Kolmion ominaisuuksia 1

1. Kolmion ominaisuuksia 1 Lause1: Kolmion kulmain summa on 180 astetta. Oletus: Kolmio ABC, jossa kulmat a, b ja g. a B Väitös: Kulmain summa on 180 astetta a´ b´ Todistus: Piirretään huipun B kautta kannan AC suuntainen suora. g Jatketaan kylkeä AB, jolloin suoran ja jatkeen välinen kulma on a kärjessä A olevan kulman kanssa samankohtaisena kulmana. a b Ristikulmina a = a´. C A Samoin osoitetaan että b = b´. Suoran alapuolen pisteessä B täyttävät nyt kulmat a, b ja g jolloin niiden summa on 180 astetta. M.O.T. B b Lause 2: Kolmion kahden kulman summa on yhtä suuri kuin kolmannen vieruskulma. Oletus: Kolmio ABC jonka kulmat ovat a, b ja g. a g Väitös: Kulma BCD = a + b. D A C Todistus: Koska kolmion kulmain summa = 180 astetta ja kulma BCD + g on myös yhtä paljon, täytyy a + b = kulma BCD. M.O.T. Suurin kulma Pienin kulma Lyhyin sivu Kolmiossa suurinta kulmaa vastaa pisin sivu ja pienintä kulmaa vastaa lyhyin sivu Pisin sivu

2. Lause 3: Kolmion kahden sivun keskipisteiden yhdysjana on kolmannen sivun suuntainen ja puolet sen pituudesta B Oletus: Kolmio ABC, jossa D on sivun AB keskipiste ja E vastaavasti sivun BC. D E Väitös: DE on saman suuntainen kuin AC ja DE = ½ AC. Todistus: Kolmio DBE ja alkuperäinen kolmio ABC ovat yhdenmuotoisia, koska C A 1. Kulma B on molemmille kolmioille yhteinen. Mittakaava k = ½, joten DE = ½ AC ja kulmien yhtä suuruudesta seuraa yhdensuuntaisuus. 2. BD = ½ AB ja BE = ½ BC oletuksen mukaan. SKS:n mukaan kolmiot yhdenmuotoisia. Yhdensuuntaiset leikkaajat: M.O.T. O punaiset suorat yhdensuuntaisia Janan jakaminen osiin: x a 1) Piirretään A.n kautta suora. a y b 2) Erotetaan suorasta yhtä pitkiä osia niin monta kuin janan osia tulee olla. a a c z a B A L L 1 2 4) Koska apujanojen suhde on 1 on sitä myös AB:n osien suhde ja saadut osat Jos yhdensuuntaiset suorat jakavat suoran L osiin joiden suhde on a:b:c on L osien x, y ja z suhde sama. 3) Yhdistetään viimeisen päätepiste B:en ja piirretään samansuuntaiset suorat apujanojen päätepisteiden kautta 1 2 Todistus perustuu yhdenmuotoisiin kolmioihin samalla tavalla kuin lauseen 3 todistuksessa.