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第 3 章 电阻电路的一般分析

第 3 章 电阻电路的一般分析. 重点. 熟练掌握电路方程的列写方法： 支路电流法 回路电流法 结点电压法. 基本要求：. 能正确列写电路的网孔电流方程和结点电压方程，并对电路进行分析计算。. 难 点：. 含受控源电路的结点电压方程的列写。. 线性电路的一般分析方法. (1) 普遍性：对任何线性电路都适用。. (2) 系统性：计算方法有规律可循。. 方法的基础. （ 1 ） 电路的连接关系 —KCL ， KVL 定律。. （ 2 ） 元件的电压、电流关系特性。.

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第 3 章 电阻电路的一般分析

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  1. 第3章 电阻电路的一般分析 • 重点 熟练掌握电路方程的列写方法： 支路电流法 回路电流法 结点电压法 新能源工程学院——吴卫珍

  2. 基本要求： 能正确列写电路的网孔电流方程和结点电压方程，并对电路进行分析计算。 难 点： 含受控源电路的结点电压方程的列写。 新能源工程学院——吴卫珍

  3. 线性电路的一般分析方法 (1) 普遍性：对任何线性电路都适用。 (2) 系统性：计算方法有规律可循。 • 方法的基础 （1）电路的连接关系—KCL，KVL定律。 （2）元件的电压、电流关系特性。 复杂电路的一般分析法就是根据KCL、KVL及元件电压和电流关系列方程、解方程。根据列方程时所选变量的不同可分为支路电流法、回路电流法和节点电压法。 新能源工程学院——吴卫珍

  4. A D B A C D B C • 网络图论 图论是拓扑学的一个分支，是富有趣味和应用极为广泛的一门学科。 哥尼斯堡七桥难题 新能源工程学院——吴卫珍

  5. i 抛开元件性质 8 R1 R3 1 3 5 2 4 R2 R4 7 6 _ + R5 uS 1 3 5 2 4 6 3.1 电路的图 1. 电路的图 一个元件作为一条支路 元件的串联及并联组合作为一条支路 有向图 新能源工程学院——吴卫珍

  6. ① １ ② 电路的图是指把电路中每一条支路画成抽象的线段形成的一个结点和支路的集合。 电路的图是用以表示电路几何结构的图形，图中的支路和结点与电路的支路和结点一一对应。 (1) 图的定义(Graph) G={支路，结点} 新能源工程学院——吴卫珍

  7. 从图G的一个结点出发沿着一些支路连续移动到达另一结点所经过的支路构成路径。从图G的一个结点出发沿着一些支路连续移动到达另一结点所经过的支路构成路径。 (2) 路径 图G的任意两结点间至少有一条路径时称为连通图，非连通图至少存在两个分离部分。 （3）连通图 新能源工程学院——吴卫珍

  8. 若图G1中所有支路和结点都是图G中的支路和结点，则称G1是G的子图。若图G1中所有支路和结点都是图G中的支路和结点，则称G1是G的子图。 (3) 子图 • 树 (Tree) T是连通图的一个子图满足下列条件： (1)连通 (2)包含所有节点 (3)不含闭合路径 新能源工程学院——吴卫珍

  9. 不是树 树 树支：构成树的支路 连支：属于G而不属于T的支路 特点 1）对应一个图有很多的树 2）树支的数目是一定的： 连支数： 新能源工程学院——吴卫珍

  10. 1 2 3 3 2 7 5 5 8 4 6 1 2 7 5 8 4 L是连通图的一个子图，构成一条闭合路径，并满足：(1)连通，(2)每个节点关联2条支路 • 回路(Loop) 不是回路 回路 1）对应一个图有很多的回路 特点 2）基本回路的数目是一定的，为连支数 3）对于平面电路，网孔数为基本回路数 新能源工程学院——吴卫珍

  11. 6 6 5 4 5 2 2 1 3 2 1 3 3 1 基本回路具有独占的一条连枝 基本回路(单连支回路) 支路数＝树枝数＋连支数 ＝结点数－1＋基本回路数 结论 结点、支路和基本回路关系 新能源工程学院——吴卫珍

  12. 1 4 5 4 5 8 6 8 6 8 6 3 2 7 7 3 4 8 2 3 图示为电路的图，画出三种可能的树及其对应的基本回路。 例 新能源工程学院——吴卫珍

  13. 6 6 1 1 4 4 3 3 9 9 7 7 5 5 2 2 8 8 • 割集Q (Cut set ) Q是连通图G中支路的集合，具有下述性质： (1)把Q中全部支路移去，图分成二个分离部分。 (2)任意放回Q中一条支路，仍构成连通图。 割集：（1 9 6）（2 8 9）（3 6 8）（4 6 7）（5 7 8） （3 6 5 8 7）（3 6 2 8）是割集吗？ 基本割集 只含有一个树枝的割集。割集数＝n-1 连支集合不能构成割集 新能源工程学院——吴卫珍

  14. 2 2 1 3 1 4 3 5 6 4 ＋ ＋ ＋ ＝0 1 2 3 4 3.2 KCL和KVL的独立方程数 1.KCL的独立方程数 1 2 3 4 结论 n个结点的电路, 独立的KCL方程为n-1个。 新能源工程学院——吴卫珍

  15. 2.KVL的独立方程数 KVL的独立方程数=基本回路数=b－(n－1) 结论 n个结点、b条支路的电路, 独立的KCL和KVL方程数为： 新能源工程学院——吴卫珍

  16. 3.3 支路电流法 (branch current method ) 1. 支路电流法 以各支路电流为未知量列写电路方 程分析电路的方法。 对于有n个节点、b条支路的电路，要求解支路电流,未知量共有b个。只要列出b个独立的电路方程，便可以求解这b个变量。 2. 独立方程的列写 （1）从电路的n个结点中任意选择n-1个结点列写KCL方程 （2）选择基本回路列写b-(n-1)个KVL方程 新能源工程学院——吴卫珍

  17. R4 R2 i2 i3 i4 2 1 R3 i5 R1 R5 i1 3 i6 1 4 3 2 + – R6 uS 有6个支路电流，需列写6个方程。KCL方程: 例 1 2 3 取网孔为基本回路，沿顺时针方向绕行列KVL写方程: 回路1 回路2 回路3 结合元件特性消去支路电压得： 新能源工程学院——吴卫珍

  18. 支路电流法的一般步骤： (1) 标定各支路电流（电压）的参考方向； (2) 选定(n–1)个节点，列写其KCL方程； (3) 选定b–(n–1)个独立回路，列写其KVL方程； (元件特性代入) (4) 求解上述方程，得到b个支路电流； (5) 进一步计算支路电压和进行其它分析。 支路电流法的特点： 支路法列写的是KCL和KVL方程， 所以方程列写方便、直观，但方程数较多，宜于在支路数不多的情况下使用。 新能源工程学院——吴卫珍

  19. I3 a I2 I1 7 11 7 + + 6V 70V – – b 1 2 求各支路电流及电压源各自发出的功率。 例1. (1) n–1=1个KCL方程： 解 节点a：–I1–I2+I3=0 (2) b–( n–1)=2个KVL方程： 7I1–11I2=70-6=64 11I2+7I3=6 U=US 新能源工程学院——吴卫珍

  20. I3 I3 a I2 I2 I1 I1 7 11 7 + 6A 70V – b 解2. a 1 1 2 7 11 7 + 6A 70V – b 列写支路电流方程.(电路中含有理想电流源） 例2. (1) n–1=1个KCL方程： 解1. 节点a：–I1–I2+I3=0 + U _ (2) b–( n–1)=2个KVL方程： 7I1–11I2=70-U 11I2+7I3=U 增补方程：I2=6A 由于I2已知，故只列写两个方程 节点a：–I1+I3=6 避开电流源支路取回路： 7I1＋7I3=70 新能源工程学院——吴卫珍

  21. I3 a I2 I1 7 11 7 + 5U _ + 70V – b + 1 2 U _ 列写支路电流方程.(电路中含有受控源） 例3. 解 节点a：–I1–I2+I3=0 7I1–11I2=70-5U 11I2+7I3= 5U 增补方程：U=7I3 有受控源的电路，方程列写分两步： (1) 先将受控源看作独立源列方程； (2) 将控制量用未知量表示，并代入(1)中所列的方程，消去中间变量。 新能源工程学院——吴卫珍

  22. b b i1 i2 i/2 i a a 例 求: Rab 解1 连接等电位点 对称线 解3 确定电流分布。 解2 断开中点。 新能源工程学院——吴卫珍

  23. a il1 il2 i1 i2 i3 R1 R2 R3 + + uS1 uS2 – – b 3.4 回路电流法 (loop current method) 1.回路电流法 以基本回路中的回路电流为未知量 列写电路方程分析电路的方法。当 取网孔电流为未知量时，称网孔法 为减少未知量(方程)的个数，假想每个回路中有一个回路电流。各支路电流可用回路电流的线性组合表示。来求得电路的解。 • 基本思想 独立回路为2。选图示的两个独立回路，支路电流可表示为： 新能源工程学院——吴卫珍

  24. a il1 il2 i1 i2 i3 R1 R2 R3 + + uS1 uS2 – – b • 列写的方程 回路电流在独立回路中是闭合的，对每个相关节点均流进一次，流出一次，所以KCL自动满足。因此回路电流法是对独立回路列写KVL方程，方程数为： 与支路电流法相比，方程数减少n-1个。 回路1：R1 il1+R2(il1- il2)-uS1+uS2=0 2. 方程的列写 回路2：R2(il2- il1)+ R3 il2-uS2=0 整理得： (R1+ R2)il1-R2il2=uS1-uS2 - R2il1+ (R2 +R3)il2 =uS2 新能源工程学院——吴卫珍

  25. a il1 il2 i1 i2 i3 R1 R2 R3 + + uS1 uS2 – – b 观察可以看出如下规律： R11=R1+R2 回路1的自电阻。等于回路1中所有电阻之和。 R22=R2+R3 回路2的自电阻。等于回路2中所有电阻之和。 自电阻总为正。 R12= R21= –R2回路1、回路2之间的互电阻。 当两个回路电流流过相关支路方向相同时，互电阻取正号；否则为负号。 ul1= uS1-uS2回路1中所有电压源电压的代数和。 ul2= uS2回路2中所有电压源电压的代数和。 当电压源电压方向与该回路方向一致时，取负号； 反之取正号。 新能源工程学院——吴卫珍

  26. R11il1+R12il2=uSl1 R12il1+R22il2=uSl2 R11il1+R12il1+ …+R1l ill=uSl1 R21il1+R22il1+ …+R2l ill=uSl2 … Rl1il1+Rl2il1+ …+Rll ill=uSll a il1 il2 i1 i2 i3 R1 R2 R3 + + uS1 uS2 – – b 由此得标准形式的方程： 对于具有 l=b-(n-1)个回路的电路，有: 其中: Rkk:自电阻(为正) + : 流过互阻的两个回路电流方向相同 - : 流过互阻的两个回路电流方向相反 Rjk:互电阻 0 : 无关 新能源工程学院——吴卫珍

  27. R1 R2 RS i2 R5 + US i3 R4 _ R3 i1 i 例1. 用回路电流法求解电流 i. 独立回路有三个，选网孔为独立回路： 解1 表明 （1）不含受控源的线性网络 Rjk=Rkj, 系数矩阵为对称阵。 （2）当网孔电流均取顺（或逆时 针方向时，Rjk均为负。 新能源工程学院——吴卫珍

  28. R1 R2 RS i2 R5 + US R4 _ R3 i1 i i3 解2 只让一个回路电流经过R5支路 特点 （1）减少计算量 （2）互有电阻的识别难度加大，易遗漏互有电阻 新能源工程学院——吴卫珍

  29. 回路法的一般步骤： (1) 选定l=b-(n-1)个独立回路，并确定其绕行方向； (2) 对l 个独立回路，以回路电流为未知量，列写其KVL方程； (3) 求解上述方程，得到l 个回路电流； (4) 求各支路电流(用回路电流表示)； (5) 其它分析。 新能源工程学院——吴卫珍

  30. i2 R1 R2 i3 RS iS + _ + i1 U US R4 _ R3 3.理想电流源支路的处理 • 引入电流源电压，增加回路电流和电流源电流的关系方程。 例 电流源看作电压源列方程 增补方程： 新能源工程学院——吴卫珍

  31. i2 R1 R2 RS iS + i1 US R4 _ R3 i3 • 选取独立回路，使理想电流源支路仅仅属于一个回路, 该回路电流即 IS 。 例 为已知电流，实际减少了一方程 新能源工程学院——吴卫珍

  32. I I + º º RIS IS _ R R º º 转换 • 与电阻并联的电流源，可做电源等效变换 4.受控电源支路的处理 对含有受控电源支路的电路，可先把受控源看作独立电源按上述方法列方程，再将控制量用回路电流表示。 新能源工程学院——吴卫珍

  33. i2 i3 R1 R2 RS + i1 _ + + US 5U R4 _ R3 U _ 例 增补方程： 受控电压源看作独立电压源列方程 新能源工程学院——吴卫珍

  34. + iS + R2 U1 R1 _ gU1 _ R3 _ + 3 1 + R5 R4 U1 _ 4 2 例 列回路电流方程 解1 选网孔为独立回路 U2 U3 增补方程： 新能源工程学院——吴卫珍

  35. + iS R2 U1 R1 _ gU1 R3 3 1 + R5 R4 U1 _ 4 2 解2 回路2选大回路 增补方程： 新能源工程学院——吴卫珍

  36. 2A I ＋ 1 2 U + 3 4V 2A 3A － – i3 i2 i1 i4 例 求电路中电压U，电流I和电压源产生的功率。 解 新能源工程学院——吴卫珍

  37. 3.5 结点电压法 (node voltage method) 1.结点电压法 以结点电压为未知量列写电路方程分析 电路的方法。适用于结点较少的电路。 选结点电压为未知量，则KVL自动满足，就无需列写KVL方程。各支路电流、电压可视为结点电压的线性组合，求出结点电压后，便可方便地得到各支路电压、电流。 • 基本思想： 结点电压法列写的是结点上的KCL方程，独立方程数为： • 列写的方程 与支路电流法相比，方程数减少b-(n-1)个。 新能源工程学院——吴卫珍

  38. uA-uB 2 1 3 uA uB iS3 i2 i3 R2 R3 i1 i5 i4 R5 R4 R1 + iS1 uS _ 任意选择参考点：其它结点与参考点的电压差即是结点电压(位)，方向为从独立结点指向参考结点。 说明 (uA-uB)+uB-uA=0 KVL自动满足 2. 方程的列写 (1) 选定参考结点，标明其余n-1个独立结点的电压 新能源工程学院——吴卫珍

  39. 2 3 1 iS2 i2 i3 R2 R3 i1 i5 i4 R5 R4 R1 + iS1 uS _ (2) 列KCL方程：  iR出= iS入 i1+i2=iS1+iS2 -i2+i4+i3=0 -i3+i5=－iS2 把支路电流用结点电压表示： 新能源工程学院——吴卫珍

  40. 2 1 3 iS2 i2 i3 R2 R3 i1 i5 i4 R5 R4 R1 + iS1 uS _ 整理，得： 等效电流源 新能源工程学院——吴卫珍

  41. 2 1 3 iS2 i2 i3 R2 R3 i1 i5 i4 R5 R4 R1 + iS1 uS _ 令 Gk=1/Rk，k=1, 2, 3, 4, 5 上式简记为： G11un1+G12un2＋G13un3= iSn1 标准形式的结点电压方程 G21un1+G22un2＋G23un3= iSn2 G31un1+G32un2＋G33un3= iSn3 新能源工程学院——吴卫珍

  42. 2 1 3 iS2 i2 i3 R2 R3 i1 i5 i4 R5 R4 R1 + iS1 uS _ 其中 G11=G1+G2 结点1的自电导，等于接在结点1上所有 支路的电导之和。 G22=G2+G3+G4 结点2的自电导，等于接在结点2上所有 支路的电导之和。 G33=G3+G5结点3的自电导，等于接在结点3上所有支路的电导之和。 新能源工程学院——吴卫珍

  43. 2 1 3 iS2 i2 i3 R2 R3 i1 i5 i4 R5 R4 R1 + iS1 uS _ G12= G21 =-G2结点1与结点2之间的互电导，等于接在 结点1与结点2之间的所有支路的电导之 和，为负值。 G23= G32 =-G3结点2与结点3之间的互电导，等于接在结 点1与结点2之间的所有支路的电导之和， 为负值。 自电导总为正，互电导总为负。 新能源工程学院——吴卫珍

  44. 2 1 3 iS2 i2 i3 R2 R3 i1 i5 i4 R5 R4 R1 + iS1 uS _ iSn1=iS1+iS2 流入结点1的电流源电流的代数和。 iSn2=-iS2＋uS/R5流入结点2的电流源电流的代数和。 流入结点取正号，流出取负号。 由结点电压方程求得各结点电压后即可求得各支路电压，各支路电流可用结点电压表示： 新能源工程学院——吴卫珍

  45. G11un1+G12un2+…+G1,n-1un,n-1=iSn1 G21un1+G22un2+…+G2,n-1un,n-1=iSn2     Gn-1,1un1+Gn-1,2un2+…+Gn-1,nun,n-1=iSn,n-1 一般情况 Gii—自电导，等于接在结点i上所有支路的电导之和(包括电压源与电阻串联支路)。总为正。 其中 Gij= Gji—互电导，等于接在结点i与结点j之间的所支路的电导之和，总为负。 iSni— 流入结点i的所有电流源电流的代数和(包括由电压源与电阻串联支路等效的电流源)。 当电路不含受控源时，系数矩阵为对称阵。 新能源工程学院——吴卫珍

  46. 结点法的一般步骤： (1) 选定参考结点，标定n-1个独立结点； (2) 对n-1个独立结点，以结点电压为未知量，列写其KCL方程； (3) 求解上述方程，得到n-1个结点电压； (4) 求各支路电流(用结点电压表示)； (5) 其它分析。 新能源工程学院——吴卫珍

  47. 1 G1 G2 GS G3 + 2 Us G4 G5 _ 3 1 G1 G2 + G3 Us _ 2 G4 G5 3 例 试列写电路的结点电压方程。 (G1+G2+GS)U1-G1U2－GsU3=USGS -G1U1+(G1 +G3 + G4)U2-G4U3=0 －GSU1-G4U2+(G4+G5+GS)U3=－USGS 3. 无伴电压源支路的处理 （1）以电压源电流为变量，增补结点电压与电压源间的关系 新能源工程学院——吴卫珍

  48. I 1 1 G1 G2 + G3 G1 G2 Us + G3 Us _ 2 3 2 G4 G5 _ G4 G5 3 (G1+G2)U1-G1U2=I -G1U1+(G1 +G3 + G4)U2-G4U3=0 -G4U2+(G4+G5)U3=－I 看成电流源 增补方程 U1-U3 = US （2） 选择合适的参考点 U1= US -G1U1+(G1+G3+G4)U2-G3U3=0 -G2U1-G3U2+(G2+G3+G5)U3=0 新能源工程学院——吴卫珍

  49. R2 1 _ iS1 + uR2 gmuR2 R3 R1 2 4.受控电源支路的处理 对含有受控电源支路的电路，可先把受控源看作独立电源按上述方法列方程，再将控制量用结点电压表示。 例 列写电路的结点电压方程。 • 先把受控源当作独立 • 源列方程； (2) 用结点电压表示控制量。 新能源工程学院——吴卫珍

  50. uS R5 _ + R3 1 3 _ + iS1 － + u3 r i R4 R2 R1 gu3 i 2 例 列写电路的结点电压方程。 • 设参考点，把受控源当作独立源列方程； 解 (2) 用结点电压表示控制量。 新能源工程学院——吴卫珍

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