プラズマ基礎数学図子　秀樹

2007 プラズマ基礎数学図子　秀樹講義内容 • Collision Processes (4-17,18) • 1-1) collision dynamics and “quasi-collision potential filed” • 1-2) Derivation of Fokker Planck equation • Conservation laws in global physical quantities (4-24,25) • 2-1) particle density, momentum,energy, charge density • 2-2) derivation of conservation laws • 3. Maxwell equations (5-1,2) • 3-1) derivation of 1st set of Maxwell equations • 3-2) derivation of 2nd set of Maxwell equations • Analysis of fluctuating signals in plasma (5-8,9) • 4-1) digital data acquisition of analog signals and FFT methods • 4-2) Physical meaning of frequency domain

Plasma • Definition of “plasma”=> • Nature of “plasma” => • Description of “plasma” element ? interaction between elements ? transfer information among element ?

1. Collision Processes • 1-1) interaction between plasma particles Rutherford formula equation of motion effective cross section • 1-2) Kinetic description for plasma Fokker Planck eq.

“衝突”関連するkey wordを３つ考えよ • 運動量の保存、エネルギーの保存、向き、方向、弾性衝突、非弾性衝突、反発（係数）、衝突の平均自由行程、衝突断面積、衝突周波数（時間）

In burning plasma, we have to consider two types of collisions 1) Coulomb collision 2) Nuclear fusion Collision

Characteristics in Coulomb Collisions (Arzimovich’s view) Which one is a trajectory of the test charged particle in a plasma? “Collisional Transport in Magnetized Plasma” Halendar, Sigmar 2002

Spizter’s viewtrajectory in velocity space ( 1962 Phys. of Fully Ionized Gases ) (c) After 10Nth collisions (b) After Nth collisions (a) Initial Do you find rules to describe <DVx> and <DVz>?

Wesson’s view 1) Collisions between test particle and field particles 2) Test particle: ions or electrons 3) Field particles: ions and electrons

Neutral Beam Injection Ebeam~0.1-0.3 MeV H+ WWW MPI

Te increase leads to enhanced scattered spectrum Wcrit Wcrit Kurimoto, Zushi 1997

プラズマ中の衝突をどう記述するか • 衝突過程を運動方程式に組み入れることができるか？ • その場合の相互作用は何か？ • 繰り返し衝突する過程をどう記述するか？ • たくさんの粒子との衝突をどう表すか？ • そのとき相互作用はどう記述するのか？

Collision dynamics in Coulomb field Initial velocity v 2f Scattering angle Impact parameter Coulomb field Landau’s text

Energy & Angular momentum

Exercise Idue date; 23 April till noon • 1. Derive Rutherford scattering formula hints: • 2. Conversion from two body collision equations into one particle motion in a central field hints: conversion from v1,v2 into relative velocity and velocity of center of mass

Coulomb collision cross section q=90 scattering, • Scattering cross section ~pb902

Collision in shielded Coulomb field 1) Total target ions 2) Limit in b

Dominant Collision in Momentum change Integration from bmin to Debye length

Dominant Collision in Momentum change

１個の荷電粒子が標的粒子の作る静電場で“運動量”を微少に変化する。１個の荷電粒子が標的粒子の作る静電場で“運動量”を微少に変化する。 • これを“衝突”と定義する。 • 単位時間内の運動量変化量は　　　　“有効場における”運動方程式として表現でき　その値は微小散乱の集積効果を表す。 • 衝突間の運動量変化量は入射粒子の速度の２乗に反比例する。 • 初期運動方向の運動量ベクトルの変化率は、速度の３乗に反比例し、初期運動方向を向く。

一般化 • 質量mi、電荷ei、速度viの入射粒子が質量mj、電荷Ｚej、速度vjの標的粒子と衝突する。　　２体問題のみを取り扱い、３個同時に衝突することはないと仮定する。 • 中心力場での換算質量mを持つ粒子の散乱で表現 • 標的粒子は既知の分布関数f(vj)に従う。 • テスト粒子の分布関数の発展を記述したい！

Generalization of momentum eq. Taking into account v-4 dependence of s90, Characteristics of “Force” 1) 2) 3)

Similarity to electro-static force

Generalization of momentum eq. Taking into account v-4 dependence of s90, Introduce a potential H in velocity space i; test particles, j: field particles

Wesson’s view Parallel Motion in Velocity space Can be interpreted by a potential H. Motion in the Perpendicular direction ?

Test particle; i vi vj Field particles; j

Potential H for field particles with Maxwell distribution Assume the isotropic distribution function fj(vj) in velocity space Use the spherical coordinates Vi is set to Z-axis.

4) 1) Volume element d3v in velocity space 2) 3)

Exercise IIdue date; 23 April till noon 1) 2)

Potential H for field particles with Maxwell distribution

Test particle; i vi vj Field particles; j

まとめ • テスト粒子の小角散乱衝突過程による速度空間での摩擦力（初期速度の方向の減速）は　分布電荷の作る場におけるテスト電荷のクーロン力による運動と同様に考えることができる。 • 初期速度と垂直方向の衝突過程は同様に考えられるか？　どのようなpotentialで？

プラズマ基礎数学 図子 秀樹