POLİNOMLAR

1. POLİNOMLAR

2. DİKKAT: SORU: SORU: SORU: ÖRNEK: SORU: P(x) = x7 – 2x + 5 3x – 1 B A x x x 3x3 (x + 3).(5x + 2) – x.(x2 + 3x – 4) = + P(x – 3) = x2 + 3x – 5 ise P(1) = ? P(x) = (a + 1).x2 + (b + 3).x + 2-c P(x) = (a – 4).x2 + (b + 2).x + 5 Q(x) = x2 + 3x + 5 x – 2 x – 1 x2 – 3x + 2 4 – 4x + 4 işleminin sonucu kaçtır. Polinomu sıfır polinomu ise a + b + c toplamı kaçtır? Polinomu sabit polinom ise a.b çarpımı kaçtır? ise aşağıdaki ifadeleri sonuçlandırınız. 4 yazmalıyım (P(x)) -4x2 d[P4(x).Q5(x)] = f) 3x – 1 B 4x A = + 7 x – 2 x – 1 x2 – 3x + 2 0 0 0 (x-2) (x-1) sabit terimi Katsayılar toplamı x +2 P(x) P(x) 3x3 + 2x2 – 4x + 1 + x x 2 1 1 2 2 1 sabit terimi sabit terimi Katsayılar toplamı Katsayılar toplamı P(2x+3) P(x – 3) P(5x+3) P(x – 4) P(x) 4 8 = (x3) (x8) Q(x) ] ] ] [ [ [ P6(x) P(x) P(x) d d d = = = Q(x) Q3(x) Q(x) [P(Q(x))] = [P(Q(x))] = c) d d d[P5(x)] = d) g) [P5(Q3(x))] = e) d h) BİLGİLER ÖRNEKLER: EŞİTLİK: ÇARPMA: ÖRNEK: TOPLAMA-ÇIKARMA: ÖRNEK: ÖRNEK: P(x) = ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f 1) x değişkenine bağlı P(2x + 5) = x3 – 6x2 + 5x + 9 İki polinomun birbirine eşit olması demek; Normal dağılma özellikleri kullanılır. Ve; Aşağıdakilerden hangileri polinomdur. P(x) = x8 ve Q(x) = x3 olsun. d[P(x)] = 0 1 1 En büyük üslünün 1 1 Sadece aynı dereceli olan x ler toplanabilir yada çıkarılabilir. üsleri doğal sayı Üstlere 3x5 + 5x3 – 7x2 + 9 4 4 gibi bir polinom alalım. P(0) = f xm+n katsayısına xm.xn = katsayıları reel sayı 3x2 olan ifadelere olarak alalım. a + b + c + d+ e + f P(1) = Üsler doğal sayıdır aynı dereceli olan x’lerin P(1) + P(-1) - 3x3 + 6x2 P(7) = 1 – 6 + 5 + 9 – d[P(x)] = 7 P4(x) = olduğuna göre, A.B çarpımı kaçtır? x8 + x3 x32 P(x) + Q(x) = = = P(x) = 7 terimlerin derecesi = 7.x0 Baş katsayı denir. reel katsayılı polinom denir. b + d + f = Bu x in yerine 1 yazmak istiyorum. Örneğin; ÇÖZÜM: P(1) = kuralı hatırlanır. katsayılarının 42 + 3.4 – 5 2x4 + 6x3 2 7 a) d[P(x) + Q(x)] = Katsayılar toplamıdır. POLİNOMDUR. 1 – x – x2 – x3 – x7 Sabit terimdir. -4x2 Çünkü; bu x i 4 alırsam içerisi 1 olur. – 4x + 1 P(x) , Q(x) , B(x) … lerle gösterilirler. P(7) = 9 DERECESİ = 5 Tek şartla yazabilirim. bir birlerine eşit olması ÇÖZÜM: ÇÖZÜM: 6x3 + 4x2 – 7x + 5 + 3x2 + 10x – 9 POLİNOM DEĞİL Çift dereceli terimlerin katsayıları toplamıdır. denir. (x + 3).(5x + 2) – x.(x2 + 3x – 4) Örneğin; 4.7+ 5.2 =38 Burayı + yapın. Polinomun katsayıları denir. Bölüm – 4x2 – 8x ÇÖZÜM: Herhangi bir polinomda x yerlerine 1 yazınca katsayılarının toplamı bulunur. toplamın derecesi 23 P(1) = demektir. Herhangi bir polinomda x yerlerine 0 yazınca sabit terimi bulunur. Bunun işaretlerini değiştirin. üstel polinomların derecesi Yani; d[P(x) + Q(x)] = Bütün x lere de 1 yazmak şartıyla. BAŞKATSAYI = 3 ŞART NEYDİ? DİĞERLERİNE DE YAZMAK. 2) Büyük olanıdır. bu tek başına Katsayılar reel sayıdır. hangisinin derecesi büyük ise 7 2 P(x) = (a + 1).x2 + (b + 3).x + 2-c Şimdi toplayın. BAŞ KATSAYI = 7 Örneğin; 4x + 1 2 P(x) = (a – 4).x2 + (b + 2).x + 5 istenendir. üs ile polinomun derecesinin BAŞ KATSAYI = -1 Herhangi bir polinomdaki 10x2 b) d[P(x).Q(x)] = (2x + 3).(5x – 4) = 5x2 – 8x + 15x – 12 …= Sağdaki örneği dikkatle inceleyelim. + 2x + 15x odur. = 9 1 + 6 – x3 4x – 3x2 + 4x d[P(x).Q(x)] = P(x) = 3x4 – 8x3 + 9x2 + x + 1 + 8 .x0 d[P(x)] d[Q(x)] 7 + 2 Öncelikle bir örnek üzerinde polinom bölmesinin nasıl yapıldığını görelim. Üs doğal sayı Dağal sayı değil. SABİT TERİM + ax3 + bx2 + cx + d = 2x3 + 5x2 – 6x + 9 (a – b)x2 + 4x + c = 8x2 + (a + b)x – 3 (a – 1)x2 – bx + 3 = 4x – c + 1 0 çarpımıdır. 0 herhangi bir x in yerine 5 5.x0 -1 -2 = ÖRNEK: SABİT TERİM POLİNOMDUR. 7 -7 b = -2 a = -1 a = 4 d[P(x)] = 5 b = -3 c = 2 d[P(x)] d[Q(x)] A.(x – 2) + B.(x – 1) =36 …. = 6x3 P(x).Q(x) = P(x2 + 1) = 3x2 + 13 ise P(x) = ? 0 7 her şey yazılabilir. + 7x2 Örneğin; x8.x3 6.7– 3.2 + 3x – 4 2 x8+3 3x – 1 -x3 + 2x2 = + 21x = x11 + 6 …= – Örneğin; = P(Q(x)) = Katsayı reel sayı. a – b = 8 sadece sabit terim kalmalı 6 – b = 8 P(1) – P(-1) 10x2 P(x3) ……………….. = 1 + 7x – 12 x24 d = 9 = = = -2 0 a = 2 (x – 1).(x – 2) 2 b = 5 -b = 4 c = -6 3 = -c + 1 TEK ŞARTI VAR. (x – 1).(x – 2) a – 1 = 0 a + c + e = 7 olmalılar İSTENEN = a + b + c En büyük dereceliyi en büyük dereceliye kafadan bölün. P(1) dir. 3. En büyük üsse (x2 + 1) + 10 P(0) c = -3 dır. P(x2 + 1) = 2 -2 = b a + b = 4 Üsler doğal sayıdır gibi. d[Pn(x)] = d[P(x)] = 5 x3 -1 -3 2 n. 7 – 2 a = 1 b = -4 çarpımın derecesi gibi. c = -2 O YAZDIĞINIZ ŞEY NE İSE ….. 0 Çıkarma yaparken şu yöntemi kullanın. = 0.x1 Tek dereceli terimlerin katsayıları toplamıdır. olur. 0.x2 = = Polinomun derecesi Bunu yazalım. gibi. POLİNOM DEĞİL Kalan P(x) = 0 = 0.x2 = 0.x3 = ... x ler kaybolmalı 3x – 1 = A.(x – 2) + B.(x – 1) derecelerinin toplamıdır. 2a = 12 2 içeriye gelenin 8. kuvvetini alıyor. 1 =210 5.7.3.2 P makinesi yani polinomu İŞTE O ŞEYİ TÜM X LERE DE YAZMAK ŞARTIYLA. gibi. 0 P(5) P.Q denir. POLİNOMDUR. dir. P(x) = 3x + 10 P(3) o halde; dür. a = 6 7 2 ŞİMDİ BÖLME İLE İLGİLİ ÖNEMLİ 3 KURAL VERELİM. alırsak x = 1 için 10 eklersek üstteki elde edilir. 2 = -A + 0 A = -2 içine aldığı şeyi Katsayı reel sayı. Bu bölme işlemini yapıp bölüm ve kalan bulalım. x8 = 35 Doğal sayı değildir. Niye sıfır? 5.7 gibi. elde edilir. x8-3 2.x-1 Derece yok d[P(x)] = 4 = x5 = 3) Bütün katsayılar 0 olmalı. Sabit terim de 0 olmalı. Eşit Muamele Mantığı. = -8 İSTENEN = a.b = x3 4.(-2) olur. dışarıya çıkarırken ne yapıyor? eder. derecesi = P ise derecesi = Q Çünkü; sağda x2 li terim yok. YADA gibi. BAŞ KATSAYI = 0 1 P(x) = 0 x = 2 için 7 5 = 0 + B SIFIR POLİNOMUDUR. B = 5 0 Bileşke polinomun derecesi yada 4) Eşitlik, Toplama, Çıkarma, Çarpma. P(-2) dir. 3 ile çarpıp 10 ekliyor. P(-4) dür. bölümün derecesi = 14 Gelen örneğe dikkat ediniz. polinom derecelerinin 2.7 derP(x) = 4 o halde; 5) P(x) = a = -10 derecelerinin farkıdır. Bölmeyi tek başına işleyeceğiz. Katsayılar Toplamı ve Sabit Terim. SABİT POLİNOMDUR. İstenen = A.B çarpımıdır. olur. Reel sayı değil. P(x) = 3x + 10 şeklinde ifade edilir. -2 5 6) Bölme. 7 2 payın derecesi büyük iken Reel sayı 3 ile çarpıp 10 ekleyecek. POLİNOM DEĞİL

3. P(x) Q(x) B(x) K(x) BÖLME: Doğal sayılarda geçerli olan normal bölme kuralları aynen polinom bölmeleri için de geçerlidir. Yani; KURAL:1 P(x) = Q(x). B(x) + K(x) dir. KURAL:2 K(x) < Q(x) dir. Kalanın derecesi kesinlikle bölenden küçüktür. 0 olursa KURAL:3 Kalan sıfır olursa tam bölünme vardır. P(x) = Q(x). B(x) olur. Yani; çarpanlarına ayrılan bir polinom kendi çarpanlarına tam bölünür. Mesela; P(x) in çarpanlarından biri x – 2 ise P(x) x – 2 ile tam bölünür.

4. a a a a SORU: Herhangi bir P(x) polinomunun x – a ile bölümünden kalan nedir? x – a P(x) P(x) = (x – a). B(x) + Kalan B(x) ŞİMDİ 2 ÖZEL SORU GELECEK VE BUNLAR SAYESİNDE ÇOK KULLANILACAK OLAN PRATİK YÖNTEMLER SÖYLENECEK Kalan P(a) = 0. B(x) + Kalan Kalan SORU: Herhangi bir P(3x + 7) polinomunun x – a ile bölümünden kalan nedir? x – a P(3x+7) P(3x+7) = (x – a). B(x) + Kalan B(x) Kalan Kalan P(3a+7) = 0. B(x) + Kalan

5. -b -3 P( P( ) ) a 2 -b x = a P(x) x4 + 1 B(x) Kalan -3 2 -b P( ) m. + n a KALAN BULMA PRATİK YOLLARI 1) P(x) polinomunun ax + b ile bölümünden kalan dır. ÖRNEKLER: 2) P(2x + 5) polinomunun P(mx + n) polinomunun ax + b ile bölümünden kalan x – 7 ile bölümünden kalan dir. P(2.7 + 5) dur. = P(19) ax + b = 0 7 Bunun yerine yaz. Bölenin kökünü ax = -b P(x) polinomunun 2x + 3 ile bölümünden kalan 3) P(x) polinomunun x + 2 ile bölümünden kalan P(x) polinomunun x – 3 ile bölümünden kalan P(x) polinomunun P(-2) P(3) Şu örneğe bakalım. xn + a ile bölümünden kalan ÖRNEKLER -2 3 Bölenin kökü olan 7 sayısını Bu x in yerine yazın. Bölenin kökünü P(x) = 5x4 + 7 polinomunun x4 + 1 ile bölümünden kalan kaçtır? xn + a = 0 Buradaki x yerine yaz. P(3x+7) polinomunun x – a ile bölümünden kalan P(3a+7) xn = -a a P(x) = (x4 + 1).B(x) + Kalan Polinomdaki xn yerlerine -a yazarak elde edilen şeydir. Son yazdığımız mantık yine geçerlidir. YANİ; Burayı sıfır yapmalıyız. ÖRNEKLER Bunu bulmak için P(2x+5) polinomunun x – 7 ile bölümünden kalan P(x – 9) polinomunun x + 4 ile bölümünden kalan P(19) P(-13) (x4 + 1).B(x) + Kalan BAŞKA BİLGİ YOK. 5x4 + 7 = = ? P(x) polinomunun x3 + 2 ile bölümünden kalan -1 7 -4 -1 x3 yerlerine -2 yazarak elde edilen şeydir. 5.(-1) + 7 = 0 + Kalan Yani; 2 = Kalan Tüm x4 yerlerine de -1 yazmalıyız o halde P(x) i yerine yazdık. x4 yerine -1 yazarsak sıfır olur burası P(x) polinomunun x10 – 1 ile bölümünden kalan olur. x10 yerlerine 1 yazarak elde edilen şeydir. Bu yaptıklarımızın pratik yolunu mutlaka anlayın. Yoksa çok çekeceksiniz.

6. -1 -1 -1 -1 Kalan SORU: a) P(x) = x9 + 3x7 + 5x + 8 polinomunun x + 1 ile bölümünden kalan kaçtır? P(x) = x9 + 3x7 + 5x + 8 P(-1) dir. P(x) polinomunun x + 1 ile bölümünden kalan -1 P(x) = x9 + 3x7 + 5x + 8 P(-1) = (-1)9 + 3(-1)7 + 5(-1) + 8 -1 -3 -5 P(-1) = -1 – 3 – 5 + 8 P(-1) = -1

7. b) P(x) = x5 + 2x4 + ax + 5 polinomunun x – 1 ile bölümünden kalan 11 ise a = ? P(1) dir. P(x) polinomunun x – 1 ile bölümünden kalan 1 11 P(1) = Kalan = imiş. 15 + 2.(1)4 + a.(1) + 5 = 11 1 + 2 + a + 5 = 11 a + 8 = 11 a = 3 P(x) = x5 + 2x4 + ax + 5

8. 3 3 3 3 c)P(3x – 7) = x3 + 2x2 – 3x + 9 olarak veriliyor. Buna göre; P(x) polinomunun x – 2 ile bölümünden kalan kaçtır? P(2) dir. P(x) polinomunun x – 2 ile bölümünden kalan 2 P(3x – 7) = x3 + 2x2 – 3x + 9 3x – 7 = 2 3x = 9 P(2) = 33 + 2.32 – 3.3 + 9 x = 3 P(2) = 27 + 18 – 9 + 9 P(2) = 45

9. 5 5 5 5 d)P(x) = x3 – 5x2 – 4x + 1 olarak veriliyor. Buna göre; P(2x + 3) polinomunun x – 1 ile bölümünden kalan kaçtır? P(2x + 3) polinomunun x – 1 ile bölümünden kalan dir. P(5) 1 P(x) = x3 – 5x2 – 4x + 1 125 P(5) = – 125 – 20 + 1 P(5) = -19

10. 2 2 2 2 e)P(2x – 5) = 2x3 + 5x2 – 3x + 10 olarak veriliyor. Buna göre; P(2x - 5) polinomunun x – 2 ile bölümünden kalan kaçtır? P(2x – 5) polinomunun x – 2 ile bölümünden kalan dir. P(-1) 2 P(2x – 5) = 2x3 + 5x2 – 3x + 10 2x – 5 = -1 2x = 4 16 P(-1) = + 20 – 6 + 10 x = 2 P(-1) = 40

11. -1 -1 -1 -2 f)P(5x + 3) = 3x2 – 3x + a olarak veriliyor. P(x - 7) polinomunun x – 5 ile bölümünden kalan 10 ise a = ? P(x - 7) polinomunun x – 5 ile bölümünden kalan 10 5 P(-2) Kalan = = 10 imiş. 6 + a = 10 P(5x + 3) = 3x2 – 3x + a a = 4 olması için x yerlerine -1 yazılmalıdır. P(-2) = 3(-1)2 – 3(-1) + a + 3 3 P(-2) = + a P(-2) = 6 + a

12. 2 2 2 4 4 g)P(3x – 5) = 2x3 – 3x + 5 ve Q(x – 3) = 5x + 7 olarak veriliyorlar. Buna göre; 2.P(x) + 3.Q(x) polinomunun x – 1 ile bölümünden kalan kaçtır? 2.P(x) + 3.Q(x) polinomunun x – 1 ile bölümünden kalan 1 P(3x – 5) = 2x3 – 3x + 5 Kalan = 2.P(1) + 3.Q(1) Q(x – 3) = 5x + 7 Kalan = 2.15 + 3.27 16 – 6 P(1) = + 5 Kalan = 111 Q(1) = 27 P(1) = 15

13. SORU:18 olarak veriliyor. a) Q(x) in x – 8 ile bölümünden kalan 2 olduğuna göre; P(x – 3) polinomunun x – 6 ile bölümünden kalan kaçtır? 5 5 5 5 Q(x) in x – 8 ile bölümünden kalan 2 P(x – 3) polinomunun x – 6 ile bölümünden kalan 6 Kalan = P(3) = ? Q(8) = 2

14. 4 4 4 4 b) P(x) polinomunun x – 5 ile bölümünden kalan 2, P(5) = 2 Q(x + 3) polinomunun x – 6 ile bölümünden kalan 5, Q(9) = 5 olarak veriliyor. R(x – 1) = P(x + 1) . Q(x + 5) + 3x + 2 olduğuna göre; R(x + 2) polinomunun x – 1 ile bölümünden kalan kaçtır? R(3) = ? 1 R(3) = P(5) . Q(9) + 14 2 5 R(3) = 24

15. c) Buna göre; (x – 1).P(x) = x2 + 3x – a olarak veriliyor. P(2x + 5) polinomunun x – 1 ile bölümünden kalan kaçtır? (x – 1).P(x) = x2 + 3x – a 7 1 7 1 1 7 7 1 1 Kalan = P(7) (x – 1).P(x) = x2 + 3x – a (x – 1).P(x) = x2 + 3x – a (x – 1).P(x) = x2 + 3x – 4 0 = 4 – a Yazımından faydalanarak P(7) yi bulabilmek için öncelikle a bulunmalıdır. a = 4 6.P(7) = 49 + 21 – 4 6.P(7) = 66 P(7) = 11

16. SORU: a) P(x) = 2x5 – 3x4 + 2x3 + 6x2 + 3x + 1 polinomunun x3 – 1 ile bölümünden kalan kaçtır? x3 – 1 = 0 x3 = 1 x3 yerine 1 yazacağız. 2.x3.x2 3.x3.x 2x5 – 3x4 + 2x3 + 6x2 + 3x + 1 = – + 2.x3 + 6x2 + 3x + 1 2.x3.x2 3.x3.x 1 1 1 Çünkü buralardan x3 lü terim gelmez. 2x2 3x KALAN = – 2 + + 6x2 + 3x + 1 Aynen yazabiliriz. KALAN = 8x2 + 3

17. -2 -2 b) P(x) = x36 – 2x18 + 3x9 + 10 polinomunun x9 + 2 ile bölümünden kalan kaçtır? Yani; x9 yerlerine -2 yazarsak kalanı bulmuş oluruz. x9 + 2 = 0 ise x9 = -2 P(x) = x36 – 2x18 + 3x9 + 10 Kalan = (-2)4 – 2. (-2)2 + 3.(-2) + 10 Kalan = 16 + 10 – 8 – 6 Kalan = 12

18. c) P(x) = x20 – x10 + 4x5 + 7 polinomunun ile bölümünden kalan kaçtır? Yani; x10 yerlerine yazılırsa kalan bulunmuş olur. P(x) = x20 – x10 + 4x5 + 7 P(x) = (x10)2 – x10 + 4x5 + 7 + 4x5 + 7 Kalan = + 4x5 + 7 2 Kalan = Kalan = 4x5 + 9

19. -1 -1 -1 0 0 d) P(x) = x3 + 3x2 + ax + b polinomunun x2 + 1 ile tam bölünmesi için a ve b ne olmalıdır? x2 + 1 P(x) B(x) P(x) = (x2 + 1).B(x) + 0 0 x3 + 3x2 + ax + b = (x2 + 1).B(x) + 0 x2.x + 3x2 + ax + b = (x2 + 1).B(x) + 0 a = 1 -x + 3 + ax + b = 0 + 0 b = -3 x(1 – a) + b + 3 = 0

20. -1 -2 2a + b = 31 2 1 1 2 1 2 1 2 2 1 a + b = 10 SORU: P(x) = x3 + 3x2 + 5x + 1 polinomunun x2 – 3x + 2 ile bölümünden kalan kaçtır? x3 + 3x2 + 5x + 1 1.YOL: 2. YOL: x2 – 3x + 2 P(x) x2 – 3x + 2 = 0 B(x) x3 + 3x2 + 5x + 1 x2 = 3x – 2 ax + b 7x–6 3x–2 x2 yerlerine 3x – 2 yazınca kalan bulunur. P(x) = (x2 – 3x + 2 ).B(x) + ax + b Bunu ayrı bir yerde yapalım. Kalan = 7x–6 + 3.(3x – 2) + 5x + 1 (x – 2).(x – 1) .B(x) + ax + b P(x) = Kalan = 21x – 11 P(2) = 2a + b P(1) = a + b a = 21 b = -11 x2.x x3 = (3x – 2).x = 3x2 – 2x = 7x – 6 3.(3x – 2) – 2x = = 3x–2 3x–2 P(x) = x3 + 3x2 + 5x + 1 P(2) = 23 + 3.22 + 5.2 + 1 P(x) = x3 + 3x2 + 5x + 1 P(1) = 13 + 3.12 + 5.1 + 1 Kalan = ax + b = 21x - 11 = 10 8 + 12 + 10 + 1 = = 31

21. SORU: P(x) polinomunun; x – 1 ile bölümünden kalan 5, P(-2) = 8 P(1) = 5 x + 2 ile bölümünden kalan 8 olarak veriliyor. Buna göre; P(x) polinomunun (x – 1). (x + 2) ile bölümünden kalan kaçtır? P(x) = (x – 1).(x + 2).B(x) + ax + b -2 1 -2 1 -2 1 1 -2 -2 1 ax + b P(1) = a + b P(-2) = -2a + b (x – 1).(x + 2) P(x) P(x) = (x – 1).(x + 2).B(x) + Kalan B(x) Kalan -1 + b = 5 = 5 b = 6 Kalan = ax + b = -x + 6 = 8 3a = -3 a = -1

22. Şimdi aynı soruyu daha kısa yoldan çözelim.

23. SORU: P(x) polinomunun; x – 1 ile bölümünden kalan 5, P(1) = 5 P(-2) = 8 x + 2 ile bölümünden kalan 8 olarak veriliyor. Buna göre; P(x) polinomunun (x – 1). (x + 2) ile bölümünden kalan kaçtır? A) 2x + 3 B) x + 5 C) –x + 6 D) 3x + 2 E) -2x – 5 P(1) = 5 ve P(-2) = 8 Şartlarını gerçekleyen şık doğru cevaptır. –x + 6 P(1) = -1 + 6 = 5 P(-2) = -(-2) + 6 = 8 olduğundan C) şıkkı doğru cevaptır.

24. SORU: P(x) polinomunun x – 1 ile bölümünden kalan 5, P(2) = 8 P(1) = 5 x – 2 ile bölümünden kalan 8 olarak veriliyor. Buna göre; P(x) polinomunun (x – 1). (x – 2) ile bölümünden kalan kaçtır? A) 2x + 5 B) 3x – 5 C) 5x + 1 D) 2x + 3 E) 3x + 2 P(1) = 5 ve P(2) = 8 Şartlarını gerçekleyen şık doğru cevaptır. 3x + 2 P(1) = 3 + 2 = 5 P(-2) = 6 + 2 = 8 olduğundan E) şıkkı doğru cevaptır.

25. SORU: P(x) polinomunun x + 2 ile bölümünden kalan 5, P(3) = 10 P(-2) = 5 x – 3 ile bölümünden kalan 10 olarak veriliyor. Buna göre; P(x) polinomunun x2 – x – 6 ile bölümünden kalan kaçtır? A) 3x + 11 B) x – 5 C) x + 5 D) x + 7 E) 3x + 1 P(-2) = 5 ve P(3) = 10 2 -3 (x – 3). (x + 2) Şartlarını gerçekleyen şık doğru cevaptır. x + 7 P(-2) = -2 + 7 = 5 P(3) = 3 + 7 = 8 olduğundan D) şıkkı doğru cevaptır. x2 – x – 6 = (x – 3). (x + 2)

26. SORU: P(x) polinomunun x ile bölümünden kalan 1, P(3) = 13 P(1) = 3 P(0) = 1 x – 1 ile bölümünden kalan 3, x – 3 ile bölümünden kalan 13 olarak veriliyor. Buna göre; P(x) polinomunun x.(x – 1).(x – 3) ile bölümünden kalan kaçtır? A) x2 + 3x + 11 B) x2 + x + 2 C) x2 + x + 1 D) 2x + 1 E) 3x2 – 4x + 1 Şartlarını gerçekleyen şık doğru cevaptır. P(0) = 1 P(1) = 3 P(3) = 13 C) x2 + x + 1 sağlar.

27. SORU: a) P(3x – 5) = 2x3 – 3x + 5 olarak veriliyor. Buna göre; P(x) polinomunun katsayılarının toplamı kaçtır? 2 2 2 P(x) polinomunun katsayılarının toplamı P(1) dir. P(3x – 5) = 2x3 – 3x + 5 3x – 5 = 1 3x = 6 x = 2 P(1) = 2.23 – 3.2 + 5 P(1) = 16 – 6 + 5 P(1) = 15 istenendir.

28. b) P(3x + 2) = x3 – 3x2 + 5x + 1 olarak veriliyor. Buna göre; P(2x + 9) polinomunun katsayılarının toplamı kaçtır? 3 3 3 3 P(2x + 9) polinomunun katsayılarının toplamı P(11) dir. P(3x + 2) = x3 – 3x2 + 5x + 1 P(11) = 33 – 3.32 + 5.3 + 1 P(11) = 27 – 27 + 15 + 1 P(11) = 16 istenendir.

29. c) P(3x – 6) = 8x2 – 3x + 6 olarak veriliyor. Buna göre; P(x) polinomunun sabit terimi kaçtır? 2 2 2 P(x) polinomunun sabit terimi dır. P(0) P(3x – 6) = 8x2 – 3x + 6 P(0) = 8.22 – 3.2 + 6 P(0) = 32 – 6 + 6 P(0) = 32 istenendir.

30. d) P(x – 5) = x5 – 7x – 5 olarak veriliyor. Buna göre; P(5x – 6) polinomunun sabit terimi kaçtır? -1 -1 -1 P(5x – 6) polinomunun sabit terimi dır. P(-6) P(x – 5) = x5 – 7x – 5 P(-6) = -1 + 7 – 5 P(-6) = 1 istenendir.

31. POLİNOMLAR TESTİ-1

32. 1) ifadesinin bir polinom olması için m nin alabileceği değerler toplamı kaçtır? A) 22 B) 18 C) 16 D) 11 E) 7 ÇÖZÜM: x lerin üsleri doğal sayı olmalı. m – 4 ≥ 0 7 – m ≥ 0 m ≥ 4 7 ≥ m m ≤ 7 Bu aralıklardaki doğal sayılar. {4 , 5 , 6 , 7} olup toplamları 22 dir.

33. 2) P(x) = ax2 + 2x2 + (4 – b)x + a + b polinomu sabit polinom olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır? A) 1 B) 2 C) 4 D) 5 E) 6 0 0 ÇÖZÜM: P(x) = ax2 + 2x2 + (4 – b)x + a + b (a + 2)x2 P(x) = + (4 – b)x + a + b sabit polinom ise x li terimler olmamalı x li terimlerin katsayılarını sıfır alarak halledebiliriz. a = -2 b = 4 olmalılar. 2 İstenen = a + b = olur. İki tane x2 olmaz. Teke indirmeliyiz. -2 4

34. 3) P(x) = (a + 2)x2 + (2b – 6)x + 3c + 12 polinomu sıfır polinom olduğuna göre, a + b + c toplamı kaçtır? A) -4 B) -3 C) -2 D) 1 E) 5 0 0 0 ÇÖZÜM: sıfır polinom ise P(x) = (a + 2)x2 + (2b – 6)x + 3c + 12 x lerde olmayacak sabitte olmayacak Bütün katsayıları ve sabit terimi sıfır alarak halledebiliriz. a = -2 b = 3 c = -4 olmalılar. -3 İstenen = a + b + c = olur. -2 3 -4

35. 4) P(x) = ax2 + 6x + bx + 8 Q(x) = 2x2 + ax – 3x + c P(x) = Q(x) olduğuna göre, a + b + c toplamı kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 ÇÖZÜM: P(x) = Q(x) 2x2 + ax – 3x + c ax2 + 6x + bx + 8 = ax2 + (6 + b)x (a – 3)x 2x2 + + 8 = + c İki tane x var.Teke indirmeliyiz. İki tane x var.Teke indirmeliyiz. a = 2 6 + b = a – 3 c = 8 6 + b = 2 – 3 3 6 + b = -1 İstenen = a + b + c = olur. 2 b = -7 8 -7

36. 5) Her x gerçel sayısı için, 2x2 + ax – 9 = (2x – 3).(bx + 3) olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır? A) 9 B) 5 C) 4 D) 2 E) 0 ÇÖZÜM: 2x2 + ax – 9 = (2x – 3).(bx + 3) 2bx2 – 3bx + 6x 2x2 + ax – 9 = – 9 2bx2 (6 – 3b)x – 9 2x2 + ax – 9 = + a = 6 – 3b -9 = -9 2 = 2b 1 a = 3 b = 1 4 İstenen = a + b = olur. 1 3

37. 6) A(x – 1) + B.(x + 3) = 2x + 14 olduğuna göre, B – A kaçtır? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 6 -3 -3 -3 1 1 1 + ÇÖZÜM: 2.YOL: 1.YOL: A(x – 1) + B.(x + 3) = 2x + 14 A(x – 1) + B.(x + 3) = 2x + 14 0 + B.4 = 16 x = 1 için; Ax – A Bx 2x + 14 + 3B + = 4B = 16 B = 4 (A + B)x + 3B – A 2x + 14 = -4A + 0 = 8 x = -3 için; A + B = 2 A + 4 = 2 -4A = 8 3B – A = 14 A = -2 A = -2 4B = 16 = 6 İstenen = B – A B = 4 olur. Bu değerler rasgele değil. 4 -2 = 6 İstenen = B – A A ve B nin katsayılarını sıfır yapan değerlerdir. olur. Hangisi daha kolay? 4 -2

38. 7) 5x – 2 B A = + x + 2 x – 4 x2 – 2x – 8 olduğuna göre, A + B kaçtır? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 5x – 2 B A = + x + 2 x – 4 x2 – 2x – 8 (x+2) (x-4) 4 -2 -2 4 4 -2 ÇÖZÜM: -4 2 A.(x + 2) + B.(x – 4) 5x – 2 = (x – 4).(x + 2) (x – 4).(x + 2) 5x – 2 = A.(x + 2) + B.(x – 4) -12 = 0 – 6B 2 = B x = -2 için 18 = 6A + 0 3 = A x = 4 için = 5 İstenen = A + B olur. 3 2

39. 8) P(x) = 2x2 + 5x + 3 Q(x) = 4x3 – 2x2 + 1 olduğuna göre, P(x).Q(x) çarpım polinomundaki x4 lü terimin katsayısı kaçtır? A) 24 B) 20 C) 16 D) 12 E) 10 (4x3 – 2x2 + 1) (2x2 + 5x + 3). Katsayısı 16 olur. ÇÖZÜM: P(x).Q(x) = -4x4 + 20x4 16x4 Başka yerden gelmez. Hangi terimlerin çarpımından x4 gelir? Bunları bulmalıyız.

40. 9) x3 + 5x + 42 x3 x + 3 -3x2 14x = 14 = x2 = -3x x x x ifadesinin en sade şekli nedir? A) x2 + 3x + 14 B) x2 – 3x + 14 C) x2 – x + 14 D) x2 + 5x + 14 E) x2 – 5x + 14 var aslında burda 0.x2 x3 + 5x + 42 x + 3 -3x2 14x cevaptır. ÇÖZÜM: Demek ki tam bölünme oluyor ki şıklar polinom şeklindedir. x2 x3 + 3x2 –3x O zaman normal bölme yaparak sonucu bulabiliriz. + 14 + 5x + 42 – 9x -3x2 0.x2 – 3x2 = -3x2 + 42 14x + 42 0 5x – (-9x) = 14x

41. 10) P(x) = x3 + 4x2 – 5x + m polinomunun çarpanlarından biri x + 2 ise, m kaçtır? A) -20 B) -18 C) -16 D) -14 E) -10 P(x) = (x + 2).Q(x) imiş. -2 -2 -2 -2 ÇÖZÜM: x + 2 bir çarpanı imiş. (x + 2).Q(x) x3 + 4x2 – 5x + m = Diğer çarpanın ne olduğu belli değil. alırsak sağ taraf sıfır olur ve bilinmeyen Q(x) den kurtuluruz. Diğer x lerede -2 yazmalıyız. -8 + 16 + 10 + m = 0 18 + m = 0 m = -18 olur.

42. 11) P(x) = x3 – 5x + a polinomunun bir çarpanı x + 2 ise, P(-1) kaçtır? A) -1 B) 0 C) 1 D) 2 E) 3 (x + 2). Q(x) – 2 -2 -2 -2 -2 ÇÖZÜM: P(x) = (x + 2). Q(x) imiş. x3 – 5x + a P(x) = x3 – 5x + a = -1 -1 -1 İstenen = P(-1) (-1)3 – 5(-1) – 2 = -8 + 10 + a = 0 -1 + 5 – 2 P(-1) = 2 + a = 0 P(-1) = 2 a = -2 olur.

43. 12) P(x – 2) = x2 + 3x + 4 olduğuna göre, P(x) polinomunun x + 3 ile bölümünden kalan kaçtır? A) -1 B) 0 C) 1 D) 2 E) 3 -3 burası -3 olur. ÇÖZÜM: P(-3) dür. P(x) polinomunun x + 3 ile bölümünden kalan = -1 -1 -1 P(x – 2) = x2 + 3x + 4 bunu sıfır yapan x değeri x – 2 = -3 = 2 (-1)2 + 3.(-1) + 4 1 – 3 + 4 = kalandır = P(-3) = x = -3 + 2 x = -1 x yerlerine ne yazarsak yazarsak bulunur. Bundan faydalanarak P(-3) ü bulalım.

44. 13) -13 -13 P(3x) = 12x – 13 3 3 olduğuna göre, P(x) polinomunun x + 13 ile bölümünden kalan kaçtır? A) -169 B) -156 C) -132 D) -91 E) -65 -13 -13 -13 3 3 4 ÇÖZÜM: P(-13) dür. P(x) polinomunun x + 13 ile bölümünden kalan = 3x = -13 P(3x) = 12x – 13 x = Burayı sıfır yapan x değeri -13 = -65 12. P(-13) = – 13 = -52 – 13 = kalandır olması için x ne olmalıdır? Bundan faydalanarak P(-13) ü bulalım.

45. 14) P(x – 1) = 4x2 – 10x + 7 olduğuna göre, P(x + 2) polinomunun sabit terimi kaçtır? A) 14 B) 13 C) 10 D) 8 E) 5 ÇÖZÜM: P(2) dir. P(x + 2) polinomunun sabit terimi = 0 3 P(x – 1) = 4x2 – 10x + 7 3 3 2 P(2) = 36 – 30 + 7 İçerdeki x yerine 0 yazınca sabit terim bulunmuş olur. P(2) = 13 istenendir. Bundan faydalanarak P(2) yi bulalım. olması için x değeri 3 seçilmelidir.

46. 15) P(x) = x3 – 6x2 – 7x + 9 olduğuna göre, P(x – 3) polinomunun katsayılar toplamı kaçtır? A) -9 B) -7 C) -2 D) 5 E) 10 ÇÖZÜM: P(-2) P(x – 3) polinomunun sabit terimi = dir. 1 P(x) = x3 – 6x2 – 7x + 9 -2 -2 -2 -2 P(-2) = -8 – 24 + 14 + 9 İçerdeki x yerine 1 yazınca katsayılar toplamı bulunmuş olur. P(-2) = -9 istenendir. Bundan faydalanarak P(-2) yi bulalım.

47. 16) P(x + 1) polinomunun katsayıları toplamı 7, P(x + 2) polinomunun sabit terimi 2a – 3 olduğuna göre, a kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 Bunlar da eşittir Bunlar eşit ÇÖZÜM: P(x + 1) polinomunun katsayıları toplamı = P(2) = 7 imiş. 1 P(2) = 2a – 3 P(x + 2) polinomunun sabit terimi = imiş. 0 2a – 3 = 7 2a = 10 a = 5 olur.

48. 17) P(x) polinomunun x + 1 ile bölümünden kalan -3, -1 1 Q(x) polinomunun x – 1 ile bölümünden kalan 2 dir. Buna göre, P2(x – 1).Q(x + 1) çarpım polinomunun x ile bölümünden kalan kaçtır? A) -18 B) -12 C) -6 D) 6 E) 18 0 P(-1) = -3 P(x) polinomunun x + 1 ile bölümünden kalan Q(x) polinomunun x – 1 ile bölümünden kalan Q(1) = 2 ÇÖZÜM: = 18 . 2 (-3)2 P2(x – 1).Q(x + 1) in x ile bölümünden kalan = P2(-1).Q(1) = olur. Burayı sıfır yapan değer 0 dır.

49. 18) P(x) ve Q(x) polinomlarının x – 2 ile bölümünden kalanlar sırasıyla 3 ve -2 dir. Buna göre, a nın hangi değeri için x.P(x) + a.Q(x) toplam polinomunun x – 2 ile bölümünden kalan 5 tir? A) 0,5 B) 1,5 C) 2 D) 2,5 E) 3 2 ÇÖZÜM: P(2) = 3 Q(2) = -2 imişler. x.P(x) + a.Q(x) in x – 2 ile bölümünden kalan = 2.P(2) + a.Q(2) = 5 imiş. 2 3 -2 6 – 2a = 5 1 = 2a a = 0,5 olur.

50. 19) P(x) = x4 – 3x3 – 4x2 Q(x) = x4 + x olduğuna göre, P(x) ve Q(x) polinomlarının en büyük ortak böleni nedir? A) x2 + x B) x3 + x2 C) x4 + 3x3 – 4x2 D) x2 + 1 E) x3 + 1 x2 (x + 1) (x + 1) x İkisi de aynı. Küçük olanı kendisidir. ÇÖZÜM: x2.( x2 – – P(x) = x4 – 3x3 – 4x2 = 3x (x – 4).(x + 1) x2. 4) = -4 1 x.( Q(x) = x4 + x x3 x (x + 1).(x2 – x + 1) x. 1) = = + Küpler toplamı açılımı var. Her iki polinomda artık çarpanlara ayrılamaz hale geldi. x .(x + 1) OBEB = Yani her ikisi de asal çarpanlarına ayrıldılar. OBEB = x2 + x Bize OBEB soruluyor. Başka ortak olan çarpan yok. Küçüğünü alcaz ya onun için x alındı. olur. İkisinde de ortak olan çarpanların küçükleri OBEB idi. Kimler bunlar. Bulalım.