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STATISIK

STATISIK. LV Nr.: 0021 WS 2005/06 15. November 2005. Regressionsanalyse. Linear Mehrfachregression Eine abhängige Variabel Y Mehrere unabhängige Variabeln x 1 ,…,x k-1 . Modell: Y i = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 2 + …+ β k-1 x k-1 + ε i für i =1,…,n

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  1. STATISIK LV Nr.: 0021 WS 2005/06 15. November 2005

  2. Regressionsanalyse • Linear Mehrfachregression • Eine abhängige Variabel Y • Mehrere unabhängige Variabeln x1,…,xk-1. • Modell: Yi = β0 + β1x1 + β2x2 + …+ βk-1xk-1 + εi für i=1,…,n • β0… Absolutglied, Interzept • βj … Steigungsparameter (j=1,…,k-1) • xj … unabhängige Variable (j = 1,…,k-1) • εi … Störterm, zufälliger Fehler

  3. Regressionsanalyse • Beispiel: Körpergröße soll durch die Körpergröße der Eltern erklärt werden. • Abhängige Variable: Y = Größe, • Unabhängige Variablen: X1 = Größe Mutter und X2 = Größe Vater • Modell: yi = β0 + β1x1 + β2x2 + εi

  4. Regressionsanalyse • Matrixschreibweise: Y = Xβ + ε • Y … n1 Vektor der abhängigen Variable • X … nk Matrix der unabhängigen Variable, X=[1:Xj] mit j=1,…,k-1 • β … k1 Parametervektor, β=[β0:βj]´ mit j=1,…,k-1 • ε … n1 Vektor der zufälligen Störungen

  5. Regressionsanalyse • Annahmen: • E(ε) = 0 • Var(ε) = σ² • Cov(ε) = E(εε´) = σ²I • X nicht stochastisch • rang(X) = k (X sind nicht linear abhängig)

  6. Regressionsanalyse • Kleinste Quadrate Schätzung: • Minimierung der Abweichungsquadratsumme • (Y-Xb)‘(Y-Xb) = (yi-xi.b)²  min

  7. Regressionsanalyse • Normalengleichungssystem: (X´X)b = X´y • Daraus ergibt sich als Kleinste Quadrate Schätzer für β: b = (X´X)-1X´y b … k1 Vektor der Schätzer

  8. Regressionsanalyse • Konsequenzen aus den Normalgleichungen: • X‘e = 0 • Ŷ‘e = 0 • e = MY mit M = I – X(X‘X)-1X‘

  9. Regressionsanalyse • Statistische Eigenschaften: • E(e) = 0 • VC(e) = σ²M ( σ²I = VC(ε)) • E(b) = β • VC(b) = σ²(X‘X)

  10. Regressionsanalyse • Schätzung von σ²: • E(s²) = σ² • Schätzung der Varianz-Kovarianz Matrix von b: VC(b)est. = s²(X‘X)-1 (unverzerrt für VC(b))

  11. Regressionsanalyse • Gauss-Markov Theorem: • Y=Xβ+ε • Es gelten Ann. 1-4 und β kist beliebig • b* sei ein linearer unverzerrter Schätzer für β • VC(b)  VC(b*), d.h. VC(b*)-VC(b) ist nichtnegativ definit. • Var(bi)  Var(bi*) für alle i = 1, ..., k • Man sagt: b ist BLUE • c‘b ist der BLUE für die Linearkombination c‘β

  12. Regressionsanalyse • Ein Schätzer b* für β heißt linear, falls b*=DY, wobei D eine nichtzufällige kn Matrix ist. • Ein Schätzer b* für β heißt unverzerrt, falls E(b*) = β.

  13. Regressionsanalyse • Tests der Regressionskoeffizienten: • Einseitige Hypothesen: • H0: βi β* (z.B. 0) gegen H1: βi < β* • H0: βi β* (z.B. 0) gegen H1: βi > β* • Zweiseitige Hypothese: • H0: βi = β* (z.B. 0) gegen H1: βi β*

  14. Regressionsanalyse • Teststatistik: • T = (bi - β*) / sbi • Testverteilung: • T ~ tn-k • Entscheidung: Lehne H0 ab, wenn T im kritischen Bereich liegt.

  15. Regressionsanalyse • Konfidenzintervalle der Parameter: • Wahrscheinlichkeitsintervall: • P(bi – t sbi β  bi + t sbi) = 1 – α für i = 1,...,k • Konfidenzintervall: • [bi – t sbi ; bi + t sbi] für i = 1,...,k mit t = t1- α/2;n-k

  16. Regressionsanalyse • Beispiel Körpergröße: • Modell: Y = β0 + β1X1 + β2X2 • Parameterschätzer und p-Werte: • b0 = 81,24; p-Wert = 0,015 • b1 = 0,545; p-Wert = 0,005 • b2 = 0,008; p-Wert = 0,87 • Körpergröße der Mutter hat einen positiven Einfluss auf die Körpergröße des Kindes

  17. Regressionsanalyse • Quadratsummen: • SST = (yi -y)² = nsy² = Y‘AY • SSE = (ŷi -ŷ)² = nsŷ² = Ŷ‘A Ŷ • SSR = ei² = ns² = e‘Ae • wobei A = (In – (1/n)ii‘) • Quadratsummenzerlegung: • SST = SSE + SSR

  18. Regressionsanalyse • F-Test: • Prüft, ob zw. der abhängigen Variable Y und den unabhängigen Variablen X2,…,Xk ein linearer Zusammenhang besteht. • H0: β2 = β3 = … = βk = 0 • Mittlere quadratische Abweichungen: • MQE = SSE / (k-1) • MQR = SSR / (n-k)

  19. Regressionsanalyse • Teststatistik: • F = MQE / MQR • F ~ F(k-1),(n-k) • Entscheidung: • F > F(k-1),(n-k) lehne H0 ab, d.h. es besteht eine lineare Abhängigkeit zw. Y und X.

  20. Regressionsanalyse • Lineares multiples Bestimmtheitsmaß: • R² = SSE / SST = 1 – SSR / SST • Es gilt: 0  R²  1 • Linearer multipler Korrelationskoeffizient: • r = +R², absolute Größe (unterschiedliche Vorzeichen der einzelnen Koeffizienten mögl.)

  21. Regressionsanalyse • Lineares partielles Bestimmtheitsmaß: • Regressoren X2, ...,Xk: r²Y,X2,...,Xk = SSE(X2,...,Xk) / SST • Zusätzliche erklärende Variable Xk+1: r²Y,X2,...,Xk,Xk+1 = SSE(X2,...,Xk,Xk+1) / SST • Zusätzliche (durch Xk+1) erklärte Abweichungsquadratsumme: SSE(Xk+1|X2,...,Xk) = SSE(X2,..., Xk,Xk+1) – SSE(X2,...,Xk) = (r²Y,X2,...,Xk,Xk+1 – r²Y,X2,...,Xk,Xk+1) SST

  22. Regressionsanalyse • Lineares partielles Bestimmtheitsmaß: • Quotient der zusätzlichen erklärten Abweichungsquadratsumme zu der bisher nicht erklärten Abweichungsquadratsumme: • r²Y(k+1),X2,...,Xk = SSE(Xk+1|X2,...,Xk) / SSR(X2,...,Xk) = (r²Y,X2,...,Xk+1 – r²Y,X2,...,Xk) / (1 – r²Y,X2,...,Xk) wobei SSR(X2,...,Xk) = SST – SSE(X2,...,Xk)

  23. Regressionsanalyse • Partieller F-Test: • f = MQE(Xk+1|X2,...,Xk) / MQR(X2,...,Xk,Xk+1) • MQE(Xk+1|X2,...,Xk)=SSE(Xk+1|X2,...,Xk)/(k-2) • MQR(X2,...,Xk+1)=SSR(X2,...,Xk+1)/(n-k) • f ~ F(k-2),(n-k)

  24. Regressionsanalyse • Adjusted R²: berücksichtigt die Anzahl der Koeffizienten • adj. R² = (1-k)/(n-k) + (n-1)/(n-k) R² • Es gilt: (1-k)/(n-k)  adj. R²  1

  25. Regressionsanalyse • Variablenselektion: • Wie viele bzw. welche erklärenden Variablen sollen in das Modell aufgenommen werden? • Kriterium? • R² => Wähle Modell mit größten R² => immer Modell mit allen möglichen Variablen – Unsinn! • Adj. R² => Wähle Modell mit dem größten Wert des korrigierten Bestimmtheitsmaßes. • AIC, BIC => Wähle Modell mit kleinsten Wert von AIC (Akaike‘s Information Criterion) bzw. BIC (Bayesian Information Criterion)

  26. Regressionsanalyse • Vorwärtsauswahl • Einfachregressionen zw. Y und Xi (i=2,…,k) • Sind alle Variablen nicht signifikant, Abbruch. • Sind einige Variablen signifikant, wählt jene mit dem höchsten F-Wert. • Variable mit höchstem partiellen F-Wert (und > als ein kritischer Wert) ins Modell aufnehmen • usw.

  27. Regressionsanalyse • Rückwärtsauswahl • Umkehrung des Verfahrens der Vorwärt- Selektion. • Modell mit allen erklärenden Variablen • Sind alle Variablen signifikant, Modell mit allen Variablen. • Sind Variable nicht signifikant, schließe jene mit dem kleinsten partiellen F-Wert aus. • usw.

  28. Regressionsanalyse • Schrittweise Auswahl • Prüfe ob ein linearer Zusammenhang vorliegt • Wähle jene Variable mit dem höchsten linearen Einfachkorrelationskoeffizienten. • Wähle jene Variable mit dem höchsten signifikanten partiellen F-Wert • Prüfe alle Variablen im Modell auf Signifikanz, bei nicht-signifikanten schließe jene aus, die den kleinsten partiellen F-Wert besitzen. • usw.

  29. Regressionsanalyse • Prognose: • Ziel: bei gegebenen Werten der unabhängigen Variablen, zugehörige Werte der abhängigen Variable prognostizieren. • Schätzung des Erwartungswertes E(yf) • Schätzung eines Einzelwertes yf an der Stelle xf.

  30. Regressionsanalyse • Geg. xf. (weitere Werte von X) • Ges. zugehöriger Wert yf von Y und/oder mittleres Verhalten E(yf) = xf.b • Weitere Annahmen: • yf = xf.β + εf • E(εf) = 0 • E(εf²) = σ² • E(εf ,εi) = 0 für alle i = 1,…,n • xf. nicht stochastisch

  31. Regressionsanalyse • Parameter bekannt: • Prognose der Einzelwerte: ŷf = xf.β • Prognose des Erwartungswertes: E(ŷf) = xf.β • Parameter unbekannt: • Prognose der Einzelwerte: ŷf = xf.b ŷf ist ein unverzerrter Prediktor für yf • Prognose des Erwartungswertes: E(ŷf) = xf.b E(ŷf)ist ein unverzerrter Prediktor für E(yf)

  32. Regressionsanalyse • Prognose Erwartungswert E(ŷf) = xf.β • Varianz des durchschnittlichen Prognosewertes sŷf² • Ist σ² unbekannt, wird es ersetzen durch s² (s² = 1/(n-k) e‘e)

  33. Regressionsanalyse • Prognose Einzelwert ŷf = xf.β • Prognosefehler: ef = yf – ŷf • Varianz des individuellen Prognosewertes sf² • Ist σ² unbekannt, wird es ersetzen durch s² (s² = 1/(n-k) e‘e)

  34. Regressionsanalyse • 1-α Konfidenzintervall für E(ŷf): [ŷf – t sŷf ; ŷf + t sŷf] t = t1-α;n-k • 1-α Prognoseintervall für ŷf: [ŷf – t syf ; ŷf + t syf] t = t1-α;n-k

  35. Regressionsanalyse • Nichtlineare Regression: • Nichtlineare Regressionsfunktion • Gelten die üblichen Annahmen, gelten die Eigenschaften für die KQ Schätzer

  36. Regressionsanalyse • Nichtlinearer Einfachregression als lineare Zweifachregression ansehen • z.B. yi= β1+β2xi+ β3xi² +εi setze x=x1 und x²=x2, und interpretiere yi= b1+b2x1i+ b3x2i im Sinne der linearen Zweifachregression • Variablentransformation – Linearisierung – Anwendung d. linearen Regressionsanalyse • z.B. Potenzfunktion: yi = β1·xiβ2·εi Logarithmieren ergibt lineare Funktion (linear in den Parametern): log(yi)=log(β1)+β2log(xi)+log(εi)

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