierr = 26.3 kierrosta

8. Edellisen tehtävän c –kohdan voi laskea myös energiaperiaatteella Jarrutuksessa rotaatioenergia muuttuu jarruttavan voiman tekemäksi työksi. Kaavana ½ J 02 = M  , josta  = ½ J 02 / M = ½ ( ½ mr2 02 /Fr) = ¼ mr 02 /F = ¼ 5*0.3*94.242/20 rad = 166 rad kierroksina: 166/2π = 26 kierrosta

9. Esimerkkejä energiaperiaatteesta c a b h • Ontto sylinteri , umpinainen sylinteri ja umpinainen pallo lähtevät levosta vierimään alas rinnettä, jonka korkeusero h = 3.0 m. • Missä järjestyksessä ne tulevat rinteen alas ? • Laske niiden loppunopeudet . • Ratkaisu: a) Järjestys on 1. pallo, 2. umpisylinteri, 3. ontto sylinteri. Koska pallolla on pienin hitausmomentti se lähtee helpoimmin pyörimisliikkeeseen, seuraavaksi pienin J on umpisylinterillä, joka tulee alas toisena

10. tehtävä jatkuu b) kohdan ratkaisussa tarvitaan seuraavia kaavoja: hitausmomentit : ontto sylinteri J = mr2 , umpisylinteri J = ½ mr2, umpinainen pallo J = 2/5 mr2 . vierimisehto: kun pyöreä kappale (säde r, kulmanopeus , nopeus v) vierii liukumatta, sen kehäpisteen ratanopeus kappaleen keskipisteen suhteen on sama kuin sen etenemisnopeus: ts. v =  r energiaperiaate: Kappaleen potentiaalienergia muuttuu osaksi liike-energiaksi, osaksi rotaatioenergiaksi mgh = ½ mv2 + ½ J2

11. jatkuu Kun hitausmomentti J ja vierimisehto sijoitetaan paikalleen, saadaan ontolle sylinterille: mgh = ½ mv2 + ½ J2 = ½ mv2 + ½ (mr2) v2/r2 = ½ mv2+½ mv2 = mv2 josta v = (gh) = (9.81*3.0) m/s = 5.4 m/s umpisylinterille mgh= ½ mv2 + ½ J2 = ½ mv2 + ½ (½ mr2) v2/r2 = ½ mv2+ ¼ mv2 = 3/4 mv2 josta v = (4/3gh) = (4/3*9.81*3.0) m/s = 6.3 m/s pallolle mgh=½mv2 + ½ J2 = ½ mv2+ ½ (2/5 mr2) v2/r2= ½ mv2+ 2/5 mv2 =7/10 mv2 josta v = (10/7gh) = (10/7*9.81*3.0) m/s = 6.5 m/s

12. Liikemäärämomentti L = J L Liikemäärämomenttivektori on pyörimisakselin suuntainen vektori, jonka suuruus saadaan kaavasta L = J  * liikemäärämomentti on sitä suurempi, mitä suurempi on pyörimisnopeus, sekä mitä suurempi on pyörivä massa. Myös massan jakautuminen akselin ympärille vaikuttaa siihen hitausmomentin kautta. Laki: Eristetyn systeemin liikemäärämomentti säilyy

13. Liikemäärämomentin säilymislaki • Eristetyn systeemin liikemäärämomentti säilyy - ts. pyörivät kappaleet pyrkivät säilyttämään pyörimisakselinsa suunnan, sekä pyörimisnopeutensa - jos kappaleen hitausmomentti kasvaa, lain mukaan  pienenee

14. Lain sovelluksia • Vauhtipyörät moottoreissa: • Moottoreissa on usein umpinainen, painava kiekko: vauhtipyörä, jonka tehtävänä on pitää moottorin pyörimisnopeus tasaisena. • Kiväärin rihlat: • Kiväärin piipussa on kierteet (rihlat) joiden tehtävän on saattaa luoti pyörimisliikkeeseen pituusakselinsa suhteen. Tällöin luoti ei mene poikittain lennon aikana • 3. Helikopterin perässä oleva pieni roottori pitää kopterin suunnassa, koska sen pyörimisakselin suunta säilyy lain nojalla.

15. Hyrrä • Suuren hitausmomentin omaavaa pyörivää kappaletta sanotaan hyrräksi Hyrrä pyrkii säilyttämään pyörimisakselinsa suunnan Jos hyrrän akselin suuntaa yritetään muuttaa sivusuuntaisella voimalla, hyrrän akseli lähtee pyörimään. Tätä akselin pyörimistä sanotaan hyrrän presessioliikkeeksi. Huom! Maapallon akseli on hitaassa presessioliikkeessä, josta johtuen napapiirin paikka siirtyy jaksollisesti edestakaisin hyvin hitaasti.

16. Lisää sovelluksia • Laivoissa ja tankeissa on suuntavakaimina suuria hyrriä, jotka on kiinnitetty menosuuntaan • Lentokoneiden mittarien keinohorisontit perustuvat hyrriin • Taitoluistelija saa piruetin aikaan viemällä raajat lähelle vartaloa: koska J pienenee , kulmanopeus kasvaa. Vastaavasti levittämällä raajat pyöriminen saadaan hidastettua • Uimahyppääjät ja voimistelijat säätävät pyörimisnopeutta säätämällä hitausmomenttia: massan etäisyyttä pyörimisakselista.

17. Gyrokompassi Gyrokompassin muodostaa hyrrä, joka on kiinnitetty akselien päistä vaakasuorassa vapaasti pyörimään pääsevälle lautaselle. Gyrokompassin hyrrä hakeutuu maapallon pyörimisliikkeestä johtuen etelä-pohjoissuuntaan, ts. maapallon akselin suuntaan. Laite ei siis perustu magneettisuuteen, eikä siihen vaikuta siten magneettiset häiriöt tai raudan läsnäolo. Gyrokompassi on laivoissa yleisesti käytössä.

18. Perustelu gyrokompassin toiminnalle Gyrokompassin hyrrän akseli ei voi olla itä- länsisuunnassa, koska maapallon pyörimisliike koko ajan aiheuttaisi vääntömomentin akseliin. Hyrrä kääntyykin nopeasti etelä-pohjoissuuntaan, jossa sen akselin suunta säilyy ilman ulkoista pakkoa sen suunnan muuttamiseen. maa