1 / 34

Fraktálok

Fraktálok. Szirmay-Kalos László. Fraktálok. Hausdorff dimenzió. D= (logN) / (log 1/r). N= 1/r D. D= (log4) / (log 3) = 1.26. Koch görbe. N = 4, r = 1/3. Nem önhasonló objektumok dimenziója. Vonalzó ( l ) db l 1 r =1/3 N = 4 r 2 N 2 r m N m.

inga-blevins
Télécharger la présentation

Fraktálok

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Fraktálok Szirmay-Kalos László

  2. Fraktálok Hausdorff dimenzió D= (logN) / (log 1/r) N= 1/rD

  3. D= (log4) / (log 3) = 1.26 Koch görbe N = 4, r = 1/3

  4. Nem önhasonló objektumok dimenziója Vonalzó ( l ) db l 1 r =1/3 N = 4 r2 N2 rm Nm Hossz( l )= l db = l Nm = l (1/r D) m = = l (1/r m) D = 1/ l D -1 D = - log Hossz( l ) / log l + 1

  5. Dimenziómérés = hosszmérés log Hossz( l ) D-1 log l

  6. Fraktálok előállítása • Matematikai gépek: • Brown mozgás • Kaotikus dinamikus rendszerek

  7. Brown mozgás - Wiener féle sztochasztikus folyamat • Sztochasztikus folyamat (véletlen függvény) • Trajektóriák folytonosak • Független növekményű folyamat • Növekmények 0 várható értékű normális eloszlás: • a független növekményűségből, a szórás az intervallum hosszával arányos

  8. Brown mozgás alkalmazása

  9. Kaotikus dinamikus rendszer: nyulak kis C értékre Sn+1= C Sn(1-Sn)

  10. Kaotikus dinamikus rendszer:nyulak közepes C értékre

  11. Kaotikus dinamikus rendszer:nyulak nagy C értékre

  12. Pseudo véletlenszám generátor • Iterált függvény: • véletlenként hat rn+1= F(rn) F nagy derivált!

  13. Rossz: rn+1= F(rn) 1 1 1 1 1 1 1 (rn,rn+1) pairs 1

  14. Jó F • Sűrűn kitölti a négyzetet • Mindenütt nagy derivált • a [0, 1]-ben van periodicity Aperiodic length

  15. Kongruens generátor F(r) = { g ·r + c } g ·r+c tört része g nagy

  16. Kaotikus rendszerek a síkon F z = x + jy

  17. z z2 z = r e j r r2  2 divergens konvergens 1 Attraktor: H = F(H)

  18. Attraktor előállítása • Attraktor a labilis és a stabilis tartomány határa: kitöltött attraktor = amely nem divergens • zn+1= zn2 : ha z<  akkor fekete • Attraktorhoz konvergálunk, ha az stabil • zn+1= zn2 attraktora labilis

  19. Inverz iterációs módszer H = F(H) H = F-1 (H) zn+1= zn2 zn+1=  zn rn+1= rn n+1= n/2 + {0,1}· rn 1 n  {0,1}.{0,1}{0,1}... · 1 n n-1 n-2 Nem lehet csak egy értékkel dolgozni ???

  20. Julia halmaz: z z2 + c

  21. Kitöltött Julia halmaz: algoritmus Im z (X,Y) FilledJuliaDraw ( ) FOR Y = 0 TO Ymax DO FOR X = 0 TO Xmax DO ViewportWindow(X,Y  x, y) z = x + j y FOR i = 0 TO n DO z = z2 + c IF |z| > “infinity” THEN WRITE(X,Y, white) ELSE WRITE(X,Y, black) ENDFOR ENDFOR END Re z

  22. Kitöltött Julia halmaz: kép

  23. Julia halmaz inverz iterációval Im z (X,Y) JuliaDrawInverseIterate ( ) Kezdeti z érték választás FOR i = 0 TO n DO x = Re z, y = Im z IF ClipWindow(x, y) WindowViewport(x, y  X, Y) Pixel(X, Y) = fekete ENDIF z =  z - c if (rand( ) > 0.5) z = -z ENDFOREND Re z Kezdeti z érték: z2 = z - c gyöke

  24. Julia halmaz nem összefüggő, Cantor féle halmaz összefüggő

  25. Julia halmaz összefüggősége H-c H c H-c H c zn+1=  zn-c

  26. Mandelbrot halmaz Azon c komplex számok, amelyekre a z z2 + c Julia halmaza összefüggő

  27. Mandelbrot halmaz, algoritmus MandelbrotDraw ( ) FOR Y = 0 TO Ymax DO FOR X = 0 TO Xmax DO ViewportWindow(X,Y  x, y) c = x + j y z = 0 FOR i = 0 TO n DO z = z2 + c IF |z| > “infinity” THEN WRITE(X,Y, white) ELSE WRITE(X,Y, black) ENDFOR ENDFOR END

  28. „Matematikát kijátszó” Mandelbrot halmazok

  29. Inverz feladat: IFS modellezés F x, y HF Attraktor: H = F(H) F: szabadon vezérelhető, legyen stabil attraktora

  30. F: többértékű lineáris leképzés F = W1W2 … Wn W(x,y) = [ax + by + c, dx + ey + f] H = W1(H)  W2 (H)  … Wn(H) Stabilitás = kontrakció H = F(H)

  31. IFS rajzolás: iterációs algoritmus IFSDraw ( ) Legyen [x,y] = [x,y] A1 + q1 megoldása a kezdő [x,y] FOR i = 0 TO n DO IF ClipWindow(x, y) WindowViewport(x, y  X, Y) Write(X, Y, color); ENDIF Válassz k-t pk valószínűséggel [x,y] = [x,y] Ak + qk ENDFOREND y (X,Y) x Wk

  32. Egyszerű IFS-ek

  33. IFS modellezés

  34. IFS képek

More Related