C lculo Num rico

1. C�lculo Num�rico Aula � 3 Sistemas Lineares M�todos Diretos e M�todos Iterativos

3. Considere o problema de determinar as componentes horizontal e vertical das for�as que atuam nas jun��es da treli�a. Para isso, temos que determinar 17 for�as. As componentes s�o presas nas jun��es por pinos, sem fric��o. Um teorema da mec�nica nos diz que: O n�mero de jun��es x est� relacionado ao n�mero de componentes y por: 2x � 3 = y. Pelo fato da treli�a ser estaticamente determinante, isto �, as for�as componentes s�o determinadas completamente pelas condi��es de equil�brio est�tico nos n�s, ent�o: Fx e Fy s�o as componentes horizontal e vertical respectivamente e ? = sen 45� = cos 45�, as condi��es de equil�brio s�o:

4. Jun��o 2 Jun��o 6 Jun��o 3 Jun��o 7 Jun��o 4 Jun��o 8 Jun��o 5 Jun��o 9 Jun��o 10

5. Para obter as componentes pedidas, � necess�rio resolver o sistema linear acima que tem dezessete vari�veis: f1, f2, ..., f17. A resolu��o do sistema consiste em calcular os valores de xj (j = 1, ..., n) que satisfa�am as n equa��es simultaneamente. Em termo de nota��o matricial, representamos da seguinte maneira: A.X = b

6. Os m�todos num�ricos para resolu��o de um sistema linear podem ser divididos em dois grupos: M�todos Diretos: s�o aqueles que, a menos de erros de arredondamento, fornecem a solu��o exata do sistema ap�s um n�mero finito de opera��es aritm�ticas. Pertencem a esta classe todos os m�todos estudados nos cursos de 1.� e 2.� graus, como a regra de Cramer e o m�todo de elimina��o de Gauss. M�todos Iterativos: S�o m�todos que fazem uso apenas da matriz A original. Seus algoritmos procuram converter qualquer vetor x(k) em outro, x(k+1) , que depende de x(k). A e B preservam a esparsidade de A n�o alterando seus elementos.

7. A desvantagem do m�todo de Cramer Se tiv�ssemos que resolver um sistema com 20 equa��es, o n�mero total de opera��es efetuadas seria de 21 . 20! . 19 multiplica��es e o mesmo n�mero de adi��es. Um computador que efetuasse cerca de cem milh�es de multiplica��es por segundo levaria 3 . 108 anos para efetu�-las. M�todo de elimina��o de Gauss Consiste em transformar o sistema linear original num sistema linear equivalente com matriz dos coeficientes triangular .

8. Algoritmo Dado um sistema triangular superior n x n com elementos da diagonal da matriz A n�o nulos, as vari�veis xn, xn-1, xn-2, ..., x2, x1 s�o obtidas da seguinte forma: Da �ltima equa��o, temos:

9. Algoritmo xn-1 pode ent�o ser obtido da pen�ltima equa��o: E assim sucessivamente obt�m-se xn-2, ..., e finalmente x1:

10. Exemplo Seja o sistema linear: Passo 1: Eliminar x1 das equa��es 2 e 3 utilizando como piv� o elemento a11 = 3.

11. Obteremos o seguinte sistema equivalente: Passo 2: Eliminar x2 da equa��o 3 utilizando como piv� o elemento a22 = 1/3. Obteremos o seguinte sistema equivalente

12. Resolvendo o sistema: Obtemos os seguintes valores para x1, x2 e x3: x3 = 0; x2 = 5 e x1 = -3. Logo, o vetor solu��o �:

13. Erros decorrentes da escolha do piv� Se o piv� for nulo ou pr�ximo de zero podemos chegar a resultados totalmente imprecisos. Como os computadores e calculadoras efetuam c�lculos com aritm�tica de precis�o finita, c�lculos com piv�s pr�ximos de zero d�o origem a erros de arredondamento. Estrat�gias de pivoteamento Pivoteamento parcial; Pivoteamento completo.

14. Pivoteamento parcial Consiste em: I. No in�cio de cada passo do processo de elimina��o, escolher para piv� o elemento de maior m�dulo entre os coeficientes; II. Trocar as linhas k e i se for necess�rio. Exemplo Considere o sistema com n = 4 e k = 2.

15. In�cio do passo 2: Escolher piv�: -3; Trocar linhas (2) e (3), obtendo o seguinte sistema: Os multiplicadores desse passo ser�o: -1/3 e -2/3. A escolha do maior elemento em m�dulo faz com que os multiplicadores, em m�dulo, estejam entre 0 e 1, evitando assim a amplia��o dos erros de arredondamento.

16. Pivoteamento completo Consiste em: I. No in�cio do passo k, escolher para piv� o elemento de maior m�dulo entre todos os elementos que ainda atuam no processo de elimina��o. Exemplo Al�m das linhas, troca-se tamb�m as colunas.

17. Pivoteamento completo A estrat�gia do pivoteamento completo exige grande esfor�o computacional , logo n�o � muito empregado. Fatora��o LU Consiste em decompor a matriz A em um produto de dois ou mais fatores, e, em seguida, resolver uma seq��ncia de sistemas lineares que nos conduzir� � solu��o do sistema original. Se pudermos fazer A = C.D, o sistema linear A.x = b pode ser escrito como: C.D.x = b => C. (D.x) = b. Fazendo y = D.x, resolver o sistema C.y = b, e em seguida o sistema D.X = y significa resolver o sistema original A.x = b. A matriz L � triangular inferior com diagonal unit�ria e a matriz U � triangular superior.

18. Exemplo Resolver o sistema: A matriz dos coeficientes A:

19. Exemplo Usando o processo de Gauss, obtemos: Guardamos os multiplicadores das posi��es a22 e a31 para construir a matriz L:

20. Exemplo Ao fatorar a 3.� linha, guardamos tamb�m o multiplicador da posi��o a32: Os fatores L e U ser�o , respectivamente: e

21. Exemplo Resolvendo : I) obter y: L.y = b => y1 = 1 ; y2 = 5/3 e y3 = 0. II) obter x: U.x= y => x1 = -3 ; x2 = 5 e x3 = 0.

22. Refer�ncias bibliogr�ficas: Darezzo, A; Arenales, S. C�lculo Num�rico: Aprendizagem com apoio de software. Thomson Learning, 2008. Eves, H. Foundations and Fundamental Concepts of Mathematics. Dover, 1990. FRANCO, Neide Bertoldi. C�lculo Num�rico. Pearson Prentice Hall, 2006. Humes, A.F. P. C. [et alii]. No��es de C�lculo Num�rico. S�o Paulo: Makron, 1984. Maia, M.L. [et alii]. C�lculo Num�rico (com aplica��es). S�o Paulo: Harbra, 1987. Massarani, G. Introdu��o ao C�lculo Num�rico. Rio de Janeiro. Livro T�cnicoS.A., 1967. Ruggiero, M.A.G. & Lopes, V.L.R. C�lculo Num�rico: Aspectos Te�ricos e Computacionais. , S�o Paulo: McGraw-Hill, 1988.