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Sistemi ed automazione Industriale

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  1. Sistemi ed automazione Industriale Francesca Franzese Istituto Istruzione Superiore Righi Cassino (FR) Ester Franzese Istituto Tecnico Industriale Statale Majorana Cassino (FR)

  2. L’algebra di Boole

  3. 0 1 Le operazioni AND e OR sono operazioni binarie, l’operazione NOT è unaria. Nella valutazione delle espressioni booleane esiste una relazione di precedenza fra gli operatori NOT, AND e OR, nell’ordine in cui sono stati elencati; le parentesi vengono utilizzate nel modo consueto. Algebra di Boole • Contempla due costanti 0 e 1 • Corrispondono a 2 stati che si escludono a vicenda • Possono descrivere lo stato di apertura o chiusura di un generico contatto o di un circuito a più contatti • Si definiscono delle operazioni fra i valori booleani:AND, OR, NOT sono gli operatori fondamentali

  4. NUMERO DI COMBINAZIONI Per 2 ingressi, si avranno 4 combinazioni Nc = 2i Per 3 ingressi, si avranno 8 combinazioni Per 4 ingressi, si avranno 16 combinazioni

  5. Come scrivere tutte le combinazioni Es. 3 ingressi Nc = 2i = 23 = 8 Si disegna una tabella con 8 righe

  6. Come scrivere tutte le combinazioni Es. 3 ingressi Nc = 2i = 23 = 8 Si disegna una tabella con 8 righe 8 / 2 = 4 Si scrivono 4 zeri nelle prime 4 caselle della prima colonna

  7. Come scrivere tutte le combinazioni Nc = 2i = 23 = 8 Es. 3 ingressi Poi si divide di nuovo per 2: 4 / 2 = 2 Si procede scrivendo 2 zeri nella colonna successiva

  8. Come scrivere tutte le combinazioni Nc = 2i = 23 = 8 Es. 3 ingressi Poi si divide di nuovo per 2: 2 / 2 = 1 Si procede scrivendo 1 zero nella colonna successiva

  9. 0 1 0+0 0+1 0 0 L’operazione di OR (+) addizione • Si definisce l’operazione di somma logica (OR): il valore della somma logica è il simbolo 1 se il valore di almeno uno degli ingressi è il simbolo 1 1 1 0 1 1+0 1+1

  10. L’operazione di AND (*) moltiplicazione • Si definisce l’operazione di prodotto logico (AND):il valore del prodotto logico è il simbolo 1 se il valore di tutti gli operandi è il simbolo 1 0 0 0 1 0·0 0·1 0 1 1 1 1·0 1·1

  11. Ordine delle operazioni Si procede sempre con questo ordine: Prima le moltiplicazioni e poi le addizioni

  12. Ordine delle operazioni Si procede sempre con questo ordine: Prima le moltiplicazioni e poi le addizioni Esempio: F= A * B + C Esempio: F= A * (B+C) SE CI SONO LE PARENTESI SI FANNO PRIMA LE OPERAZIONI NELLE PARENTESI

  13. ESEMPI CONTI CON TABELLE Esempio: F= A * B + B

  14. ESEMPI CONTI CON TABELLE B Esempio: F= A * B + B B A

  15. ESEMPI CONTI CON TABELLE Esempio: F= A * B + C

  16. ESEMPI CONTI CON TABELLE Esempio: F= A * B + C

  17. ESEMPI CONTI CON TABELLE Esempio: F= A * B + C C B A

  18. ESERCIZI SCHEMI ELETTRICI = AND = SERIE * F =A+C*B C B

  19. A C B ESERCIZI SCHEMI ELETTRICI = AND = SERIE * F =A+C*B + = OR = PARALLELO C B

  20. ESERCIZI SCHEMI ELETTRICI = AND = SERIE * F = (A*B+C)+A A C A B A B

  21. ESERCIZI SCHEMI ELETTRICI = AND = SERIE * F = (A*B+C)+A + = OR = PARALLELO A C C A B A B

  22. ESERCIZI SCHEMI ELETTRICI = AND = SERIE * F = (A*B+C)+A + = OR = PARALLELO A A C C A B A B

  23. ESERCIZI SCHEMI ELETTRICI F = B * (A+B) +A A B B B A A

  24. ESERCIZI SCHEMI ELETTRICI F = B * (A+B) +A A B B B A B A

  25. ESERCIZI SCHEMI ELETTRICI F = B * (A+B) +A B B A A

  26. ESERCIZI SCHEMI ELETTRICI A F =A+C*B C B A F = (A*B+C)+A C A B A F = B * (A+B) +A B B A

  27. 0 = 1 1 = 0 0 = 0 1 = 1 La negazione NOT • Si definisce l’operatore di negazione (NOT):l’operatore inverte il valore della costante su cui opera L’elemento x = NOT(x) viene detto complemento di x. Il complemento è unico. dalla definizione… doppia negazione

  28. Alcune identità 0 èl’elemento neutro per l’operazione di OR; 1 è l’elemento neutro per l’AND. Gli elementi neutri sono unici. La legge x + x = x·x = x è detta legge dell’idempotenza. • Si verificano le uguaglianze • Ad esempio…. x + 1 = 1x + 0 = xx + x = x x·1 = xx·0 = 0x·x = x x·1 = x x =1 x =0 0·1 = 0 1·1 = 1 OK!

  29. x + x = 1x · x = 0x = x Altre proprietà • Per gli operatori AND e OR valgono le seguenti proprietà: • Per l’operatore NOT si provano le seguenti identità: commutativax1+x2 = x2+x1 x1·x2 = x2·x1 associativax1+x2+x3 = x1+(x2+x3) x1·x2·x3 = x1·(x2·x3) distributivax1·x2+x1·x3= x1·(x2+x3)

  30. Funzioni logiche • Una variabiley è una funzione delle nvariabili indipendentix1, x2,…, xn,se esiste un criterio che fa corrispondere in modo univoco ad ognuna delle 2n configurazioni dellexun valore diy • Una rappresentazione esplicita di una funzione è la tabella di verità, in cui si elencano tutte le possibili combinazioni dix1, x2 , …, xn,con associato il valore diy y = F(x1,x2,…,xn)

  31. x1 x2 y0 0 00 1 11 0 11 1 1 Somma di due ingressi y = x1+x2

  32. Una tabella di verità • Date 3 variabili booleane (A,B,C) si scrive la funzioneFche vale 1 quando solo due di esse hanno valore 1 A B C F 0 0 0 00 0 1 00 1 0 00 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 11 1 1 0 Si può scrivere la funzione come somma logica delle configurazioni corrispondenti agli 1 F(A,B,C) = A·B·C + A·B·C + A·B·C Forma canonica: somma di prodotti (OR di AND) tutte le funzioni logiche si possono scrivere in questa forma

  33. Un esempio: lo XOR • La funzione XOR verifica la disuguaglianza di due variabili • L’espressione come somma di prodotti è quindi x1 x2 XOR0 0 00 1 11 0 11 1 0 XOR = x1·x2 +x1·x2

  34. ESEMPI La legge dell’assorbimento x1+ x1· x2 = x1 Le leggi di De Morgan (x1+ x2)' = x1’· x2’ ( x1 · x2)’ = x1’+ x2’ ( ’ un modo alternativo per indicare la negazione). Dalle leggi di De Morgan si evince che la scelta delle funzioni OR, AND e NOT, come funzioni primitive, è ridondante. L’operazione logica AND può essere espressa in funzione delle operazioni OR e NOT; in modo analogo, l’operazione OR può essere espressa tramite AND e NOT. Le relazioni stabilite sono generalmente applicate nelle trasformazioni di funzioni booleane in altre equivalenti, ma di più facile realizzazione circuitale.

  35. Un circuito con due interruttori • I due interruttori corrispondono a due variabili (A,B) a valori booleani  le variabili assumono i due valori 0 e 1 che corrispondono alle due posizioni dell’interruttore L L A A B B 0 0 0 0 1 1 1 1 A A B B A=0 B=1 A=0 B=0 L L A A B B 0 0 0 0 1 1 1 1 A A B B L = A·B+A·B A=1 B=1 A=1 B=0

  36. 0 1 Esercizio • Progettare un circuito per accendere e spegnere una lampada da uno qualsiasi di tre interruttori indipendenti L = 0 0 0 0 1 1 1 Cambia lostato di uninterruttorequalsiasi C A B 0 0 0 L = 1 0 0 1 1 A B C 0 1 0

  37. L = 0 C B A L = 0 C B A 0 0 0 Analisi delle combinazioni • Si considera cosa succede a partire dalla configurazione di partenza, cambiando lo stato di un interruttore per volta L = 1 C B A 1 0 1 0 1 0 L = 1 L = 0 C B A C B A 1 1 1 0 1 1 L = 0 Chiudo prima l’interruttore c

  38. L = 0 C B A L = 0 C B A L = 1 C C B B A A 0 0 0 0 0 1 1 1 0 Analisi delle combinazioni • Si considera cosa succede a partire dalla configurazione di partenza, cambiando lo stato di un interruttore per volta 1 0 1 L = 1 C B A 1 1 1 L = 0

  39. L = 0 C B A C B A 0 0 0 0 1 1 L = 1 C B A 0 0 1 Analisi delle combinazioni • Si considera cosa succede a partire dalla configurazione di partenza, cambiando lo stato di un interruttore per volta L = 1 L = 0 C B A C B A 1 1 1 0 1 1 L = 0

  40. L = 0 C B A L = 0 C B A L = 1 C C B B A A 0 0 0 0 0 1 1 1 0 L = 1 C B A 0 0 1 Analisi delle combinazioni • Si considera cosa succede a partire dalla configurazione di partenza, cambiando lo stato di un interruttore per volta L = 1 C B A 1 0 1 0 1 0 L = 1 L = 0 C B A C B A 1 1 1 0 1 1 L = 0

  41. A B C L0 0 0 0 0 0 1 10 1 0 1 0 1 1 01 0 0 11 0 1 01 1 0 0 1 1 1 1 Scrittura della funzione logica • Dalle otto combinazioni si ottiene la tabella di verità della funzione logica • Sipuò scrivere la funzioneLcome somma logica di prodotti logici L = A·B·C + A·B·C + A·B·C + A·B·C

  42. C B B A C B C A B C Come collegare gli interruttori • Si può manipolare l’espressione diLusando la proprietà distributiva dell’AND rispetto all’OR L = A·B·C + A·B·C + A·B·C + A·B·C L = A·(B·C + B·C) + A·(B·C + B·C) C B B A C B C A B C 1 0 1 1 0 0

  43. Sistemi di numerazione

  44. Sistemi di numerazione • Sistemi di numerazione posizionali: La base del sistema di numerazione Le cifre del sistema di numerazione Il numero è scritto specificando le cifre in ordine, ed il valore dipende dalla posizione relativa delle cifre Esempio: Il sistema decimale (Base 10) Cifre : 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 5641 = 5·103 + 6·102 + 4·101 + 1·100 Posizione: 3 2 1 0

  45. Sistemi in base B • La base definisce il numero di cifre diverse nel sistema di numerazione • La cifra di minor valore è sempre lo 0; le altre sono, nell’ordine, 1,2,…,B1; se B>10 occorre introdurre B10 simboli in aggiunta alle cifre decimali Un numero intero N si rappresenta con la scrittura (cncn-1…c2c1c0)B N = cnBn+cn-1Bn-1+…+c2B2+c1B1+c0B0 cn è la cifra più significativa, c0 quella meno significativa Un numerofrazionario N’ si rappresenta con la scrittura (0,c1c2…cn)B N’ = c1B-1+c2B-2+…+cnB-n

  46. Numeri interi senza segno • Con n cifre, in base B, si rappresentano tutti i numeri interi positivi da 0 a Bn1 (Bn numeri distinti) 00 01 02 …. 98 99 Esempio: base 10 102 = 100 valori 2 cifre: da 0 a 1021 = 99 Esempio: base 2 00 01 10 11 2 cifre: da 0 a 221 = 3 22 = 4 valori

  47. Il sistema binario (B=2) • La base 2 è la più piccola per un sistema di numerazione Cifre: 0 1 bit (binary digit) Forma polinomia Esempi: (101101)2 = 1 *25 + 0* 24 + 1* 23 + 1* 22 + 0* 21 + 1* 20 = 32 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1 = (45)10 (0,0101)2 = 0 2-1 + 1 2-2 + 0 2-3 + 1 2-4 = 0 + 0,25 + 0 + 0,0625 = (0,3125)10 (11,101)2 = 1 21 + 1 20 + 1 2-1 + 0 2-2 + 1 2-3 = 2 + 1 + 0,5 + 0 + 0,125 = (3,625)10

  48. Dal bit al byte • Un byteè un insieme di 8 bit (un numero binario a 8 cifre) • Con un byte si rappresentano i numeri interi fra 0 e 281 = 255 • Il byte è l’elemento base con cui si rappresentano i dati nei calcolatori. Si utilizzano sempre dimensioni multiple (di potenze del 2) del byte: 2 byte (16 bit) , 4 byte (32 bit), 8 byte (64 bit)… b7b6b5b4b3b2b1b0 00000000 00000001 00000010 00000011 ……………. 11111110 11111111 28 = 256 valori distinti

  49. Dal byte ai kilobyte 24 = 1628 = 256 216 = 65536 210 = 1024 (K=Kilo a x 10 3) 220 = 1048576 (M=Mega a x 10 6 ) 230 = 1073741824 (G=Giga a x 10 9) • Potenze del 2 • Cosa sono i Kb (Kilobyte), Mb (Megabyte), Gb (Gigabyte) ? 1 Kb = 210 byte = 1024 byte1 Mb = 220 byte = 1048576 byte 1 Gb = 230 byte = 1073741824 byte 1 Tb = 240 byte = 1099511627776 byte (Terabyte)

  50. Da decimale a binario  1 • Si divide ripetutamente il numero intero decimale per 2 fino ad ottenere un quoziente nullo. Le cifre del numero binario sono i resti delle divisioni; la cifra più significativa è l’ultimo resto Esempio: convertire in binario (43)10 resti 43 : 2 = 21 + 121 : 2 = 10 + 1 10 : 2 = 5 + 0 5 : 2 = 2 + 1 2 : 2 = 1 + 0 1 : 2 = 0 + 1 bit più significativo (43)10 = (101011)2