E N D
1. Clculo Numrico Aula 3
Sistemas Lineares
Mtodos Diretos e Mtodos Iterativos
3. Considere o problema de determinar as componentes horizontal e vertical das foras que atuam nas junes da trelia. Para isso, temos que determinar 17 foras. As componentes so presas nas junes por pinos, sem frico. Um teorema da mecnica nos diz que:
O nmero de junes x est relacionado ao nmero de componentes y por:
2x 3 = y.
Pelo fato da trelia ser estaticamente determinante, isto , as foras componentes so determinadas completamente pelas condies de equilbrio esttico nos ns, ento:
Fx e Fy so as componentes horizontal e vertical respectivamente e
? = sen 45 = cos 45, as condies de equilbrio so:
4.
Juno 2 Juno 6
Juno 3 Juno 7
Juno 4 Juno 8
Juno 5 Juno 9
Juno 10
5. Para obter as componentes pedidas, necessrio resolver o sistema linear acima que tem dezessete variveis: f1, f2, ..., f17.
A resoluo do sistema consiste em calcular os valores de xj (j = 1, ..., n) que satisfaam as n equaes simultaneamente.
Em termo de notao matricial, representamos da seguinte maneira:
A.X = b
6. Os mtodos numricos para resoluo de um sistema linear podem ser divididos em dois grupos:
Mtodos Diretos: so aqueles que, a menos de erros de arredondamento, fornecem a soluo exata do sistema aps um nmero finito de operaes aritmticas. Pertencem a esta classe todos os mtodos estudados nos cursos de 1. e 2. graus, como a regra de Cramer e o mtodo de eliminao de Gauss.
Mtodos Iterativos: So mtodos que fazem uso apenas da matriz A original. Seus algoritmos procuram converter qualquer vetor x(k) em outro, x(k+1) , que depende de x(k). A e B preservam a esparsidade de A no alterando seus elementos.
7. A desvantagem do mtodo de Cramer
Se tivssemos que resolver um sistema com 20 equaes, o nmero total de operaes efetuadas seria de 21 . 20! . 19 multiplicaes e o mesmo nmero de adies. Um computador que efetuasse cerca de cem milhes de multiplicaes por segundo levaria 3 . 108 anos para efetu-las.
Mtodo de eliminao de Gauss
Consiste em transformar o sistema linear original num sistema linear equivalente com matriz dos coeficientes triangular .
8. Algoritmo
Dado um sistema triangular superior n x n com elementos da diagonal da matriz A no nulos, as variveis xn, xn-1, xn-2, ..., x2, x1 so obtidas da seguinte forma:
Da ltima equao, temos:
9. Algoritmo
xn-1 pode ento ser obtido da penltima equao:
E assim sucessivamente obtm-se xn-2, ..., e finalmente x1:
10. Exemplo
Seja o sistema linear:
Passo 1: Eliminar x1 das equaes 2 e 3 utilizando como piv o elemento a11 = 3.
11. Obteremos o seguinte sistema equivalente:
Passo 2: Eliminar x2 da equao 3 utilizando como piv o elemento a22 = 1/3.
Obteremos o seguinte sistema equivalente
12. Resolvendo o sistema:
Obtemos os seguintes valores para x1, x2 e x3:
x3 = 0; x2 = 5 e x1 = -3. Logo, o vetor soluo :
13. Erros decorrentes da escolha do piv
Se o piv for nulo ou prximo de zero podemos chegar a resultados totalmente imprecisos. Como os computadores e calculadoras efetuam clculos com aritmtica de preciso finita, clculos com pivs prximos de zero do origem a erros de arredondamento.
Estratgias de pivoteamento
Pivoteamento parcial;
Pivoteamento completo.
14. Pivoteamento parcial
Consiste em:
I. No incio de cada passo do processo de eliminao, escolher para piv o elemento de maior mdulo entre os coeficientes;
II. Trocar as linhas k e i se for necessrio.
Exemplo
Considere o sistema com n = 4 e k = 2.
15. Incio do passo 2:
Escolher piv: -3;
Trocar linhas (2) e (3), obtendo o seguinte sistema:
Os multiplicadores desse passo sero: -1/3 e -2/3. A escolha do maior elemento em mdulo faz com que os multiplicadores, em mdulo, estejam entre 0 e 1, evitando assim a ampliao dos erros de arredondamento.
16. Pivoteamento completo
Consiste em:
I. No incio do passo k, escolher para piv o elemento de maior mdulo entre todos os elementos que ainda atuam no processo de eliminao.
Exemplo
Alm das linhas, troca-se tambm as colunas.
17. Pivoteamento completo
A estratgia do pivoteamento completo exige grande esforo computacional , logo no muito empregado.
Fatorao LU
Consiste em decompor a matriz A em um produto de dois ou mais fatores, e, em seguida, resolver uma seqncia de sistemas lineares que nos conduzir soluo do sistema original.
Se pudermos fazer A = C.D, o sistema linear A.x = b pode ser escrito como: C.D.x = b => C. (D.x) = b.
Fazendo y = D.x, resolver o sistema C.y = b, e em seguida o sistema D.X = y significa resolver o sistema original A.x = b.
A matriz L triangular inferior com diagonal unitria e a matriz U triangular superior.
18. Exemplo
Resolver o sistema:
A matriz dos coeficientes A:
19. Exemplo
Usando o processo de Gauss, obtemos:
Guardamos os multiplicadores das posies a22 e a31 para construir a matriz L:
20. Exemplo
Ao fatorar a 3. linha, guardamos tambm o multiplicador da posio a32:
Os fatores L e U sero , respectivamente:
e
21. Exemplo
Resolvendo :
I) obter y:
L.y = b => y1 = 1 ; y2 = 5/3 e y3 = 0.
II) obter x:
U.x= y => x1 = -3 ; x2 = 5 e x3 = 0.
22. Referncias bibliogrficas:
Darezzo, A; Arenales, S. Clculo Numrico: Aprendizagem com apoio de software. Thomson Learning, 2008.
Eves, H. Foundations and Fundamental Concepts of Mathematics. Dover, 1990.
FRANCO, Neide Bertoldi. Clculo Numrico. Pearson Prentice Hall, 2006.
Humes, A.F. P. C. [et alii]. Noes de Clculo Numrico. So Paulo: Makron, 1984.
Maia, M.L. [et alii]. Clculo Numrico (com aplicaes). So Paulo: Harbra, 1987.
Massarani, G. Introduo ao Clculo Numrico. Rio de Janeiro. Livro TcnicoS.A., 1967.
Ruggiero, M.A.G. & Lopes, V.L.R. Clculo Numrico: Aspectos Tericos e Computacionais. , So Paulo: McGraw-Hill, 1988.