§6. 因子分解与多项式的根 6.1 根与一次因子 6.2 重根

1. §6. 因子分解与多项式的根 6.1 根与一次因子 6.2 重根

2. 6.1 根与一次因子 在这一章的最后我们讨论一下，一个整环上的一元多项式环里的因子分解同多项式的根的关系。这一节的结果都是中学代数的习知定理的推广

3. 定义1 的元 叫做 的多项式 的一个根，假如 例1.在 上, 求多项式 的根

4. 定理 1 被 除的余式 , 即:可以写出 并且 。 证明 因为 的最高系数1是一个单位，依照Ⅳ，4，引 理， 用 代入，得

5. 推论1 是 的一个根，当而且只当 能被 整除的时候。 证明 可以表达为 ……

6. 定理 2 的 个不同的元 都是 的根，当而且只当 能被 整除的时候。

7. 证明 若是能够被 整除，显然 都是 的根。 现在假定 都是 的根。由定理1， 用 代入，得 但 ，又没有零因子，所以 是 的根。 因此 这样下去，得到 证完 推论2若 的次数是n，那么 的 里至少有n个根：

8. 定义2 的元 叫做 的一个重根，假如 能被 整除，k是大于1的整数。 6.2 重根 根据定理2，我们下 关于重根我们有一个类似定理1的定理，不过在这里我们需要导数这一概念……

9. 定义3由多项式 唯一决定的多项式 叫做 的导数。 导数适合以下计算规则：

10. 定理 3 是 的一个根. 是 重根， 当且仅当 能被 整除的时候(或曰: a是 的根)。 证明 假定 是 的重根，那么 能够被 整除。 假定 不是 的重根，那么 不能被 整除。证完。

11. 例2. 定理2中, 条件“ 是 的一个根”不可少. 推论3 假定 是一个唯一分解环。 的元 是 的一个重根的充分而且必要条件是： 能整除 和 的最大公因子。