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第九章 散射

第九章 散射. 9.1 散射现象的一般描述 9.2 分波法 9.3 玻恩近似. 9.1 散射现象的一般描述. 原子核物理以及粒子物理的建立和发展都离不开散射实验及其理论分析。定态微扰问题只能解决 分立能级的能量和对波函数的修正 。. 而当粒子被力场散射时，粒子的能量 组成连续谱。 在量子学中，将碰撞现象称为 散射现象 。. 微观粒子的散射也可分为 弹性散射和非弹性散射 两种： 弹性散射 ：碰撞前后粒子的性质和内部能级都不变，仅仅发生整体的 动量和能量交换 。 非弹性散射 ：碰撞前后粒子的性质没变，但内部能级发生了跃迁。. dS. dS’. . A.

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第九章 散射

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  1. 第九章 散射 9.1 散射现象的一般描述 9.2 分波法 9.3 玻恩近似

  2. 9.1 散射现象的一般描述 原子核物理以及粒子物理的建立和发展都离不开散射实验及其理论分析。定态微扰问题只能解决分立能级的能量和对波函数的修正。 而当粒子被力场散射时，粒子的能量组成连续谱。在量子学中，将碰撞现象称为散射现象。 微观粒子的散射也可分为弹性散射和非弹性散射两种： 弹性散射：碰撞前后粒子的性质和内部能级都不变，仅仅发生整体的动量和能量交换。 非弹性散射：碰撞前后粒子的性质没变，但内部能级发生了跃迁。

  3. dS dS’  A 在质心坐标系中，弹性散射过程相当于质量为m 的粒子从远方入射，受势场 V(r )的作用而改变其运动方向。 考虑一束粒子流沿着z轴方向向粒子A射来，A为散射中心。MA远远大于入射粒子的质量，碰撞后粒子A的运动可忽略。

  4. dS dS’  A 散射角：入射粒子受A的散射作用而偏离原来的运动方向与入射方向成夹角。 单位时间内散射到面积元dS上的粒子数dn应与dS成正比，与dS到A点的距离的平方成反比。

  5. 比例系数与观察的，有关，因此，将比例系数表示为q(，)比例系数与观察的，有关，因此，将比例系数表示为q(，) q(，)与入射粒子、散射中心的性质以及它们之间的相互作用和相对动能有关。 dn还应与入射粒子流强度N成正比。 粒子流强度应为垂直于入射粒子流前进的方向取一单位面积S0，单位时间内穿过S0的粒子数就是入射粒子流强度N

  6. q(，)的量纲为 总的散射截面 q(，)具有面积的量纲，因此称为微分散射截面。 如果在垂直于粒子流的入射方向取面积q(，)d，则单位时间内穿过该面积的粒子数等于dn, 对所有方向积分

  7. 表明每单位体积只入射一个粒子。入射波粒子的几率流密度为表明每单位体积只入射一个粒子。入射波粒子的几率流密度为 散射理论的主要内容是建立微分散射截面q(,)与总截面Q的理论方法，从理论和实验的比较中研究散射作用势V(r )的性质。 作为散射过程的量子力学描述，设入射粒子流为平面波

  8. 取散射中心为坐标原点，用U（r）表示入射粒子与散射中心之间的相互作用能，则体系的薛定谔方程取散射中心为坐标原点，用U（r）表示入射粒子与散射中心之间的相互作用能，则体系的薛定谔方程

  9. 一般观察被散射的粒子都是远离散射中心的, 所以只讨论r时的就足够了。 当r，U(r ) 0. 因此，波函数应由两部分构成：一部分是入射粒子的平面波; 另一部分是描写散射粒子的球面散射波(远离散射中心处，散射波应取外向球面波的形式)。

  10. 该球面散射波是由散射中心向外传播的. f(, )称为散射振幅，是与角度相关的函数。 我们只考虑弹性散射, 所以散射波的能量守恒. 即波矢k 数值不变。f(θ, φ)只与角度有关，与r无关。

  11. 散射的几率流密度为 表示单位时间内穿过球面上单位面积的粒子数, 故单位时间穿过面积dS的粒子数是 因为单位体积只入射一个粒子,＝N，可知微分散射截面为

  12.     例题： 粒子束被半径为a的刚体球散射，试求经典散射截面. 解： 总散射截面显然等于刚体的几何截面a2,问题是找出微分散射截面。  常数表示散射结果是各项均匀的

  13. 取粒子入射方向并通过散射中心的轴为极轴, 该轴为旋转对称轴。波函数和散射振幅 f都与 无关。 由于与无关，m=0。其一般解可以写为: 9.2 分波法 本节将介绍粒子受到中心力场的弹性散射时，从解方程求出散射截面的一种方法。在中心力场中，势能U（r )只与粒子到散射中心的距离r有关，与r的方向无关。方程为

  14. 设 因为f只是的函数。的渐近式也只与有关 该展式中的每一项称为一个分波，Rl(r )Pl(cos)是第l个分波。每一个分波都是方程的解。通常称l=0,1,2,…的分波分别为s, p, d,…分波。径向波函数满足方程；

  15. 将平面波eikz按球面波展开公式

  16. 对于散射后的波，我们来求径向方程的渐近解：r, V(r ) 0, 方程为 方程的解为 引入Al=kAl’, l=l’+l/2 渐近解为

  17. 可求的散射振幅f() 代入到方程 散射后的波函数 散射波函数 等式两边的eikr/r应该相等

  18. 的e-ikr/r项应该为零，得到

  19. 这就是散射振幅公式

  20. 利用 微分散射截面为 总散射截面为 Ql 称为第l个分波的散射截面。

  21. ＝0时，cos =1, Pl(1)=1, f(0)的虚部为 而总的散射截面为

  22. 该公式称为光学定理 用分波法求散射截面的问题归结为计算相移 . 如果Q中的级数收敛的很快, 我们只须计算前面几个分波的相移就可以得到足够精确的结果. 反之, 如果该级数收敛得很慢, 要得到较好的结果需要算出许多个分波的相移. 计算是很复杂的.

  23. 例题1：如果只需考虑S波（l=0）及P波（l=1）的散射，试写出微分散射截面q（）和散射角的关系。并且0＝20°，1＝5 °，具体计算散射到 ＝0，／2， 三个方向的粒子数相对比例。 解：如略去l2以上各分波的散射，根据

  24. 对0＝20°，1＝5 °，计算粒子数的相对比列 S波散射的角是各向同性的，虽然P波相移不足0.1弧度，但对角分布的影响却很大。

  25. 近似求解: 对产生散射的势场V(r )的作用范围是以散射中心为球心，以a为半径的球内，当r>a时，V(r ）可略去不计。散射只在r<a的范围内发生。 球面贝塞尔函数Jl(kr)的第一极大值位置在 当r很小时, Jl(kr) 随 kr很快趋于零。l愈大，趋于零愈快。 如果Jl(kr)的第一极大值在a之外 势场作用范围r<a内 Jl(kr)很小, 则第l分波受到势场的影响很小. 则散射所产生的相移l很小。相移l只要从l=0算到l~ka就足够了。

  26. 应用准经典近似进行估算：当动量 的粒子的角动量L大于 ， 粒子轨道与散射中心的距离大于a, 即轨道在势场作用球之外，势场对粒子不产生散射。 因为L＝l ,所以受势场散射的条件是 特别是当ka<<1时，只须计算0就能很准确地计算散射截面。 由此可见，分波法适用于低能散射的情况下。

  27. 得到 根据 方形势阱与势垒产生的散射 低能粒子受球对称方形势阱的散射，入射粒子能量很小，它的德布罗意波长比势场作用范围大很多。质子和中子的低能散射可以近似地用这种方法处理。 对低能散射，ka<<1

  28. 在r=a处， 为连续。得 得到相移 在r=0处有限，所以0’＝0，、

  29. 总散射截面 在粒子能量很低，k0, x 0, arctgxx

  30. 当U0时， k0 如果散射场不是势阱而是方形势垒, U>0, 将k0换成i k0，k0时，总散射截面 经典情况下，总散射截面就是作为散射中心的硬球的最大截面面积a2, 量子力学中得到的截面是经典的4倍。

  31. 低能散射 设散射作用势V(r )是短程的，在作用球以外，V=0，考虑低能（ka<<1）散射. 由于相移l大致和（ka）2l+1成正比，只考虑S（l=0）分波，u(r）满足的径向方程为 在作用球r>a以外，V=0，如再令 k0(低能极限) r>a, 方程变为：u”=0, 方程的解为： c, a0为某种常数， a0称为散射长度。

  32. 两式比较得 另一方面，在r>a以外， 当k0， coskr1, sinkr kr

  33. 只保留l=0的一项，得到散射振幅 因为a0为有限值，当k0， k a0就可以忽略, ctg0  1/0

  34. 例题: 对球形势阱 求低能散射S 波的散射长度、相移、散射振幅和散射截面。 解：令 在r<a的球内，径向方程为 令k0，解为

  35. 则散射长度为 在球外，r>a, k0时 在r=a处，u和u’连续，所以u／u’连续。

  36. 讨论： （1）如果 将a0代入低能散射的结果，其他量便可得到。 则a0/a, 出现低能共振散射，Q （2）如果势阱浅而窄，即k0a<<1, 则

  37. 则散射长度为 （3）若势阱宽而深，k0a>>1, 由于是非共振散射，k0a并不大，这时a0=a, Q=4a2, 散射效果相当于刚体球（但粒子可以进入球内）。

  38. 解：令 则径向方程为 满足上面边界条件的解为 例题：对于V（r)=/r4(>0), 求低能散射的波长、 相移、散射振幅和散射界面。 边界条件：r0时，u0,令 径向方程变为

  39. 与低能散射的径向函数比较 得到散射长度 当r时，1/x0, 则

  40. 相移 散射振幅 散射界面

  41. 9.3 玻恩近似 经验表明，在入射粒子的动能较大时, 分波法需要计算很多分波，应用起来很不方便。如果入射粒子的动能比粒子与散射中心相互作用的势能大得多，势能U(r )可看作微扰。以此来计算散射截面。 体系的哈密顿量写为 取箱归一化的动量本征函数L-3/2eikr作为H0的本征函数，这种归一化描写在L3内有一个粒子。

  42. z x y -l/2 +l/2 因为自由粒子的波函数为： 波函数满足边界条件，在两个相对的箱壁上应取相同的值,箱内动量的本征值为： 得到

  43. 箱中粒子动量的本征值为： 每一组nx, ny和nz都对应一个态， 而在动量在 区间内的状态的数目为： 用极坐标来表示，动量大小和方向在

  44. 而在此区间内的能量为 状态数有很多 状态数为 动量大小相同，但方向不同。以(m)dm表示能量密度，状态数变为

  45. 高能粒子受到互作用势场的微扰后，使粒子从动量为k的初态跃迁到k’的末态。根据能量守恒，有高能粒子受到互作用势场的微扰后，使粒子从动量为k的初态跃迁到k’的末态。根据能量守恒，有 入射粒子流强度为N0=L－3，单位时间内散射到立体角d内的粒子数为

  46. 另一方面，动量大小为k、方向在立体角内的末态的态密度是另一方面，动量大小为k、方向在立体角内的末态的态密度是 代入到单位时间内的跃迁几率公式中 得到单位时间内散射到立体角内的粒子数。

  47. 归一化的箱中粒子的波函数 单位时间内散射到立体角内的粒子数 绝对值内保留－号是因为用其他方法算出的散射振幅f 有－负号。

  48. 引进矢量K＝k’-k, 它的大小为 是散射角，K是散射引起动量的变化

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