Wykład 27

1. Wykład 27 11.12 Efekt Dopplera 11.12.1 Znaczenie ośrodka 11.12.2 Efekt Dopplera w relatywistyce 11.13 Prędkości naddźwiękowe Reinhard Kulessa

2. 11.12 Efekt Dopplera Jeżeli źródło emitujące falę oraz obserwator znajdują się względem siebie w ruchu, obserwator zaobserwuje falę o częstości zmienionej zm w stosunki do częstości emitowanej przez źródło z. Taką zmianę częstości możemy często zauważyć w ruchu ulicznym np. w czasie przejeżdżania obok nas karetki na sygnale. Dla fal dźwiękowych efekt ten został po raz pierwszy zauważony przez Christiana Dopplera 1842 r. Doppler wynajął na dwa dni pociąg towarowy i grupę trębaczy z wiedeńskiej orkiestry. Połowę muzyków umieścił w pociągu, a drugą na stacji. Obydwie grupy trąbiły w tej samej tonacji. Muzycy byli oczywiście w stanie określić wysokość słyszanego dźwięku. Reinhard Kulessa

3. Przy obliczeniach różnicy częstości musimy rozróżnić następujące przypadki; ruch obserwatora, ruch źródła fal, oraz równoczesny ruch źródła i obserwatora. Ruch oznacza tu w każdym przypadku ruch względem ośrodka w którym rozchodzi się fala. Przyjmijmy następujące oznaczenia, u -- prędkość rozchodzenia się fali vzr -- prędkość źródła, vob -- prędkość obserwatora, f0 -- częstość fali emitowanej przez źródło, fob -- częstość fali odbieranej przez obserwatora 0 -- długość fali wysyłanej przez źródło ob -- długość fali obserwowanej Użyjmy dla częstości oznaczenia f dla lepszego odróżnienia od prędkości v Reinhard Kulessa

4. vob Rozważmy kilka przypadków: I. vzr = 0, vob0 Fale będą dochodziły do obserwatora z prędkością równą sumie prędkości obserwatora i prędkości fali. Czas pomiędzy dwoma kolejnymi wierzchołkami fal który zmierzy obserwator będzie równy; . Reinhard Kulessa

5. Częstość fali , którą odbiera obserwator wynosi więc; . (11.34) Wykorzystaliśmy tutaj zależność, że 0 =u/f0 . Obserwatora, który oddala się od źródła zaobserwuje częstość; (11.35) . II. vob = 0, vzr< 0, vzr> 0 W tym przypadku obserwator spoczywa, a źródło fal przybliża się do, lub oddala się od obserwatora. Reinhard Kulessa

6. 0 ob u vzr O vzr Tzr Źródło porusza się z prędkością vzr ,emituje falę pierwotną o częstości f0 , która porusza się z prędkością u. Dwa wierzchołki fali są generowane w odstępie czasowym T0=1/ f0 . W międzyczasie źródło przebywa drogę T0 vzr. Odległość pomiędzy dwoma wierzchołkami będzie więc . Reinhard Kulessa

7. Czas pomiędzy dwoma wierzchołkami fali docierającymi do obserwatora będzie więc różnił się o . Otrzymamy więc na częstość odbieraną przez obserwatora wyrażenie; . (11.36) • ruch w stronę obserwatora • + ruch od obserwatora Reinhard Kulessa

8. vzr vob III. vob  0, vzr 0 W tym przypadku mamy do czynienia z czterema możliwościami. Załóżmy, że zarówno źródło fali, jak i obserwator poruszają się w tum samym kierunku. Możemy znaleźć częstość fal odbieranych przez obserwatora bazując na dwóch już znanych przypadkach. Reinhard Kulessa

9. Wskutek ruchu źródła długość emitowanej przez nie fali zmienia się . Częstość fali widziana przez oddalającego się obserwatora wynosi (patrz I); . długość zmieniona przez ruch źródła Otrzymamy więc; . Na obserwowaną w tym przypadku częstość otrzymujemy; Reinhard Kulessa

10. źródło obserwator . (11.37) Poniższa tabela pokazuje wszystkie cztery możliwości. Reinhard Kulessa

11. vzr zr ob vob IV . Ruch pod kątem Do tej pory rozważaliśmy przypadki, w których źródło fal i obserwator poruszali się względem siebie po jednej prostej. Tak jednak nie zawsze musi być. W takim przypadku bierzemy składowe równoległe prędkości do kierunku łączącego źródło z obserwatorem. Reinhard Kulessa

12. (11.38) . 11.12.1 Znaczenie ośrodka Stwierdziliśmy w rozważanych przypadkach, że dla efektu Dopplera istotne jest, czy porusza się źródło fal, czy obserwator. Pamiętamy, że fale np.; głosowe rozchodzą się w powietrzu. Powietrze to jest dla nas wzorcem względem którego wyznaczamy prędkość źródła i obserwatora. Jeżeli wieje wiatr, musimy to uwzględnić w naszych rozważaniach. Rozważmy przypadek ruchomego obserwatora i stałego wiatru. Reinhard Kulessa

13. Wiatr vw vob obserwator źródło Na częstość fali którą zarejestruje obserwator uzyskamy wartość; (11.39) . Reinhard Kulessa

14. 11.12.2 Efekt Dopplera w relatywistyce Wiemy, że dla fal elektromagnetycznych wzory (11.34),(11.35) i (11.36) nie mogą być zastosowane. Dla fal elektromagnetycznych nie istnieje ośrodek w którym rozprzestrzenia się fala (brak „eteru”). Wobec tego przypadki ruchomego źródła i ruchomego obserwatora są nierozróżnialne. Wymienione równania muszą zostać zastąpione przez wyrażenie, w którym wystąpi jedynie względna prędkość pomiędzy źródłem a obserwatorem. Rozpatrzmy następujący przykład. Mamy źródło promieniowania elektromagnetycznego np. nadajnik radarowy, który spoczywa w początku układu współrzędnych U. Obserwator oddala się wzdłuż osi x z prędkością v od tego źródła. Źródło, wysyła impulsy w regularnych odstępach czasowych , które biegną z prędkością światła c. Reinhard Kulessa

15. t x = c(t - ) (x2, t2) Impuls 2 Źródło w czasie t x=c · t (x1, t1) t =  Impuls 1 Obserwator ruchomy x = x0 + v · t x O x0 Obserwator spoczywający w układzie U zaobserwuje impulsy radarowe w odstępach czasowych . Jaką częstość obserwuje poruszający się obserwator? Reinhard Kulessa

16. Otóż; • Różnica czasu pomiędzy obserwacją dwóch impulsów • przez obserwatora w układzie U jest równa t2 – t1. • Z matematycznych warunków na punkty przecięcia • (x1, t1) i (x2, t2) mamy; . Z równań tych otrzymujemy; . Reinhard Kulessa

17. Tę samą różnicę czasową obserwator w układzie • ruchomym U’ zmierzy jako; . Po wstawieniu wyliczonych powyżej wartości, otrzymujemy; . Reinhard Kulessa

18. Po krótkich przekształceniach otrzymujemy . Częstość, z którą ruchomy obserwator odbiera sygnały jest równa; , czyli . (11.40) Reinhard Kulessa

19. y y’ P v  x x’ O  O’ Rozważaliśmy szczególny przypadek efektu Dopplera, kiedy obserwator odbiera falę ze źródła oddalającego się od niego wzdłuż osi x. W ogólnym przypadku fala świetlna o częstości drgań ’wysłana ze źródła O’ spoczywającego w układzie U’, który porusza się z prędkością v względem układu U wzdłuż osi Ox, może docierać do obserwatora O spoczywającego (w punkcie P) w układzie U pod kątem  względem kierunku ruchu źródła O’. Obserwator w punkcie P zmierzy następującą częstość ’ fali świetlnej; . Prześledźmy krótko własności relatywistycznego przesunięcia dopplerowskiego. Reinhard Kulessa

20. Dla  = 00 źródło i obserwator zbliżają się do siebie. Częstość obserwowanej fali ulega przesunięciu ku fioletowi. • Dla  = źródło i obserwator oddalają się od siebie. Mamy wtedy do czynienia z przesunięciem ku czerwieni. • Dla kątów  = /2, 3/2 mamy do czynienia z poprzecznym relatywistycznym efektem Dopplera. Nie ma on odpowiednika w mechanice klasycznej. . Przesunięcie ku czerwieni widm odległych galaktyk definiujemy jako; . Zależność pomiędzy prędkością galaktyk v a ich odległością r jest następująca; , gdzie H jest stałą Hubble’a i H  (75 km/s)/Mpc, 1Mpc = 3.086·1022 m. Wiadomo również, że . Reinhard Kulessa

21. Czoło fali vzr 11.13 Prędkości naddźwiękowe Powróćmy do rozchodzenia się dźwięku i zastanówmy się co dzieje się gdy prędkość źródła dźwięku vzr jest równa prędkości dźwięku u. Powstaje wtedy fala uderzeniowa. Następuje kumulacja energii na czole fali. Natężenie rośnie do . Przykład ---- lecący pocisk o prędkości vzr= 1.01 u. Reinhard Kulessa

22. F/A Hornet przekraczający Barierę dźwięku Reinhard Kulessa

23. vzr vzr T Kiedy obiekt emitujący dźwięk ma prędkość większą od prędkości rozchodzenia się dźwięku, płaskie czoło fali uderzeniowej zmienia się w stożek. Również energia koncentruje się na powierzchni Stożka. Połowa kąta rozwarcia stożka jest dana przez; . M jest nazwane liczbą Macha. Świetlne fale uderzeniowe również istnieją w ośrodkach o współczynniku załamania n >1 co zmniejsza prędkość światła w stosunku do tej w próżni. Powstające świetlne fale uderzeniowe nazywamy promieniowaniem Cerenkova. Reinhard Kulessa