姓名：范金泉单位：宿迁市马陵中学

高中数学必修１ 3.4.1函数与方程（1）姓名：范金泉单位：宿迁市马陵中学

情境问题： 在第3.2.1节中，我们利用对数求出了方程0.84x＝0.5的近似解；利用函数的图象能求出方程0.84x＝0.5的近似解吗？

y 3 1 x －2 O －4 2 情境问题： y 　　如图1，一次函数y＝kx＋b的图象与x轴交于 (－2，0)点，试根据图象填空： (1)k0，b0； (2)方程kx＋b＝0的解是； (3)不等式kx＋b＜0的解集．－2 x O 图1 　　已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象x轴交于点(－3，0) 和(1，0)，且开口方向向下，试画出图象并结合图象填空： (1)方程ax2＋bx＋c＝0的解是； (2)不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为；不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为．　　方程f (x)＝0的解、不等式f (x)＜0、f (x)＞0的解集与函数y＝f (x)的图象密切相关：　　方程f (x)＝0的解是函数y＝f (x)的图象与x轴交点的横坐标，如何定义这一数值呢？

数学建构： 函数零点的定义：一元一次方程kx＋b＝0(k≠0)的根称为一次函数y＝kx＋b的零点．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根称为二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 的零点．　　一般地，对于函数y＝f (x)(xD)，我们把使f (x)＝0的实数x叫做函数y＝f (x)(xD)的零点．

数学应用： 例1　函数y＝f (x)(x[－5，3])的图象如图所示，根据图象，写出函数f (x)的零点及不等式f (x)＞0与f (x)＜0的解集． y 函数f (x)的零点－5 －3 1 x1＝－2 x O －1 3 x2＝0 x3＝2 不等式f (x)＞0的解集为不等式f (x)＜0的解集为 {x|－2＜x＜0或2＜x≤3} {x|－5≤x＜－2或0＜x＜2}

数学探究： 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的零点、图象与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的实数根的关系．见课本92页表3-4-1

数学应用： 例2 　求证：二次函数y＝2x2＋3x－7 有两个不同的零点．变式练习1．下列区域：(1)(－3，－2)，(2)(－2，－1)，(3)(－1，0)， (4)(0， 1)，(5)(1，2)，(6)(2，3)，函数y＝2x2＋3x－7的两个零点分别在其中的区间上． (1) (5)

数学建构： 函数零点存在条件：若函数y＝f (x)在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且f (a)·f (b)＜0，则函数y＝f (x)在区间(a，b)上有零点．思考：若x0是二次函数y＝f (x)的零点，且a＜x0 ＜b，那么f (a)·f (b)＜0 一定成立吗？

数学应用： 例3．判断函数f(x)＝x2－2x－1在区间(2，3)上是否存在零点？变式练习2． (1)函数f(x)＝2x2－5x＋2的零点是_______ ． (2)若函数f(x)＝x2－2ax＋a没有零点，则实数a的取值范围是_________； (3) 二次函数y＝2x2＋px＋15的一个零点是－3，则另一个零点是；

数学应用： 例4．求证：函数f(x)＝x3＋x2＋1在区间(－2，－1)上存在零点．变式练习3．　　已知函数f(x)＝x3－3x＋3在R上有且只有一个零点，且该零点在区间[t，t＋1]上，则实数t＝．

数学应用： 补充例题．若关于x的方程x2＋(m－2)x＋2m－1＝0有一根在(0，1)内，试确定实数m的范围．变式1．已知方程2ax2－x－1＝0在(0，1)内恰有一解，求实数a的取值范围．变式2．已知方程ax2＋2x－1＝0在(0，1)内恰有一解，求实数a的取值范围．

数学应用： 补充练习1．已知函数f (x)＝(x－a)(x－b)－2(a＜b)的两个零点分别是，(＜)，则实数a、b、、的大小关系用“＜”按从小到大的顺序排列是． 2．若函数f (x)＝x2－ax＋a2－7的零点一个大于2，一个小于2，则实数 a的取值范围是． 3．若函数f (x)＝x2－ax＋a2－7的零点都大于2，则实数a的取值范围是． 4．若函数f (x)＝x2－ax＋a2－7的零点都小于2，则实数a的取值范围是．

小结： 二次函数与一元二次方程　　二次函数的零点与对应一元二次方程根的关系二次函数的零点函数的零点函数零点存在的条件

作业： 课本P97－习题2，5．

姓名：范金泉 单位：宿迁市马陵中学