FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů

1. FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů S T A T I K A P Ř E D N Á Š K A 4 ZATÍŽENÍ KONSTRUKCE Přednáška 4.

2. FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika Zjednodušení výpočtového modelu (idealizace): nosník si představujeme zobrazený jeho střednicí s označenými vazbami 2 Přednáška 4.

3. FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika Zatížení jsou vnější silové účinky působící na danou konstrukci a dělí se: • statickézměna velikosti pomalá, nezpůsobuje zrychlení pohybu konstrukce • dynamické mění svou velikost a polohu v čase, vyvolává zrychlení konstrukce, nelze zanedbat vliv setrvačných sil konce konstrukce • Zatížení nosníků: • stálénemění po celou dobu životnosti konstrukce svou velikost • nahodilé mění se během životnosti konstrukce • krátkodobé - vítr, sníh, ap. • dlouhodobé - tíha dlouhodobě skladovaných hmot a předmětů • mimořádné - exploze, zemětřesení • Ve statických výpočtech je nutno uvažovat (ČSN 730035): • Výpočtové zatížení součin součinitele zatížení a normové zatížení. • Součinitel zatížení veličina, která vyjadřuje možné odchylky od normových hodnot. • Normové zatížení je normou předepsaná hodnota zatížení (norma uvádí také objemové tíhy hmot). Přednáška 4.

4. FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika Na konstrukci mohou působit jednotlivá zatížení v různých kombinacích, proto při výpočtu musíme uvážit jejich nejnepříznivější kombinaci: Základní kombinace: zatížení stálé + zatížení nahodilé dlouhodobé + zatížení nahodilé krátkodobé. Mimořádná kombinace: zatížení stálé + zatížení nahodilé dlouhodobé + některé zatížení nahodilé krátkodobé + 1 zatížení mimořádné Zatížení z hlediska polohy břemen: Zatížení proměnné: mění se velikost břemene, nemění poloha Zatížení pohyblivé: mění se poloha břemene, nemění velikost (např. kolové tlaky vozidel nebo letadel) Přednáška 4.

5. c FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika UŽITÍ NÁHRADNÍCH SIL V PŘÍPADĚ SPOJITÉHO ZATÍŽENÍ Spojité rovnoměrné zatížení silové Velikost náhradní síly (břemene) tj. formulace výpočtu obsahu obrázku zatížení. Velikost náhradní síly se rovná obsahu obrázku zatížení - obdélníka. Poloha náhradní síly z momentového účinku ke zvolenému bodu (např. c) tj. stejná úloha jako zjištění polohy těžiště obrázku zatížení ve směru osy x Náhradní síla prochází těžištěm obrázku zatížení – obdélníka, tj. v polovině tzv. zatěžovací délky. Přednáška 4.

6. FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika Spojité rovnoměrné zatížení momentové Velikost náhradního momentu Velikost náhradního momentu se rovná obsahu zatěžovacího obrázku. Přednáška 4.

7. FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika Spojité trojúhelníkové zatížení silové Vyjádření intenzity zatížení Velikost náhradní síly Velikost náhradní síly se rovná obsahu obrázku zatížení - trojúhelníka. Přednáška 4.

8. e F f (x) c x-x1 dx FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika Určení polohy náhradního síly Přednáška 4.

9. F T 2(x2-x1)/3 (x2-x1)/3 x2-x1 FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika Náhradní síla prochází těžištěm obrázku zatížení – trojúhelníka. Přednáška 4.

10. FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů S T A T I K A P Ř E D N Á Š K A 5 VNITŘNÍ SÍLY NOSNÍKU Přednáška 5.

11. FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika Konstrukce se skládají z jednotlivých konstrukčních částí – prvků (elementů) konstrukce. Jsou to v podstatě tělesa, které dělíme na: Prut (přímý, zakřivený) je konstrukční prvek u něhož jeden rozměr převládá nad dvěma zbývajícími. Důležitou čárou je střednice prutu, která spojuje ve směru převládajícího rozměru těžiště všech příčných průřezů daného prutu. Přednáška 5.

12. FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika Stěna je rovinný konstrukční prvek, jehož jeden rozměr je výrazně menší než zbývající dvěma rozměry. Zatížení působí ve střednicové rovině (paprsky sil leží v této rovině). Deska je rovinný konstrukční prvek se dvěma převládajícími rozměry, který je zatížen kolmo ke střednicové rovině. Přednáška 5.

13. FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika Skořepina je konstrukční prvek se dvěma převládajícími rozměry a se zakřivenou střednicovou plochou. Přednáška 5.

14. FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika Rozdělení nosníků a zatížení nosníků (prutů) Pruty podepřené vazbami se nazývají nosníky. Pruty podle příčného řezu dělíme na prut: – stálého průřezu ve směru střednice se nemění základní rozměry průřezu – proměnného průřezu s náhlou změnou průřezu –proměnného průřezu se spojitou změnou průřezu Přednáška 5.

15. FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika Zjednodušení výpočtového modelu (idealizace): nosník si představujeme zobrazený jeho střednicí s označenými vazbami Přednáška 5.

16. l FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika VNITŘNÍ SÍLY V PŘÍMÝCH NOSNÍCÍCH Nosník je zatížen silami F1, F2, F3 a reakcemi A, B. Vyšetříme následujícím postupem, jak se projeví účinky těchto sil v libovolném bodě střednice. • Nosník rozdělený řezem na dvě části. • Rozdělíme nosník v kterémkoli místě střednice na dvě části. • Na levou část působí síly a reakce a jejich výslednicí je • . • Na pravou část působí síla a reakce a jejich výslednicí je • . • Reakce a vnější síly jsou v rovnováze, stejně tak obě výslednice jsou v rovnováze, tedy Přednáška 5.

17. FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika Zajímá nás účinek jedné části na druhou. Nejdříve budeme vyšetřovat účinek levé části na pravou. • Soustavu sil působících na levou část jsme složili ve výslednici , která je obecně k bodu O excentrická. • Je-li nahrazen nosník jeho střednicí, určíme účinek výslednice na pravou část v bodu O  (tj. k těžišti průřezu). Redukujeme výslednici k bodu O. • Sílu rozložíme v bodě o do 2 složek navzájem kolmých, tj. do normálové síly N – složka ve směru tečny ke střednici nosníku a do posouvající síly T – složka v rovině průřezu. • Moment M nazýváme ohybovým momentem M v průřezu O a rovná se statickému momentu výslednice k bodu O. Přednáška 5.

18. FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika Výslednice z pravé a levé části nosníku jsou si rovny: Účinek pravé části nosníku na levou je tedy stejné velikosti, ale opačného směru (zákon akce a reakce). Z výše uvedeného vyplývá, že na levou část působí složky M, N, T stejných velikostí, ale opačného směru. Složky M, N, T nazýváme vnitřními silami v průřezu prutu. Metoda řezu: V každém zkoumaném řezu můžeme určit vnitřní síly M, N, T jako složky výslednice všech vnějších sil (zatížení + reakce) působících na nosník po jedné straně průřezu. Posouvající síla T (v daném průřezu) je rovna algebraickému součtu všech složek vnějších sil kolmých k tečně střednice v místě průřezu (příčných složek) působících po jedné straně průřezu N. Normálová síla N (v daném průřezu) je rovna algebraickému součtu všech složek vnějších sil rovnoběžných s tečnou střednice v místě průřezu a působících na nosník po jedné straně průřezu N. Ohybový moment M (v daném průřezu) je roven algebraickému součtu statických momentů všech vnějších sil působících po jedné straně průřezu k těžišti průřezu Nm. Přednáška 5.

19. FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika Znaménková konvence – úmluva o kladném smyslu vnitřních sil Normálová síla je kladná je-li tah. T Účinky vnitřních sil na nosník M N N M T Přednáška 5.

20. FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika SCHWEDLEROVA VĚTA Základní vztah mezi zatížením a vnitřními silami je odvozen z podmínek rovnováhy na prutovém elementu. Dané spojité zatížení f(x) rozložíme do složky kolmé ke střednici ve směru tečny ke střednici. jsou náhradní břemena od těchto složek a působí v polovině délky dx elementu nosníku. Přednáška 5.

21. FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika Sestavení podmínek rovnováhy na elementu nosníku Ve směru normálové síly Ve směru posouvající síly Momentová podmínka k bodu o Přednáška 5.

22. FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika Schwedlerova věta Posouvající síla T se rovná derivaci ohybového momentu podle diferenciálu střednice. Intenzita spojitého zatížení ve směru střednice se rovná záporné deviaci normálové síly podle diferenciálu střednice. Intenzita spojitého zatížení ve směru kolmém ke střednici se rovná záporné derivaci posouvající síly podle diferenciálu střednice. Přednáška 5.

23. FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika PRŮBĚHY VNITŘNÍCH SIL N, T, M Ze vztahů uvedených VE Schwedlerově větě plyne určení stupně funkcí vnitřních silT a M v jednotlivých intervalech. Přednáška 5.

24. FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika Postup řešení při určování vnitřních sil M, N a T v jednotlivých průřezech nosníku: • Posoudíme statickou a tvarovou určitost nosníku. • Pro staticky určitý nosník vypočteme složky reakcí z podmínek rovnováhy. • Podle poloh působiště jednotlivých sil a rozsahu spojitých zatížení rozdělíme střednici nosníku na jednotlivé intervaly. Krajními body úseků jsou body, kde se zatížení mění, např. osamělá síla, začátek a konec spojitého zatížení, působiště osamělého vnějšího momentu. • V těchto intervalech vyjádříme vnitřní síly (N, T, M) jako funkce proměnné x. Postupujeme podle jejich definice. • Vypočteme velikost vnitřních sil v průřezech na krajích intervalů. • Nalezneme body, ve kterých je posouvající síla nulová nebo mění znaménko. V těchto bodech vypočteme extrém ohybového momentu. • Vykreslíme průběh jednotlivých vnitřních sil. Při určení stupně funkcí vnitřních sil pro správné vykreslení postupujeme podle tabulky. Přednáška 5.

25. a/2 Q=qa Ax q b a 1 Ay B x a l FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika Příklad 1. Prostý nosník je staticky určitý: 2. Výpočet reakcí Přednáška 5.

26. FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika 3 – 6. Průběh vnitřních sil úsek a/2 bod a: Q=qa bod 1: Ax q a 1 Ay x a x/2 Qx=qx Ax q a Ay x Přednáška 5.

27. a/2 Q=qa Ax q b a 1 Ay B x a l FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika úsek bod b: Přednáška 5.

28. FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika Extrém funkce ohybového momentu je uvnitř intervalu v místě, kde posouvající síla T=0 (mění znaménko). úsek poloha „nebezpečného průřezu“ (protože je v něm extrém momentu) Pro polohu nebezpečného průřezu se vypočítá maximální ohybový moment. Přednáška 5.

29. FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika Vynášení pořadnic vnitřních sil 1.Kladné pořadnice posouvajících sil: při postupu zleva vynášíme vždy na stranu horních vláken (vždy označíme + nebo -) 2. Kladné pořadnice normálových sil: při postupu zleva vynášíme na stranu horních vláken (vždy označíme + nebo -) 3. Pořadnice ohybových momentů: vynášíme v daném průřezu vždy na stranu tažených vláken Přednáška 5.

30. Q=qa x0 FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika Přednáška 5.