§3 向量的内积

§3 向量的内积 １．向量的投影　　物理学中常常把一个向量分解成两个互相垂直的向量之和．例如求一个力所做的功，先把它分解成两个力之和，第一个力平行于受力物体的运动方向，第二个力垂直于该方向．向量的投影就是与这种“垂直分解”有关的几何概念，他是讨论内积和外积的共同的准备知识．

１、向量在轴上的投影 (1)有向线段在轴上的值 A B u B A u 即 λ= AB

(2)两向量的夹角 ·向量夹角 ·向量 a = 0或 b = 0 规定夹角可在0与Л之间任意取值．类似地，可以规定向量与轴或空间两轴的夹角． B b O a A

(3) 空间一点在轴上的投影 过点A作轴u的垂直平面，交点叫做点A在轴u上的投影． A u

(4) 向量在轴上的投影 作向量的起点A与终点B在轴u上的投影向量在轴上的投影 B A u

向量在轴上的投影性质 性质1（投影定理）向量在轴u上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角的余弦 , 即 B A u

性质2两个向量a与b的和在轴u上的 投影等于向量a与b在该轴上的投影的和，即性质3向量a与数λ的乘积λa在轴上的投影等于向量a在轴u上的投影的倍，即

２.向量内积的定义和性质 定义：两向量的内积，记为，规定为一个实数：其中，是的夹角，且。若中有一个是零向量，则。由定义3.1可得 (3.1) 当时，（3.2）

命题：互相垂直当且仅当 。 (3.1)和(3.2)表明了向量的内积，向量的长度和向量的夹角之间的关系。对任意的向量及任意实数，向量的内积满足以下规律：，等号当且仅当时成立。

证明：（1），（2），（4）由定义容易证明，请读者证明：（1），（2），（4）由定义容易证明，请读者自证之。对于（3），若中有零向量，则等式成立。以下设皆为非零向量。如图1.14,设过A,B,D分别向OC所在直线作垂线，垂足分别为则由平面几何知识易证因而 . 图1.14 D B A O C

例１．证明三角形的三条高交于一点。 证明设边AB,CA上的高交于O点，以O为始点，以A,B,C为终点的向量分别记为（图1.15）。以上两式相加，可得。图1.15 所以　　中BC边上的高通过O点。这就证明了三高相交于一点。 A O B C

例２.用向量法证明余弦定理 证明如图1.16所示，故图1.16 A B C

３.用坐标计算向量的内积 取仿射标架 , 则 (3.3) 可见只要知道坐标向量之间的内积（9个数，实质上只有6个数）就可以求出任意两个向量的内积。这九个数称为仿射标架的度量参数。如果是直角标架，则有于是由(3.3)得到 (3.4)

定理： 在直角坐标系中，两向量的内积等于它们的对应坐标的乘积之和。在直角坐标系中，由定理3.2得到，向量的长度为 (3.5) 由此得空间两点间的距离公式为： (3.6)