En kisa yollarin bulunmasi

1. En kisa yollarin bulunmasi • Verilen bir undirected (yonsuz) graf ve kaynak vertex s, bir yol (path) in uzunlugu bu yol uzerindeki edge (kenar) lerin sayisidir. Amac, grafta s den diger vertex lere olan en kisa yollari bulmak

2. Breadth-First-Search (BFS) • Verilen: • G = (V, E) • Belli bir sourcevertex • Sistematik olarak s den erisilebilinen her vertexi bulmak icin G nin edge lerini inceler • S den erisilebilen vertex lerin s ye olan en kisa yollarini hesaplar • Root u s olan ve butun erisilebilen vertex leri iceren breadth-first-tree uretir

3. Breadth-First-Search (BFS) • BFS colors each vertex: white -- kesfedilmemis (undiscovered) gray -- kesfedilmis fakat “hala bitirilmemis” black -- bitisik tum vertex leri kesfedilmis

4. 2 3 3 2 2 3 1 S S S 2 1 1 2 2 3 3 BFS for Shortest Paths Discovered Undiscovered Finished

5. white: undiscovered gray: discovered black: finished Q: a queue of discovered vertices color[v]: color of v d[v]: distance from s to v [v]: predecessor of v BFS(G,s) 1. for each vertex u in (V[G] \ {s}) 2 do color[u]  white 3 d[u]  4 [u]  nil 5 color[s]  gray 6 d[s]  0 7 [s]  nil 8 Q   9 enqueue(Q,s) 10 while Q   11 do u  dequeue(Q) 12 for each v in Adj[u] 13 do if color[v] = white 14 then color[v]  gray 15 d[v]  d[u] + 1 16 [v]  u 17 enqueue(Q,v) 18 color[u]  black

6. Operations of BFS on a Graph

7. Breadth-First Tree • Graf G = (V, E) ve kaynak vertex s icin, G nin predecessor subgraph i G = (V , E) • V ={vV : [v]  NIL} • E ={([v],v)E : v  V - {s}} • G nin subgraph i breadth-first tree dir eger • V s den erisilebilinen vertex lerden (vertices) olusuyorsa • Her vV icin, G de s den v ye tek bir yolsa (ayni zamanda bu yol en kisa yolsa) • E deki edge ler tree edges olarak adlandirilir. |E | = |V | - 1

8. Breadth-First Tree • Verilen bir graf icin bir cok BFS tree bulunabilir. • Search in hangi vertex den basladigina ve kuyruga vertex ler hangi sirada yerlestirildigine bagli olarak • BFS tree nin edge lerine tree edges G nin geri kalan edge lerine de cross edges denir.

9. Analysis of BFS • Initialization O(V). • Traversal Loop • Her bir vertex en fazla bir kez kuyruga itilir ve kuyruktan cekilir, ve her bir islem O(1) zaman alir. Dolayisiyle toplam zaman O(V). • Her bir vertex in adjacency list en fazla bir kez taranir. Adjacency liste lerin boylarinin toplami (E). • BFS nin calisma zamani O(V+E).

10. Shortest Paths • Shortest-Path distance (s, v) s den v ye minimum sayida edge sahip yolun uzunlugu, eger boyle bir yol yoksa 

11. Depth-First-Search (DFS) • En son kesfedilen vertex v den itibaren edge leri incele • Mumkun oldugunca derinlige in • “Search as deep as possible first”

12. Depth-First Trees • Boyama teknigi BFS dekine benzer. DFS nin predecessor subgraph i G = (V, E), burada E ={([v],v): v  Vve[v]  NIL}. G nin predecessor subgraph i bir kac depth-first trees iceren bir depth-first forest olusturur. Edeki edge ler tree edges olarak adlandirilir. • Her bir vertex u 2 timestamps e sahip: d[u]u ilk olarak discover edildigi zamani kaydeder (grayed) ve f[u] search in bitis zamanini (blackens) kaydeder. Her bir vertex u, d[u] < f[u].

13. DFS(G) 1. for each vertex u  V[G] 2. do color[u]  WHITE 3. [u]  NIL 4. time 0 5. for each vertex u  V[G] 6. do if color[v] = WHITE 7. then DFS-Visit(v)

14. DFS-Visit(u) 1. color[u]  GRAY  White vertex u discover edildi 2. d[u]  ++time 3. for each vertex v  Adj[u] 4. do if color[v] = WHITE 5. then [v] u 6. DFS-Visit(v) 7. color[u]  BLACK  Blacken u; it is finished. 8. f[u] time++

15. Operations of DFS

16. Analysis of DFS • 1-2 & 5-7 satirlarindaki loop lar (V) zaman alir (DFS-Visit i saymazsak). • DFS-visit her bir white vertex vV ilk olarak gray e boyandiginda bir kez cagrilir. DFS-Visit deki 3-6 line lari |Adj[v]| kadar execute edilir. DFS-Visit in toplam calisma suresi vV|Adj[v]| = (E) • DFS nin toplam calisma suresi(V+E).