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ANALYSE CEPSTRALE

ANALYSE CEPSTRALE. Définitions et applications . ANALYSE CEPSTRALE contenu. Annulation d ’écho Définitions cepstre de puissance cepstre complexe propriétés Quelques applications mesures de fonction de transfert et de coefficient de réflexion annulation d ’échos

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  1. ANALYSE CEPSTRALE Définitions et applications notes de cours Analyse Cepstrale

  2. ANALYSE CEPSTRALEcontenu • Annulation d ’écho • Définitions • cepstre de puissance • cepstre complexe • propriétés • Quelques applications • mesures de fonction de transfert et de coefficient de réflexion • annulation d ’échos • analyse des vibrations d ’engrenages notes de cours Analyse Cepstrale

  3. ANALYSE CEPSTRALEle problème de l ’annulation d ’échos • x(t)= s(t) + sr(t) • s(t) son direct , sr(t) son réfléchi • le problème de l ’annulation d ’échos • comment extraire s(t) de x(t), i.e, supprimer l ’écho ? notes de cours Analyse Cepstrale

  4. Signal + Echoformulation du problème • Hypothèses simplificatrices • la réflexion ne génère qu ’un retard et une atténuation • sr(t)= a0.s(t-t0) • x(t)=s(t)+a0.s(t-t0) • Dans le domaine fréquentiel notes de cours Analyse Cepstrale

  5. s(t) a0s(t-t0) [X(f)]2 Signal + Echoillustration • Domaine temporel • Domaine fréquentiel t0 notes de cours Analyse Cepstrale

  6. Signal + Echopropriétés de la phase Imag 1 Réel 2.pi.f.t0 notes de cours Analyse Cepstrale

  7. t Signal + EchoEffet du logarithme • On prend le « Log » pour rendre additif l ’effet de l ’écho • On en prend la Transformée de Fourier (inverse) f notes de cours Analyse Cepstrale

  8. Le cepstrePlusieurs définitions • Cepstre de puissance: • Cepstre complexe: notes de cours Analyse Cepstrale

  9. Cepstre de puissancePropriétés • Cx() = [TF-1(Ln(Sxx(f))]2 • fréquence  temps • relation avec la fonction d ’autocorrélation • R()=TF-1 (Sxx(f)) • Sxx(f) est réel et pair •  le CEPSTRE DE PUISSANCE EST REEL, PAIR notes de cours Analyse Cepstrale

  10. Cepstre complexePropriétés • Cx() = TF-1[Ln(X(f)] • X(f)=XRéel(f) + j.XImag(f)=[X(f)].ej(f) • Ln(X(f))=Log[X(f)] + j. (f) • x(t) est réel  Xréel pair et Ximag impair •  (f) est impair • [X(f)] est pair  Ln [X(f)] est pair • le CEPSTRE COMPLEXE EST REEL ET CAUSAL notes de cours Analyse Cepstrale

  11. 2 1 1 Cepstres de puissance et complexeCas de signaux à minimum de phase • Soit x(t) , X(f) = TF(x(t)) = [X(f)].ej(f) • x(t) à minimum de phase  H{ln[X(f)]}= (f) • Cx() = TF-1 { Ln (X(f))} = Ln[X(f)] + j. (f) • Cx() est réel et causal (>0) • c ’est la somme d’une partie paire et d ’une partie impaire • TF-1{Ln[X(f)2]} est la partie paire, • ie, le cepstre de puissance • TF-1{(f)} est la partie impaire, • ie, le cepstre de phase notes de cours Analyse Cepstrale

  12. f Cepstre complexeRedéploiement de la phase • Cx() = TF-1 { Ln (X(f)) } = Ln[X(f)] + j. (f) • pour évaluer (f), on obtient une fonction variant entre - et +  , qu ’il est nécessaire de « redéployer » (Unwrapping) • (f) doit être une fonction continue en f. Il existe des algorithmes dédiés (algorithmze de Triboulet 1977) notes de cours Analyse Cepstrale

  13. Cepstre Propriétés, application à la déconvolution • Système linéaire • temps : y(t)=h(t)*x(t) produit de convolution • fréquence : Y(f)=H(f).X(f) produit • cepstre : Cy() = Ch() + Cx() somme (du fait du Log!) • d ’où les applications de déconvolution pour séparer x (t) (l ’entrée) de h(t) (le milieu) • annulation d ’échos, • identification des sources (sismique, etc..) x(t) y(t) h(t) notes de cours Analyse Cepstrale

  14. t t Déconvolution via le cepstreExemple de l ’annulation d ’échos • x(t)=s(t)+a0.s(t-t0), X(f)=S(f)[1+a0.e-2jft0] • cx(t) = cs(t) +TF-1{Ln(1+a02+2a0.cos(2 ft0)} • on « liftre »  cs(t) • S(f)= TF{exp(cs(t))} et s(t)=TF-1{S(f)} • remarque: • le processus de reconstruction suppose les signaux à minimum de phase notes de cours Analyse Cepstrale

  15. Cepstre complexeExemple d ’annulation d ’échos notes de cours Analyse Cepstrale

  16. CepstreVocabulaire • vocabulaire (Bogert 1963): • Spectre Cepstre • Fréquence Quéfrence • Filtrage Liftrage • Harmonique Rahmonique • Période Répiode • Phase Saphe • Amplitude Gamnitude notes de cours Analyse Cepstrale

  17. CepstreANNEXES • A: Propriétés de symétrie et de parité par Transformées de Fourier Directe et inverse • B: Systèmes à minimum de phase • C: caractérisation de matériaux (acoustique) notes de cours Analyse Cepstrale

  18. Annexe A: Propriétés de la Transformée de Fourier (1/3) • ie, x(t)  X(f)  x(-t)  X(-f)  x(t) • TF directe sur x(t) = TF inverse sur x(-t) F F F F notes de cours Analyse Cepstrale

  19. Annexe A: Propriétés de la Transformée de Fourier (2/3) • x(t) réel X(f) = X*(-f) • Re(X(f)) = Re(X(-f)) • Im(X(f) = - Im(X(-f)) • x(t) réel pair x(t) = x(-t)X(f)=X(-f) • Im(X(f)) = 0 • x(t) réel impair x(t) = -x(-t) • Re (X(f)) = 0 notes de cours Analyse Cepstrale

  20. Annexe A: Propriétés de la Transformée de Fourier (3/3) • Signal temporelSpectre • réel, pair réel, pair • réel, impair imag, impair • imag, pair imag, pair • imag, impair réel, impair • réel complexe conjugué pair • complexe conjugué pair réel notes de cours Analyse Cepstrale

  21. Annexe B: Systèmes à minimum de phase (1/2) • Plusieurs définitions : • x(n) est à minimum de phase ssi • ln[X(w)] et Arg(X(w)) forment une paire de Hilbert • H{Ln[X(w)]} = Arg(X(w)) • un système linéaire de fonction de transfert H(w) est dit à minimum de phase ssi H(w) est stable et d ’inverse stable, ie, • ses pôles et ses zéros sont à l ’intérieur du cercle unité (système discret), • ou à gauche de l ’axe jw (système continu) notes de cours Analyse Cepstrale

  22. Arg(X(f) Annexe B: Systèmes à minimum de phase (2/2) • X1(f) = TF(x1(t)) X2(f) = TF(x2(t)) • (1)  X1(f)  =  X2(f)  • (2) Arg(X1(f))>Arg (X2(f)) • Si x1(t) est tel que (1) et (2) sont vérifiées quelque soit x2(t) vérifiant (2), alors x1 est dit à phase minimum.( en réalité maximum) x2(n) x1(n) notes de cours Analyse Cepstrale

  23. Annexe C: Caractérisation de matériaux (1/3) • Caractérisation acoustique d’un matériau: • x(t)= p(t) + (r1 /r2).p(t)*h(t-t0) • r1, r2 coefficients de réflexion • t0=(r2-r1)/c • X(f)=P(f){1+(r1/r2).H(f).e-2fto} • on veut estimer h(t) la réponse impulsionnelle de la surface réfléchissante • ou on veut estimer r1, r2 Haut parleur micro notes de cours Analyse Cepstrale

  24. Annexe C: Caractérisation de matériaux (2/3) • Expression du cepstre de puissance • [X(f)]2=[P(f)]2.{1+(r1/r2).H(f). e-2fto} .{1+(r1/r2).H*(f). E+2fto} • on utilise le développement • Ln(1+z)=z-z2/2+ z3/3,…. Pour [z]<1 • d ’où: 2.Ln [X(f)] = 2.Ln(P(f)] + {(r1/r2).H(f). E+2fto - 1/2.(r1/r2)2.(H(f). E+2fto)2 + 1/3.(r1/r2)3 .H*(f). E+2fto +…...} • le cepstre est de la forme: • Cx (t) = Cp(t) + (r1/r2).Ch(t-t0)-1/2.(r1/r2)2.Ch(t-t0)* Ch(t-t0)…+... • X (t) = P(t) + (r1/r2).h(t-t0) -1/2.(r1/r2)2.h(t-t0)* h(t-t0)…+... notes de cours Analyse Cepstrale

  25. Annexe C:Caractérisation de matériaux (3/3) • Illustration du cepstre de puissance • on peut retrouver h(t) si le cepstre de p(t) est « séparable » P(t) a1.h(t-t0) a2.h(t-t0)* h(t-t0) 2t0 t0 notes de cours Analyse Cepstrale

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