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第八章 多元函数积分学

第八章 多元函数积分学. 一 二重积分的概念及简单性质 二 二重积分的计算. 第一节 二重积分的概念与性质. 一、问题的提出 二、二重积分的概念 三、二重积分的性质 四、小结. 高. 柱体体积 = 底面积 ×. 一、问题的提出. １．曲顶柱体的体积. 特点：平顶. 柱体体积 = ？. 特点：曲顶. 曲顶柱体. f (  i ). y = f ( x ). y. a. x i. b. x.  i. 0. x i +1. 回忆定积分.

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第八章 多元函数积分学

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  1. 第八章 多元函数积分学 • 一 二重积分的概念及简单性质 • 二 二重积分的计算

  2. 第一节 二重积分的概念与性质 一、问题的提出 二、二重积分的概念 三、二重积分的性质 四、小结

  3. 高 柱体体积 = 底面积 × 一、问题的提出 １．曲顶柱体的体积 特点：平顶. 柱体体积 = ？ 特点：曲顶. 曲顶柱体

  4. f ( i) y = f (x) y a xi b x  i 0 xi+1 回忆定积分. 设一元函数 y = f (x) 在[a, b]可积. 则 如图 　　其中 i[xi, xi+1], xi = xi+1 xi , 表小区间[xi, xi+1]的长, f ( i) xi表示小矩形的面积.

  5. 求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极 限”的方法．

  6. 求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极 限”的方法．

  7. 求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极 限”的方法．

  8. 求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极 限”的方法．

  9. 求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极 限”的方法．

  10. z = f (x,y) z 0 y x D 一、例 1.求曲顶柱体的体积V. 　　设有一立体. 其底面是 xy面上的区域D, 其侧面为母线平行于 z 轴的柱面, 其顶是曲面 z= f (x, y)0, 连续. 称为曲顶柱体. 若立体的顶是平行于 xy面的平面. 则平顶柱体的体积 = 底面积×高. 如图

  11. z 0 y x D (i)用曲线将D分成n 个小区域 D1, D2,…, Dn , 每个小区域Di 都对应着一个小曲顶柱体. z = f (x,y) z = f (x,y) 如图 Di Di

  12. z = f (x,y) f ( i , i) Di ( i , i) (ii)由于Di很小, z = f (x,y)连续, 小曲顶柱体　可近似看作小平顶柱体. ( i , i) Di . 小平顶柱体的高 = f ( i , i). 若记 i = Di的面积. 则小平顶柱体的体积 = f ( i , i) i 小曲顶柱体体积

  13. (iii)因此, 大曲顶柱体的体积 分割得越细, 则右端的近似值越接近于精确值V, 若分割得"无限细", 则右端近似值会无限接近于精确值V. 若 存在 则

  14. x y Di (iv) 其中Di的直径是指Di中相距最远的两点的距离. 如图 其中 ( i , i) Di ,  i = Di 的面积.

  15. 求曲顶柱体体积的方法： 分割、取近似、 求和、取极限。

  16. 步骤如下： 1. 分割 2. 取近似 3. 求和 4. 取极限

  17. ２．求平面薄片的质量 将薄片分割成若干小块， 取典型小块，将其近似 看作均匀薄片， 所有小块质量之和 近似等于薄片总质量

  18. 二、二重积分的概念

  19. 面积元素 被积函数 积分变量 积分区域 ------ 被积表达式

  20. 对二重积分定义的说明：

  21. 二重积分的几何意义 当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积． 当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值．

  22. D 在直角坐标系下用平行于坐 标轴的直线网来划分区域D， 则面积元素为 故二重积分可写为

  23. 三、二重积分的性质 （二重积分与定积分有类似的性质） 性质１ 当k 为常数时， 性质２

  24. 若 为D的面积， 对区域具有可加性 性质３ 性质４ 性质５ 若在D上 则有 特殊地

  25. 性质６ （二重积分估值不等式） 性质７ （二重积分中值定理）

  26. 思考题 将二重积分定义与定积分定义进行比较，找出 它们的相同之处与不同之处.

  27. 思考题解答 定积分与二重积分相同之处：都表示某种和式 的极限值，且此值只与被积函数及 积分区域有关． 不同的是: 定积分的积分区域为区间，被积函 数为定义在区间上的一元函数; 二重积分的积分区域为平面区域， 被积函数为定义在平面区域上的二 元函数．

  28. 第二节 二重积分的计算法（1） 利用直角坐标计算二重积分

  29. 其中函数 、 在区间 上连续. 利用直角坐标系计算二重积分 先讨论积分区域为： ［X－型］ X 型区域的特点： 穿过区域且平行于 y 轴的直线与区域 边界相交不多于 两个交点.

  30. 一般地， 积分区域为： ［X－型］ --- 先对 y 积分，后对 x 积分的二次积分

  31. 如果积分区域为： ［Y－型］ --- 先对 x 积分，后对 y 积分的二次积分

  32. y y y x x x 0 0 0 等等, 则既可先对 x 积分, 又可先对 y 积分. 此时, 1. 若D既是 x—型区域, 又是 y—型区域. 比如 当用某次序算二重积分不好算时, 可改换积分次序, 可能好算.

  33. 2. （1）如果积分区域是矩形 （2）如果被积函数 f (x, y) = f1(x)·f2(y),且积分区域是矩 形区域， 则

  34. 则 y d c 0 a b x 设D：a x b, c y d. f (x, y) = f1(x)·f2(y)可积，

  35. 比如，

  36. 3. 若区域如图， 则必须分割. 在分割后的三个区域上分别使 用积分公式

  37. 例1 将 化为二次积分。 其中D由直线 围成。 解 1： 先画出积分区域 D。 D是 Y－型。 于是，

  38. 解 2： 于是，

  39. 例2 计算 其中D由直线 围成。 解 先画出积分区域 D。 D是 X－型。 于是，

  40. 于是，

  41. 例3

  42. 解 积分区域为 于是，

  43. 解 设 则

  44. 设 于是，

  45. 解

  46. 解

  47. y y= x D 0 x 例9.求 解：由于 是“积不出”的，怎么办？ 要改换积分次序. 先画积分区域D的图形. 由积分表达式知，D： y x  1, 0  y  1 如图： 画曲线 x=y和 x=1，直线y=0, y=1. 故 原式 =

  48. 　　由例8，例9知，选择适当的积分顺序，有时能使积分变得简便，易行。在作题时，当按某一顺序积分很难，或不可行时，可改换积分顺序试一试。　　由例8，例9知，选择适当的积分顺序，有时能使积分变得简便，易行。在作题时，当按某一顺序积分很难，或不可行时，可改换积分顺序试一试。

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