概率论初步

概率论初步

先看几个日常生活中遇到的例子． 1．有一天，乔治在清理电子邮件时，发现了一个标题：惊人的足球杯预测．他好奇地打开了它：亲爱的球迷，我们的统计学家已经设计出了准确预测足球比赛的方法，今晚英国足球杯第三场比赛是考文垂队对谢菲尔队，我们以95%的把握预测考文垂队获胜．乔治看后一笑，晚上看比赛时，考文垂队果然获胜．

三周后，乔治又收到了那人的邮件：亲爱的球迷，上三周后，乔治又收到了那人的邮件：亲爱的球迷，上次我们作了成功的预测．今天考文垂队要和米德尔斯堡队相遇了，我们以95%的把握预测米德尔斯堡队获胜．请你密切关注比赛结果．考文垂队强于对手，那天晚上却发挥有好，双方打成了1比1，但在加时赛上米德尔斯堡队奇迹般地获胜了，乔治心中一震．一周后，那人的电子邮件预测米德尔斯堡队将败给特伦米尔队，结果果然如此．接下来的四分之一决赛，那人的邮件预测特伦米尔队胜陶顿亨队，结果也是如此，四次预测都成功了，乔治大吃一惊．

乔治再次收到了那人的邮件：亲爱的球迷，现在你大乔治再次收到了那人的邮件：亲爱的球迷，现在你大概知道我们的确能够预测比赛的结果．实际上我们买断了一位统计学家的研究专利，能够以95%的把握预测足球比赛的正确结果．今晚的半决赛中，我们以 95%的把握预测阿森那队打败伊普斯队．乔治是个不信邪的人，他约了几个朋友晚上一齐看电视，准备在伊普斯维队获胜后好好羞辱一下那个家伙但是阿森那队在比分落后的情况下奋起直追，竟以2 比1获胜，太不可思议了．

第二天电子邮件又来了：亲爱的球迷，我们已经5次第二天电子邮件又来了：亲爱的球迷，我们已经5次预测成功，现在希望和你做一笔交易，你支付200英镑，把一个月关心的比赛和球队告诉我们，我们将以95%的把握为你预测胜负，殷切地期望你的合作． 200英镑不是小数目，但是如果能预测结果，就可以从彩票商手里赚回20万，乔治支付了200英镑．乔治会上当吗，为什么？

2．某商场要根据天气预报来决定节日是在商场内2．某商场要根据天气预报来决定节日是在商场内还是在商场外开展促销活动．统计资料表明，每年国庆节商场内的促销活动可获得经济效益2万元；商场外的促销活动如果不下雨可获得经济效益10万元，如果遇到下雨则损失4万元．天气预报国庆节有雨的概率是40%．问商场应该选择哪种促销方式？

3．有一赌徒，有本金 a元，决心再赢 b元，就停止赌博．假设他每局赢的可能性是50%，每局输赢都是 1 元，输光后就停止赌博，他输光的可能性有多大？

4．某城市夏利出租车占85%，富康出租车占15%，4．某城市夏利出租车占85%，富康出租车占15%，这两种出租车都是红色．在一次出租车的交通肇事逃逸案件中，有证人指证富康车肇事．为了确定是否富康车肇事，在肇事地点和相似的能见度下警方对证人辨别出租车的能力进行了测验，发现证人正确识别富康车的概率是90%，正确识别夏利车的概率是80%，如果证人没有撒谎，求富康车肇事的可能性有多大？假设每辆车肇事的概率相同．

调查研究中的统计分析方法（第二版） 柯惠新、沈浩编著中国传媒大学出版社

随机事件及其运算 • 概率的定义 • 随机变量及其分布 • 随机变量的期望与方差

一、随机事件及其运算 1．随机事件的概念客观世界中，存在两类不同的现象．确定性现象在一定的条件下，必然要出现某一种结果的现象．我们前面所学的微积分就是用来研究客观世界中的 “确定性现象”的数量规律及其存在形式的．例如， “抛一石头，石头下落”； “在标准大气压下，纯水加热到100℃，水必然沸腾”；都是确定性现象．

随机性现象 在一定的条件下，可能结果不止一个而事先无法确定的现象，例如,抛一枚硬币，其结果可能是正面向上，也有可能反面向上，每次抛掷之前无法确定其结果是什么；一袋中装有红﹑白两种颜色的球，从袋中任取一球，其颜色有可能是红色的，也有可能是白色的，在每次取球之前无法确定其颜色；这些都是随机性现象．概率统计就是研究随机现象数学规律的一个数学分支．

把对随机现象的一次观测称为一次随机试验， 简称试验．随机试验具有如下特点： (1)可以在相同的条件下重复进行； (2)每次试验的结果具有多种可能性，并且事先能明确试验的所有可能结果； (3)每次试验之前不能确定该次试验将出现哪一种结果．

一次试验结果的不确定性，表现了随机现象的 偶然性的一面，而大量重复的试验，显现出随机现象的统计规律性，表现了它的必然性的一面，这就是随机现象的二重性—偶然性和统计必然性之间的辩证关系．

在随机试验中，可能出现或可能不出现的结果 称为随机事件，简称事件．事件常用大写字母 A , B , C等表示．例如， “掷一枚硬币，观察哪一面向上”，这是一个随机试验，它有两个可能的结果： A = “正面向上”， B = “反面向上”，这两个结果都是这个试验的随机事件．

随机试验的每一可能出现的直接结果即不可能 再分解的事件称为基本事件．例如， “掷一枚骰子，观察出现的点数”，这是一个随机试验． “骰”的汉语拼音：touzi 方言读作：shaizi 在这个随机试验中，有 6 个可能的直接结果： “出现1点”， “出现2点”， “出现3点”， “出现4点”， “出现5点”， “出现6点”．

因此这个试验有6个基本事件： ω1=“出现1点”，ω2 =“出现2点”，ω3 =“出现3点”， ω4=“出现4点”，ω5=“出现5点”， ω6 =“出现6点” ． O =“出现奇数点”，也是这个试验的随机事件，但不是基本事件，因为 O可分解为： O = {ω1，ω3，ω5 } 同样事件 “出现的点数大于2” 是一个随机事件，但也不是基本事件，它可以表示为 {ω3，ω4，ω5，ω6 }

记为事件 B = “出现的点数大于0”，是一定会发生的，这样的事件称为必然事件．在一定条件下必然要发生的事件，叫做必然事件，记为Ω ．而事件C =“出现的点数小于0”是不可能发生的，这样的事件称为不可能事件．在一定条件下不可能发生的事件，叫做不可能事件，

基本事件也称为样本点，样本点的全体称为样本空基本事件也称为样本点，样本点的全体称为样本空间，记为Ω．在上述掷骰子的试验中，其样本空间为： Ω = {ω1 , ω2 , ω3 , ω4 , ω5 , ω6 } 事件 B =“出现的点数大于0” 这是一个必然事件，它可以用样本点表示为： B = {ω1 , ω2 , ω3 , ω4 , ω5 , ω6 } = Ω 可见，样本空间表示必然事件．事件 E = “出现偶数点”，用样本点表示为： E = { ω2 , ω4 , ω6 } 事件是样本空间的子集．

思考思考： 1． “将一枚硬币掷两次，观察哪一面向上”，这个试验的样本空间是什么？２．“掷骰子，观察出现的点数是奇数还是偶数”，这个试验的样本空间是什么？

2．事件的关系及运算 由于事件是样本空间的子集，所以事件之间的关系及运算与集合之间的关系与运算是完全类似的 ⑴ 包含与相等若事件 A发生必然导致事件 B发生，则称事件 B包含事件 A，记为或例如在上述掷骰子的试验中，事件 O =“出现奇数点”与事件 A =“出现1点，或3点”的关系是

规定：对任何事件 A，都有 若且则称事件A与 B 相等，记为

⑵ 事件的和（或并） 事件 A与 B至少有一个发生所构成的事件称为事件 A与 B的和事件，也称为事件A与 B的并．记为 A + B或例如在掷骰子的试验中，事件 O =“出现奇数点”与事件 B =“出现2点”的和是 O + B = {ω1 , ω2 , ω3 , ω5 }

一般地,推广到 n 个事件，事件 A1, A2, … , An中至少有一个发生所构成的事件称为A1, A2 , … , An这 n 个事件的和事件(或并)，记为

⑶ 事件的积（或交） 事件 A与 B同时发生所构成的事件称为事件 A与 B的积事件，也称为事件A与 B的交．记为 AB或例如在掷骰子的试验中，事件 O =“出现奇数点”与事件 B =“出现点数大于2”的积是 OB = { ω3 , ω5 }

⑷ 事件的差 若事件 A发生，而事件 B不发生所构成的事件称为事件 A与 B的差，记为 A－B．例如在掷骰子的试验中，事件 O =“出现奇数点”与事件 B =“出现大于2的点”的差是 O－ B = {ω1 }

⑸ 互不相容（互斥）事件 若事件 A与 B的积是不可能事件，即则称事件 A与 B互不相容，或称 A与 B是互斥事件．例如在掷骰子的试验中，事件 O =“出现奇数点”与事件 E =“出现偶数点”互不相容

⑹ 对立（互补）事件 设 A是一事件，称Ω－A为 A 的对立事件，记为即例如在掷骰子的试验中，事件 O =“出现奇数点”的对立事件是 E =“出现偶数点”；

3 ．事件运算的性质 设 A , B , C是同一随机试验的事件，那么有下列性质：性质1 交换律A + B = B + A , AB = BA；性质2 结合律( A + B ) + C = A + ( B + C ), ( AB ) C = A ( BC )；性质3 分配律A ( B + C ) = AB + AC；性质4 对偶律

性质5 吸收律AB + A = A , ( A + B ) A = A； 性质6 对立律

例1.掷一颗骰子的试验E, 观测出现的点数: 事件 A 表示出现“偶数点”, 事件 B 表示出现 “小于 4的奇数”, 事件 C 表示出现 “大于 2 的点数”, 用集合的列举表示法表示下列事件: Ω, A, B, C, A+B, B－C, BC, 解根据题意知 Ω={1,2,3,4,5,6}, A={2,4,6}, B ={1,3}, C ={3,4,5,6}, A+B ={1,2,3,4,6}, B－C ={1}, BC ={3},

例2. 随机地抽取三件产品．设A表示“三件产品中至少有一件是废品”, B表示“三件中至少有两件是废品”, C表示“三件都是正品”,问 A , B , A+C, AC, A－B各表示什么事件? A = “三件都是正品” = C ； B =“三件产品中至多有一件废品”；解 A+C =Ω (必然事件); AC = (不可能事件); A－B =“三件中恰有一件废品”.

思考题. 1.“A、B至少发生一个”是否可表为A+B或或 . 2.“事件A、B都发生”与“A、B不都发生”是对立事件吗? 3.“事件A、B至少发生一个”与“A、B最多发生一个”是对立事件吗?

例3.1.4.从一批产品中每次取出一个产品进行不放回试验(即每次取出的产品不再放回．若每次将取出的产品再放回，则称为有放回的试验),事件Ai表示第i次取到合格品(i=1,2,3)．试用事件的运算符号表示下列事件:(1)三次都取到了合格品；(2)三次中至少有一次取到合格品；(3)三次中恰有两次取到合格品；(4)三次中最多有一次取到合格品．例3.1.4.从一批产品中每次取出一个产品进行不放回试验(即每次取出的产品不再放回．若每次将取出的产品再放回，则称为有放回的试验),事件Ai表示第i次取到合格品(i=1,2,3)．试用事件的运算符号表示下列事件:(1)三次都取到了合格品；(2)三次中至少有一次取到合格品；(3)三次中恰有两次取到合格品；(4)三次中最多有一次取到合格品．解. (1)三次都取到合格品: A1A2A3. (2)三次中至少有一次取到合格品: A1+A2+A3. (3)三次中恰有两次取到合格品： . (4)三次中至多有一次取到合格品：

二、概率的定义 1 ．概率的定义定义如果在n次随机试验中, 事件 A 出现了m 次, 则称比值 m/n 为 n 次试验中事件 A 出现的频率．

随机事件在一次试验中是否发生虽然不能事先确随机事件在一次试验中是否发生虽然不能事先确定，但是在大量重复试验的情况下，它的发生呈现一定的规律性．例如，历史上曾有人作过抛掷硬币的大量重复试验，结果如下表所示．

抛掷硬币试验结果表 当抛掷硬币的次数很多时，出现正面的频率值是稳定的，接近于常数0.5，在它附近摆动．

再看下面的表2． 当抽查的球数较多时，抽到优等品的频率接近于常数 0.95，在它附近摆动．

再看下面的表3． 当试验的油菜籽的粒数很多时，油菜籽发芽的频率接近于常数0.9，在它附近摆动．

定义在大量重复进行同一试验时，事件 A发生的频率总是接近于某个常数，在它附近摆动，把这个常数叫做事件 A的概率，记作 P ( A )．概率从数量上反映了一个事件发生可能性的大小．抛掷一枚硬币出现“正面向上”的概率是0.5，是指出现 “正面向上”的可能性是50%．上面有关概率的定义，实际上也是求一个事件概率的基本方法：进行大量重复试验，用这个事件发生的频率近似地作为它的概率．

记随机事件 A在 n次试验中发生了 m次，那么有 0≤m≤n , 于是可得显然必然事件的概率是1，即不可能事件的概率是0，即如果事件 A，B互不相容，则

一般地，如果事件 A1 , A2 , ··· , An彼此互不相容，那么

性质1．设 A是A的对立事件, 则 2．概率的性质性质2 性质3 设A, B为二事件, 则 P(A+B)=P(A)+P(B)－P(AB). 性质4 设A, B为二事件, 若B包含A，即则

则性质5 若B包含A，即

3．古典概型 从上面知道，随机事件的概率，一般可以通过大量重复试验求得其近似值．但对于某些随机事件，也可以不通过重复试验，而只通过对一次试验中可能出现的结果的分析来计算其概率．例如，掷一枚硬币，可能出现的结果有正面向上，反面向上这两个．由于硬币是均匀的，可以认为出现这两个结果的可能性是相等的，即可以认为出现“正面向上”的概率是 ½，出现“反面向上”的概率也是½．

又如，抛掷一个骰子，它落地时向上的数可能是又如，抛掷一个骰子，它落地时向上的数可能是 1，2，3，4，5，6 之一，即可能出现的结果有6种．由于骰子是均匀的，可以认为这6种结果出现的可能性都相等，即出现每一种结果的概率都是1/6．如果问：骰子落地时向上的数是3的倍数的概率是多少？由于向上的数是3，6这两种情形之一出现时，“向上的数是3的倍数”这一事件（记作事件 A）发生，因此事件 A的概率

上面的两个试验具有下列特点： ⑴ 试验结果的个数是有限的； ⑵ 每一种结果出现的可能性都相等．这时称所讨论的问题为古典概型．定义若试验 E的总的基本事件个数为 n，事件 A 由其中 m个基本事件组成，那么事件 A的概率为

3．互不相容事件 在一盒子里装有10大小相同的小球，其中5个红球， 3个黄球，2个白球．从盒中随机摸出1个球，把“摸出红球”记为事件 A．“摸出黄球”记为事件 B． “摸出白球” 记为事件 C．显然事件 A、B不可能同时发生，事件 A、C也不可能同时发生，事件B、C也不可能同时发生．这种不可能同时发生的两个事件称为互不相容事件．

在上面的问题中，“从盒中摸出红球或黄球” 是一个随机事件，当摸到红球或黄球时，这个事件发生．把这个事件记为 A + B．现在要问事件A + B的概率是多少？因为从盒中摸出一个球有10等可能的方法，而摸到红球可黄球的方法有5+3种．所以摸到红球或黄球的概率另一方面由我们看到

一般来说，如果事件 A，B互不相容，那么事件 A + B发生（即A，B中有一个发生）的概率，等于事件 A，B分别发生概率的和，即一般地，如果事件 A1 , A2 , ··· , An彼此互不相容，那么事件A1 + A2 + ··· + An发生（即A1 , A2 , ··· , An中有一个发生）的概率，等于这 n个事件分别发生的概率的和，即

概 率 论 初 步