Высокоточные Разложения Важнейших Функций Небесной Механики в Аналитические Ряды и их Приложения

1. Высокоточные Разложения Важнейших Функций Небесной Механики в Аналитические Ряды и их Приложения С. М. Кудрявцев Государственный Астрономический Институтим. П. К. Штернберга ПРОБЛЕМЫ СОВРЕМЕННОЙ АСТРОМЕТРИИ Всероссийская конференция-школа для молодых ученых22-26 октября 2007 г.

2. Актуальность темы Компактные аналитические ряды, представляющие координаты небесных тел и другие функции небесной механики, используются в 1. Теориях прецессии и нутации Земли, теориях земных приливов; 2. Точных аналитических теориях движения спутников планет; • 3. Современной практике космических полетов. Например: • в 2003г. аналитические разложения координат Луны и планет заменили численные эфемериды этих тел в наземном • матобеспечении Космического телескопа им. Хаббла; • координаты спутников GPS представляются аналитическими полиномами как на борту КА, так и в наземных приемниках. ! Весьма актуально повышение точности имеющихся аналитических разложений и теорий движения до уровня точности современных численных эфемерид Луны и планет.

3. Этапыработы 1. Разработка универсального метода разложения произвольной функции от координат Луны, Солнца и планет (вычисленной на основе современных численных эфемерид этих тел) в высокоточные аналитические ряды; 2. Получение с помощью данного метода новых разложений ряда важнейших функций небесной механики, например: • приливообразующего потенциала на поверхности Земли (является основой теорий нутации и земных приливов), а также соответствующих приливных вариаций геопотенциала; • разложение современной численной эфемериды Луны на длительном интервале времени (до нескольких тысяч лет); • разложения главных пертурбационных функций движения ИСЗ.

4. , , I. Метод разложения функции в ряд Пуассона Пусть табулирована с малым шагом на интервале [-T, T]. Ищется представление в виде где есть набор заранее определенных аргументоввида . 1) Вычисляются численные проекции функции на базис: Базисные функции есть весовая функция (фильтр Ханнинга). 2) Выполняется процедураортогонализации базиса ( !N ~ 103-104; аргументы – нелинейные функции времени)

5. Тестирование метода Таблица: геоцентрическое расстояние до Луны, вычисленное с шагом 1 сутки на интервале 6000 лет: 1000 до н.э - 5000 н.э. Источник данных: аналитическая теория движения Луны ELP2000-85, где функция расстояния представлена рядом Пуассона (320 членов)в котором: • p=2 (амплитуды – полиномы 2-го порядка от времени) • q=4 (аргументы – полиномы 4-го порядка от времени) • Результаты использования нового метода: • найдены все коэффициенты всех 320 членов оригинального разложения; • максимальное отклонение между значениями дальности, вычисляемое в ELP2000-85 и в ‘восстановленном’ разложении, не превышает 1,5 сантиметра на интервале времени 6000 лет.

6. II. Новое аналитическое разложение приливообразующего потенциала Земли Аналитические разложения приливообразующего потенциала Земли служат основой для построения: 1. Теорий морских приливов и приливных деформаций упругой Земли; 2. Теорий нутации Земли. • ИСТОРИЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ • Doodson (1921); • Cartwright & Tayler (1971), Cartwright & Edden (1973); • Büllesfeld (1985); Xi (1987, 1989); Tamura (1987, 1995); • Hartmann & Wenzel (1994, 1995): HW95; • Roosbeek (1996): RATGP95 • Kudryavtsev (2004): KSM03

7. V P r Приливообразующий потенциалЗемли Классическое представление приливообразующего потенциала, порождаемого Луной, Солнцем и планетами в точке Pнаповерхности Земли в момент времени t гдеV-значение потенциала в P в момент t; r - геоцентрическое расстояниеP; - гравитационный параметрj-готела; rj-геоцентрическое расстояние j-готела; - угол между Pи j-мтелом; Pn-полином Лежандра степениn. Плюс ряд добавочных членов, отражающих эффект сжатия Земли.

8. - нормализованные присоединенные функции Лежандра. - прямое восхождениеи склонение j-готела; Форма представления потенциала в KSM03 Коэффициенты разложения потенциала где - средний экваториальный радиус Земли; - местное среднее звездное время в : ,

9. Минимальная амплитуда членов ряда : 10-8м2/с2 (макс. =1,2 м2/с2 ) • Количество членов разложения потенциала • в оригинальном формате разложенияKSM03: 26753 • представленном в стандартном форматеHW95:28806(12935 – в HW95; 6499 – в RATGP95) Характеристики решения KSM03 Источник эфемерид: DE/LE-406; интервалвремени1000-3000 гг. Учитывается действие: Луна, Солнце, Меркурий, Венера, Марс, Юпитер, Сатурн • Форма рядов Пуассона для коэффициентов Cnm(t), Snm(t): • p=2 (амплитуды есть полиномы 2-го порядка от времени) • q=4 (аргументы есть полиномы 4-го порядка от времени)

10. среднеквадратическая ошибка максимальная ошибка 6 Вычисление гравитационных приливов (на примере среднеширотной станции BFO) 5 4 3 2 Lg (отклонение от опорных значений, nGal) (5 nGal в 1987-1993гг.) RATGP95 1 (1.23 nGal в 1850-2150гг.) HW95 (5 nGal over 1987-1993) 0 0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 (1.23 nGal over 1850-2150) KSM03 (0.39 nGal в 1600-2200гг.) -1 Количество членовразложения -2

11. III. Разложение главных пертурбационных функций спутниковой задачи для аналитических теорий движения ИСЗ Перспективное применение аналитических теорий ИСЗ СПУТНИКОВАЯ НАВИГАЦИЯ (системы типа GPS, ГЛОНАСС,Galileo) в GPS:для представления координат ИСЗ на борту КА и на Земле уже используются краткосрочные аналитические полиномы; в ГЛОНАСС: используется упрощенный метод численного прогнозирования орбиты (действителен только на протяжении ± 15 минут от времени начальных условий). Использовать аналитические теории для представления координат КА ГЛОНАСС. Необходимо повышение точности имеющихся аналитических теорий.

12. Дифференциальные уравнения Лагранжа движения спутника где: R - возмущающая функция, a, e, i, Ω, π, λ – Кеплеровы элементы орбиты ИСЗ, n – среднее движение,

13. Аналитическое интегрирование уравнений Лагранжа методом малого параметра Уравнения Лагранжа в схематическом виде где , t – произвольная эпоха Решение ищется в виде рядов по степеням малого параметра , , ... где есть вектор средних элементов орбиты спутника в начальную эпохуt0

14. Возмущения 5-го порядка

15. , где есть численные коэффициенты , где Получение аналитического решения 5-го порядка на компьютере Пертурбационные функции и правые части уравнений Лагранжа представляются тригонометрическими рядами  Возмущения первого порядка: Возмущения 2-го и более высоких порядков получаются путем перемножения двух и более тригонометрических рядов (один из которых есть ряд частных производных, а остальные – ряды полученных ранее возмущений низших порядков) и, как следствие, есть также тригонометрические ряды.

16. Разложения пертурбационных функций в тригонометрические ряды 1. Пертурбационная функция, обусловленная притяжением Луны, Солнца и планет 38858 членов, использовался новый метод спектрального анализа 2. Пертурбационная функция, обусловленная приливными деформациями упругой Земли Использовалось разложение приливообразующего потенциала KSM03 3. Пертурбационные функции, обусловленные вращением Земли • прецессия и нутация геоэкватора; • движение полюсов; • нерегулярное вращение Земли вокруг оси (UT1-UTC); Были получены формулы трансформации всех коэффициентов разложения геопотенциала при вращении из Земной системы координат в Небесную систему координат фиксированной эпохи.

17. Аналитическое вычисление геодинамических эффектов в движении ИСЗ ИСЗ: STARLETTE (a=7300 км); ЭТАЛОН-1 (a=25500 км) Модель движения: геопотенциал (36*36); эффекты прецессии и нутации, движение полюсов, нерегулярное вращение Земли вокруг оси, эффекты морских и других приливов - вычисляемые в соответствии с рекомендациями МСВЗ (IERSConventions). Сравнение аналитического и численного(*)методов ___________________________________________________ ИСЗ Интервал сравненияС.К.Отклонение / кол-во витков в координатах. STARLETTE 1 месяц / 415 витков 65см ЭТАЛОН-1 1 год / 775 витков 1,6см ___________________________________________________ (*)использовался метод Эверхарта 15-го порядка

18. IV. Высокоточное аналитическое разложение эфемериды Луны Теория движения Луны – классическая задача небесной механики. • Современные аналитические теории движения Луны • Hill (1905); Brown (1897, 1899, 1905, 1908, 1919); • Eckert, Jones & Clark (1954); Фурсенко (1965); • Schmidt (1980); Gutzwiller & Schmidt (1986); • Deprit, Henrard & Rom (1971); Henrard (1978, 1980); • Chapront-Touzé & Chapront (1983, 1988, 1997): серия ELP; • Bidart (2001): ELP/MPP01; • Chapront & Francou (2003): ELP/MPP02 • Современные долгосрочные численные теории движения Луны • LE-200, LE-403/404, LE-405/406 (Standish et al. 1981, 1995, 1998) • серия EPM (Krasinsky 2002; Pitjeva 2001, 2003)

19. Эклиптическая долгота (вдоль подвижной эклиптики от даты) (где - средняя долгота Луны) где . Форма аналитического разложения эфемериды Луны Геоцентрическая дальность Эклиптическая широта (от подвижной эклиптики)

20. Аналитическое разложение эфемериды Луны. Полное решение LEA-406a [1500-2500гг.] ___________________________________________________________ Коор- Кол-во Мин. Максимальная ошибка(1) на интервале дината чл.ряда ампл. 1900-2100гг. 1500-2500гг. -3000+3000гг.(2) r10704 1 см 1,7 м 3,2 м 0,20 км V19116 0,″00000550,″0038 0,″00560,″42 U 12450 0,″00000550,″0013 0,″00180,″33 ___________________________________________________________ (1)Относительно координат, предоставляемых численной эфемеридой LE-405/406 (2)Использовалось упрощенное решение LEA-406b (минимальная амплитуда: 1 м) Решение ELP/MPP02 (Chapront & Francou 2003)_______________ Коор- Кол-во Мин. Максимальная ошибка(1) на интервале дината чл.ряда ампл. 1950-2060гг. 1500-2500гг. -3000+3000гг. r 18097 1 см 2,4 м 29 м 1,4 км V17178 0,″00001 0,″006 0,″40 2,″4 U 9778 0,″00001 0,″0018 0,″0340,″5 __________________________________________________________

21. СПАСИБО ЗА ВАШЕ ВНИМАНИЕ !

22. - главные вариации гравитационных коэффициентов, обусловленные приливными деформациями Земли; - комплексные значения числа Лява степениnи порядкаm; - экв. радиус и гравитационный параметр Земли; и Солнца расстояние, экв. широта и долгота Луны - нормализованные присоединенные функции Лежандра. Главные вариации геопотенциала, вызванные приливными деформациями упругой Земли IERS Conventions (2003): где , - гравитационный параметр, геоцентрическое ;

23. , , / Разложение вариаций в ряды Пуассона , , где , - действительная часть - мнимая часть , / , - коэффициенты разложенияKSM03прилив. потенциала. Количество членов в аналитических разложениях Мин. ампл.: 10-13 Интервал времени: 1000-3000 гг.

24. Применение решения 5-го порядка к учетугео(-арео)потенциала в движении спутника ИСЗ: STARLETTE (a=7300 км); ЭТАЛОН-1 (a=25500 км) Спутник Марса: Фобос (a= 9380 км) Модель движения: геопотенциал (36*36); ареопотенциал (12*12) Сравнение аналитического и численного(*)методов ___________________________________________________ ИСЗ Интервал сравненияС.К.Отклонение / кол-во витков в координатах. STARLETTE 1 месяц / 415 витков26 см ЭТАЛОН-1 1 год / 775 витков 1,1 см --------------------------------------------------------------------------- Фобос 2 года / 2300 витков 2,5 см ___________________________________________________ (*)использовался метод Эверхарта 15-го порядка

25. Различие результатов аналитического и численного прогноза движения ИСЗ ЭТАЛОН-1 (модель движения: геопотенциал 36*36)  a (км)  e  i (рад.)   (рад)   (рад.)   (рад) Ухудшение результатов численного прогноза после 5 лет

26. Учет всех вращений Земли в движении ИСЗ • Прецессия и нутация геоэкватора; • Движение полюсов; • Нерегулярное вращение Земли Все эти эффекты описывают изменения величины и направления вектора мгновенного вращения Земли относительно Небесной системы отсчета ICRF, а также Земной системы отсчета («движение полюсов»), в которой определены коэффициенты разложения гравитационного потенциала Земли. Интегрирование уравнений движения спутника ведется в Небесной системе отсчета (подобно численным методам.) Для этого все коэффициенты разложения геопотенциала (постоянные в Земной системе отсчета) представляются в Небесной системе отсчета в виде фунrций времени и всех углов вращения.

27. Трансформации коэффициентов разложения геопотенциала при вращениях (пример) Ось вращения Угол вращения

28. Трансформации коэффициентов разложения геопотенциала при вращениях на малые углы где

29. Представление коэффициентов разложения геопотенциала в ICRF (пример) Постоянные значения коэффициентов(в Земной системе отсчета) Регулярная часть вращения Земли Координаты полюса Нутация в долготе Прецессионные величины Подобные формулы были получены для всех гармоник разложения геопотенциала (36*36) в инерциальной Небесной системе отсчета и использованы в аналитическом прогнозе движения спутника Земли.

30. Аналитическое вычисление эффектов вращения Земной системы координат в движении ИСЗ ИСЗ: STARLETTE (a=7300 км); ЭТАЛОН-1 (a=25500 км) Модель движения: геопотенциал (36*36); полные эффекты прецессии и нутации; движение полюсов и значения UT1-UTC (нерегулярности вращения Земли), определяемые ежедневными публикацими IERS. Сравнение аналитического и численного(*)методов ___________________________________________________ ИСЗ Интервал сравненияС.К.Отклонение / кол-во витков в координатах. STARLETTE 1 месяц / 415 витков 43см ЭТАЛОН-1 1 год / 775 витков 1,4см ___________________________________________________ (*)использовался метод Эверхарта 15-го порядка

31. Приливные эффекты Все приливные эффекты (а именно, морские приливы, приливные деформации упругой Земли, «полюсной» прилив) могут быть представлены периодическими вариациями коэффициентов разложения геопотенциала (достигающими 10% от значений самих коэффициентов) Главные вариации геопотенциала, вызванные приливными деформациями упругой Земли, рассчитывались на основе разложения приливообразующего потенциала KSM03. Эффект приливных вариаций коэффициентов разложения геопотенциала учитывается по аналитическому алгоритму, подобному тому, что использовался для вычисления возмущений, обусловленных вращениями Земной системы координат (в обоих случаях коэффициенты разложения геопотенциала есть переменные функции времени).

32. - оскулирующие Кеплеровы элементы орбитыИСЗ, - функция наклона; - коэффициенты Ганзена , - масштабный множитель (здесь принят равным 43 000 кмс тем чтобы для всех ИСЗ вплоть до геостационарных); Разложение возмущающей функции от притяжения Луны, Солнца и планет где

33. и есть, соответственно, гравитационный параметр, геоцентрическое расстояние, прямое восхождениеи склонение тела j (Луны, Солнца или планеты) в эпоху t; - присоединенные функции Лежандра. Коэффициенты содержат в себе всю информацию о мгновенных положениях возмущающих тел. Разложение возмущающей функции от притяжения Луны, Солнца и планет (окон.)

34. Разложение возмущающей функции от притяжения Луны, Солнца и планет Значения табулируются с шагом 1 сутки на интервале 1000 – 3000 гг. и разлагаются в ряды Пуассона Источник координат: численные эфемериды DE/LE-406 Притягивающие тела: Луна, Солнце, Меркурий, Венера, Марс, Юпитер, Сатурн • Форма рядов Пуассона: • p=2 (амплитуды есть полиномы 2-го порядка) • q=4 (аргументы есть полиномы 4-го порядка) Минимальная амплитуда для : 10-6 м2/с2 (соответствующее относительное значение: 10-8 ); max l = 8 Общее число членов разложения: 38585