§3-3 晶格振动量子化与声子

1. §3-3 晶格振动量子化与声子 问题的提出： 在简谐近似下，晶体中存在3NS个独立的简谐格波，晶体中任一原子的实际振动状态由这3NS个简谐格波共同决定，那么，晶格振动的系统能量是否可表示成3NS个独立谐振子能量之和？

2. 一、晶格振动和谐振子 1．系统能量的普遍表示 一维单原子链中，平衡时距原点为na的原子，t时刻的绝对位移是q所有可能的N个值的特解的线性叠加： 2

3. 其中Aq（t）＝Aqe-iωt。按经典力学系统的总能量为动能和势能之和：其中Aq（t）＝Aqe-iωt。按经典力学系统的总能量为动能和势能之和： 该表示式中有（Un+1×Un）的交叉项存在，对建立物理模型和数学处理都带来困难。用坐标变换的方法 消去交叉项。

4. 2．坐标变换（变量置换） 设 （3－51） 式中Qq(t)称为简正坐标，容易证明： （3－52）

5. 证明要点：q=q’时，显然成立；q≠q’时，为等比级数求和，即可证。 由式（3－51），（3－52）可得证明要点：q=q’时，显然成立；q≠q’时，为等比级数求和，即可证。 由式（3－51），（3－52）可得 （3－51’） （3－53） （3－53’）

6. 3．系统能量的重新表示 由式（3－51）～（3－53’）可得系统势能 (3-54’) 式中ω2q = 不含交叉项了。（请同学们自行推导）

7. 类似地，系统的动能也可写为 于是系统总能量可写成不含交叉项的标准式： (3-56)

8. 复习： 经典谐振子能量 E＝T＋W＝ m + kx2 , 所以（3－56）式相当于m=1, k=ωq2的以Qq为自变量的谐振子能量。 可见 由N个原子组成的一维单原子晶体有N个格波，其晶格振动能量可看成N个谐振子的能量之和。

9. 二 、能量量子和声子（量子力学修正）把上述经典谐振子的能量用量子力学的结果来表示。量子力学告诉我们，频率为的谐振子，其能量为 n=0,1,2…… （3－57）

10. 这表明谐振子处于不连续的能量状态。 当n＝0时，它处于基态，E0＝ ,称为零点能。 相邻状态的能量差为,它是谐振子的能量量子，称它为声子， 正如人们把电磁辐射的能量量子称为光子一样。

11. 3NS个格波与3NS个量子谐振子一一对应 因此式（3－57）也是一个频率为ω的格波的能量。 频率为ωi(q)的格波被激发的程度，用该格波所具有的能量为ωi (q)的声子数n的多少来表征。

12. 讨论 1.声子是玻色子 一个模式可以被多个相同的声子占据，ω和q相同的声子不可区分，自旋为零。满足玻色统计。 除碰撞外，不考虑它们之间的相互作用，则可视为近独立子系，则玻色统计与玻尔兹曼统计一致。

13. 2.平衡态声子是非定域的 3.声子是一种准粒子 对等温平衡态，格波是非定域的，声子属于格波，所以声子也是非定域的，它属于整个晶体. 粒子数不守恒，例如温度升高后声子数增加。声子与声子，声子与其它粒子、准粒子互作用，满足能量守恒。

14. 4.准动量选择定则 ω(q)= ω(q+ Gh) 例: 二声子作用 q1＋q2＝q3＋Gh简写成： q1＋q2＝q3＋Gh 不具有通常意义下的动量，常把q称为声子的准动量。准动量的确定只能准确到可以附加任何一个倒格矢Gh

15. 三.平均声子数 各个格波可能具有不同的声子数，在一定温度的热平衡态，一个格波的平均声子数有多少呢？ 由于声子间相互作用很弱，除了碰撞外，可不考虑它们之间的相互作用，故可把声子视为近独立子系，这时玻色－爱因斯坦统计与经典的玻尔兹曼统计是一致的。

16. 在确定的温度T下，频率均为ω的N个格波的平均能量在确定的温度T下，频率均为ω的N个格波的平均能量 其中：N—频率为ω的格波总数， （并不是晶体的格波总数） Nn—频率为ω，能量为En(即声子数为n)的格波数， 能量为 的声子在同ω的格波间均可存在，某一ω的格波具有声子数n的状态，满足一定的几率分布。可理解为声子在格波间可跳跃。

17. Nn/N：温度为T、频率为ω、能量为En(即n为某确定值)的格波出现的几率，由玻尔兹曼统计Nn/N：温度为T、频率为ω、能量为En(即n为某确定值)的格波出现的几率，由玻尔兹曼统计 其中：分母为配分函数 gn：能量为En的相格数，即能量En的简并度。 设： gn＝1

18. 其中，由（3－57）

19. 因为

20. ＋kBT2 • 利用等比级数求和公式、求导、整理可得 （3－58） （3－58‘)

21. 其中 （3－59) 意义： 频率为ω的格波温度为T时的平均声子数。 当 ＝kBT时， ≈0.6,定性地讲，此格波已激发，以此为界，温度为T时，只有ω≤kBT的格波才能被激发。