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三角形的重心

三角形的重心. A. A. A. 中線. 中線. 中線. 中線. 中線. 中線. B. C. 中線. B. C. B. C. 中線. 中線. 銳角三角形. 直角三角形. 鈍角三角形. 三角形重心的定義. 中線 : 三角形中 , 頂點到其 對邊中點連線. 重心 : 三角形三邊中線交點. 重心 ( 幾何中心 ) 性質. 三角形的重心是三中線的交點 三角形的重心到一頂點的距離等於它到對邊中點的兩倍 三角形的三中線將此三角形分為六個等面積的三角形. 三角形的重心. 三中線的交點 G 為△ ABC 的重心.

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三角形的重心

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Presentation Transcript

  1. 三角形的重心

  2. A A A 中線 中線 中線 中線 中線 中線 B C 中線 B C B C 中線 中線 銳角三角形 直角三角形 鈍角三角形 三角形重心的定義 中線:三角形中,頂點到其 對邊中點連線. 重心:三角形三邊中線交點

  3. 重心(幾何中心)性質 • 三角形的重心是三中線的交點 • 三角形的重心到一頂點的距離等於它到對邊中點的兩倍 • 三角形的三中線將此三角形分為六個等面積的三角形

  4. 三角形的重心 三中線的交點 G 為△ABC 的重心 面積： △AFG＝△AEG＝ △BFG＝△BDG＝ △CEG＝ △CDG A F E G C B D

  5. 重心性質證明

  6. G為△ABC的重心，則 △AGB面積= △BGC面積= △AGC面積 A 【證明】 ∵G為重心， ∴D為 的中點 F E G 由前一頁介紹的性質可知 B C D △ABD面積= △ACD面積 且△GBD面積= △GCD面積 則△ABD面積- △GBD面積= △ACD面積- △GCD面積 ∴ △AGB面積= △AGC面積 同理可證△AGB面積= △BGC面積 故△AGB面積= △BGC面積= △AGC面積

  7. A F G C B D G為△ABC的重心，則 △AGF= △BGF= △BGD= △CGD= △CGE= △AGE 【證明】 ∵G為重心， E 由前一頁介紹的性質可知 △AGB= △BGC= △AGC △ABC 又∵F為中點 ∴ △AGF= △BGF △AGB = △ABC) = △ABC 同理可證△BGD= △CGD= △ABC △CGE= △AGE= △ABC 故△AGF= △BGF= △BGD= △CGD= △CGE= △AGE

  8. 重心重點整理

  9. 複習： 「等腰三角形底邊上的高平分底邊，且平分頂角」，即等腰三角形底邊的中線和垂直平分線與其頂角平分線相同，故正三角形的三中線即是三邊垂直平分線，也是三內角平分線。 如圖，△ABC 為正三角形， 、 、 為 三中線，則 、 、 分別為 、 、 的垂直平分線，也分別是∠A、∠B、 ∠C 的角平分線。 正三角形的外心、內心與重心是同一點

  10. 3.正三角形三心共點： (1) 正三角形的三中線是三邊垂直平分線，也是 三內角平分線。 (2) 正三角形的內心、外心與重心是同一點。

  11. 斜邊中點Q為直角三角形ABC外心,G為重心 線段GQ＝1/3線段BQ＝1/6線段AC 直角三角形的外心和重心

  12. 直線AP＝頂角分角線＝底邊中垂線＝底邊上的中線直線AP＝頂角分角線＝底邊中垂線＝底邊上的中線 外心O,重心G,內心I,三點共線 正三角形的外心,重心,內心,三心共點 等腰三角形的三心

  13. 三角形三心總整理 ※外心、內心與重心的求得，不需三條角平分線、 中垂線及中線，只要兩條線相交的交點即可得。

  14. 四、綜合整理 • 三角形三心重點整理 (超連結至三角形三心重點整理學習單.doc) 1.直角三角形的三心 2.正三角形的三心

  15. 重心的應用 學過重心的一些性質後，接下來我們將利用這些性質做適當的應用與延伸練習。 1 如右圖，△ABC 中，∠ABC＝90°，兩中線 、 交於G 點， ＝6， ＝8， 試求：(1) 、 。 (2) △ABG 的面積。 (3) 四邊形CDGE 的面積。

  16. (1)∵△ABC為直角三角形，∴ ＝ ∵ E為斜邊 中點，∴E 為△ABC 外心。 則 ＝ ＝ ＝10÷2＝5， 且 ＝ ＝4， ＝ 又兩中線 、 交於G 點， ∴G為△ABC的重心， ＝ ＝ ． ＝ ＝ ＝ ．5＝ 解

  17. (2) △ABG ＝ △ABC＝ ．（ ．6．8）＝8 (3) 如圖，連接 ， 則四邊形CDGE 面積 ＝△CDG＋△CEG ＝ △ABC＋ △ABC ＝ ． ．6．8 ＝8 解

  18. 斜邊 ＝ 又D為外心，∴ ＝ ＝ G為重心，∴ ＝ ＝ △AEG＝ △ABC＝ ．（ ．8．15）＝10 2 如右圖，△ABC 中， ＝8， ＝15，∠BAC＝90°，若G 為重心，試求 及△AEG 的面積。

  19. 3 如右圖，△ ABC 中，兩中線 、 交於G點，且 ，若 ＝9， ＝12， 試求：(1) 、 。 (2)△BGC 與△ABC 的面積。 (1)∵G為兩中線 、 的交點， ∴G為△ABC 重心。 故 ＝ ＝ ．9＝6 ＝ ＝ ．12＝8 (2)△BGC＝ ．．＝ ．6．8＝24 △ABC＝3．△BGC＝3．24＝72 解

  20. ＝ ＝5，∴ ＝ G為重心，∴ ＝ ＝8， ＝4 故 ＝ △BGC＝ △ABC＝ ．（ ．12．10）＝20 4 如右圖，△ABC 中， ＝ ＝13， ＝10， 為 的垂直平分線，G為重心， 試求：(1) 、 。 (2)△BGC 的面積。

  21. 四邊形 AEGF 的面積 ＝△AGE＋△AFG ＝ △ABC＋ △ABC ＝16（平方公分） 5 5.如右圖，△ABC 中，三中線 、、 交於 G 點，若△ABC 的面積為 48 平方公分，試求四邊形 AEGF 的面積。 解

  22. 如右圖， G 為重心，為中線 ∵△ABC 為正三角形 ∴亦為高 故 ＝ ＝ ＝ ＝ 6 設 G 為正三角形 ABC 的重心，若 ＝12，試求 。 解

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