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第 2 章 计算机图形处理技术. 2.2.3 三维图形的几何变换 一、基本变换 三维图形的几何变换与二维图形类似,其基本变换也包括平移变换、比例变换、旋转变换、对称变换、错切变换等,同时通过基本变换的组合可以实现复杂变换。 1 、平移变换 平移变换是使立体在三维空间移动一个位置,而形状保持不变。与二维平移变换相类似,平移变换矩阵为:. 其中, l , m , n 分别为沿 x , y , z 方向上的平移量。. 2 、 比例变换
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2.2.3三维图形的几何变换 一、基本变换 三维图形的几何变换与二维图形类似,其基本变换也包括平移变换、比例变换、旋转变换、对称变换、错切变换等,同时通过基本变换的组合可以实现复杂变换。 1、平移变换 平移变换是使立体在三维空间移动一个位置,而形状保持不变。与二维平移变换相类似,平移变换矩阵为: 其中,l,m,n分别为沿x,y,z方向上的平移量。
2、比例变换 比例变换使立体在三维空间中沿x、y、z坐标轴进行放大、缩小等变换。比例变换矩阵为: 其中,a,e,j分别为沿x,y,z方向的比例因子。它们的作用是使物体产生比例变换,当各变比相同时,称为全比例变换。
3、旋转变换 三维图形旋转变换是指空间物体绕某坐标轴旋转,三维变换可以看成是由三个二维旋转变换组合而成,并分别取x,y,z为旋转轴。我们规定在右手坐标系中,物体旋转的正方向为右手螺旋方向,即从该轴向原点看,是逆时针方向。如图所示。
(1)绕x轴正向旋转 角 变换矩阵为 (2)绕y轴正向旋转 角 变换矩阵为
(3)绕z轴正向旋转 角 变换矩阵为 立体分别绕x、y、z轴旋转90的变换结果如图所示。 (a)原图 (b)绕x轴旋转90度 (c)绕y轴旋转90度 (d)绕z轴旋转90度
4、对称变换 对称变换包括对坐标原点,对坐标轴和对坐标平面的对称,下面主要介绍立体对坐标平面的对称变换。 (1)对xOy坐标平面的对称变换 变换矩阵为
(2)对xOz坐标平面的对称变换 变换矩阵为 (3)对yOz坐标平面的对称变换 变换矩阵为
5、错切变换 与二维空间的错切变换功能相似,三维空间的错切变换可使空间立体上某个面沿x、y、z三个方向发生错移变形,其变换矩阵一般表示为 根据这些元素所在的列,判断出沿哪个坐标轴发生错切。若d、h不为0,则沿x轴方向有错切;若b、i不为0,则沿y轴方向有错切;若c、f不为0,则沿z轴方向有错切。我们还可以根据这些元素所在的行,判断出是关于哪个变量的错切。比如,b、c是关于变量x的错切;d、f是关于 变量y的错切;h、i是关于变量z的错切。错切变 换按错切方向的不同,可有6种情况,即分别沿 x、y、z的正、负方向错切。(书P81表4-1)
二、逆变换 所谓逆变换即是与上述的基本变换过程相反的变换,如以三维图形的逆变换为例,对平移的逆变换就是把 移回到原处 。其矩阵表达式为: 对x轴旋转的逆变换是用- 代替 ,所产生的变换为: 其他一些几何变换的逆变换与此类似, 再此不再一一介绍。
三、三维图形的组合变换 与二维组合变换一样,通过三维组合变换可以实现对三维物体的复杂变换。下面我们以绕任意轴旋转变换为例进行说明。 假设空间任意轴P1P2由A(x1,y1,z1)及其方向数(n1,n2,n3)定义,空间一点A(x,y,z)绕轴P1P2旋转 角,得到新点A*(x*,y*,z*),即 其中,T为绕任意轴旋转的组合变换矩阵,构造矩阵T的步骤如下:
(1) 将点A与旋转轴P1P2一起作平移变换,使旋转轴 P1P2过原点, P1与原点重合。
(2) 令P1P2轴首先绕x轴旋转 角,使其与xOz平面共面,然后再绕y 轴旋转 角,使其与z轴重合。
(3) 将A点绕z轴(即P1P2轴)旋转 角。 (4) 求步骤(2)和步骤(1)的逆变换,将旋转轴AA’恢复为原来的位置。那么,绕任意轴P1P2旋转的组合变换矩阵为 T=T1T2T3T2-1T1-1
例4:已知一立方体A(1,1,1),B(1,1,0),C(0,1,0),D(0,1,1),试写出该立方体例4:已知一立方体A(1,1,1),B(1,1,0),C(0,1,0),D(0,1,1),试写出该立方体 • 绕y轴顺时针旋转90度的变换矩阵; • 绕x轴逆时针旋转180度的变换矩阵; • 变换后A点的坐标。
解:(1)、绕Y轴顺时针旋转 (2)、绕X轴逆时针旋转
(3)、变换后坐标 则变换后A点的坐标为:
四、投影变换 投影就是从投影中心发出射线,经过三维物体上的每一点后,与投影平面相交所形成的交点集合,这个集合又称为三维物体在二维投影平面上的平面几何投影(简称投影)。 根据投影中心与投影平面的距离,投影可分为平行投影、透视投影。当投影中心(射线源)与投影平面的距离为有限时,则投影为透视投影;若此距离为无穷大,则投影为平行投影。平行投影的一个特点是投影线彼此平行,当投影线垂直于投影平面时,为正平行投影;否则为斜平行投影。透视投影的特点是投影线彼此成放射状照射四周空间,正透视投影要求存在一条投影中心线垂直于投影平面,且要求其他透视线对称于投影中心线,否则为斜透视 投影。
透视投影的图形与眼睛观察景物的原理及效果是一致的,因而常用于图形的真实效果显示。由于平行投影后直线间的平行关系不变,因而它常用于三维图形交互和生成工程图的视图。透视投影的图形与眼睛观察景物的原理及效果是一致的,因而常用于图形的真实效果显示。由于平行投影后直线间的平行关系不变,因而它常用于三维图形交互和生成工程图的视图。
本课程只介绍正投影中的三面视图及正轴侧投影中的正等轴侧投影。本课程只介绍正投影中的三面视图及正轴侧投影中的正等轴侧投影。 在机械设计图中经常用来表达物体形状的三面视图即主视图、俯视图、侧视图均属于正投影。工程制图中的正投影就是按平行正投影绘制的,它取物体的主要坐标轴方向(长、宽、高方向)作为投影方向。它的特点是物体的投影能反映实形,即能直接反映物体在投影面方位的尺寸大小。
(一)正投影 1、三面投影
(1)V面投影 它的投影线与y轴平行,投影平面为xOz平面(V面),即y=0,它的变换矩阵为: (2)H面投影 投影线与z轴平行,投影平面为xoy平面(H面),即z=0,变换矩阵为:
(3)、W面投影 投影线与x轴平行,投影平面为yoz平面(W面),即x=0,变换矩阵为: 2、三面投影的展开 在机械制图中,获得三面投影图后,还需将它们展开,得出在同一平面上的三面视图。变换过程为:
V面投影图保持不变,即主视图。H面投影图绕x轴顺时针旋转90度,可得到与xOz平面重合的视图,为了保持与主视图有一定的距离,再沿z轴的负方向平移zp得到俯视图。W面投影图绕z轴逆时针旋转90度,得到与xOz平面重合的视图。为了保持与主视图之间的距离,再沿x轴负方向平移xp距离得到左视图。 因此三面投影的展开图应该是投影变换矩阵、旋转变换矩阵和平移变换矩阵三者的复合变换。
(1) 主视图。 又称前视图、正视图、正面投影等。它的变换矩阵为 (2)俯视图。又称平面图、水平投影。
(3)侧视图。又称左视图、侧面投影。 根据上述三个视图的变换矩阵,即可根据一个三维物体的各角点的坐标值,获得它的三视图的顶点的坐标,生成三视图。例如立体A,其主视图的各点坐标值为: A*=A 从上述视图的变换矩阵中发现,第二列元素均为0,即变换后y均为0,这是由于变换后三个投影均落在XOZ平面内。
其俯视图的各点坐标值为: A*=A 其侧视图的各点坐标值为: A*=A
(二)正轴侧投影 正轴测投影图产生的过程如下图所示:将图(a)中所示的立方体直接向V面投影,得到(b)图;将立方体绕z轴正转 角,再向V面投影,得到(c)图;将立方体先绕z轴逆时针旋转 角,再绕x轴顺时针旋转 角,然后向V面投影。得到(d)图,即立方体的正轴测投影图。 • (a) (b) (c) (d)
在上式中,只要给 、 不同的值,就可得到不同的正轴测投影图。 可以证明当 , 为正等轴侧投影,代入矩阵中得到正等轴测投影变换矩阵为
(三)透视投影变换 透视图是采用中心投影法得到的图形,即通过投影中心(视点),将空间立体投射到二维平面(投影面)上产生的图形。具有真实感的效果,近大远小。 一般变换矩阵中,p、q、r为透视参数。赋给它们非零数值将产生透视效果。
作业: • 已知一四棱锥A(1,0,1),B(1,0,0),C(0,0,0),D(0,0,1),试写出该四棱锥 • 绕y轴顺时针旋转90度的变换矩阵; • 绕x轴逆时针旋转180度的变换矩阵; • 变换后A、B、C、D各点的坐标。
解:(1)、绕y轴顺时针旋转 (2)、绕x轴逆时针旋转
(3)、 则变换后A、B、C、D各点的坐标分别为: (-1,0,-1)、(0,0,-1)、(0,0,0)、(-1,0,0)