Iranete Lima Sous la direction de Nicolas BALACHEFF et Jana TRGALOVA

1. De la modélisation de connaissances des élèves aux décisions didactiques des professeursÉtude didactique dans le cas de la symétrie orthogonale Iranete Lima Sous la direction de Nicolas BALACHEFF et Jana TRGALOVA Thèse préparée au sein de L’Équipe Did@TIC, Laboratoire LEIBNIZ – IMAG Financée par le gouvernement brésilien – CNPq

2. Plan de la présentation • 1. Problématique et cadre théorique • 2. Modélisation de connaissances des élèves • 3. Étude de décisions didactiques • 4. Expérimentation auprès des élèves • 5. Expérimentation auprès des professeurs • 6. Conclusion générale et perspectives de recherche

3. Contexte : Étude des décisions didactiques • Projet BAP (Soury-Lavergne éd., 2003) • Problématique EIAH • Apprentissage de la preuve autour de la symétrie orthogonale • Diagnostic de conceptions • Décisions didactiques (Chaachoua & Lima, 2003 ; Lima & Trgalova, 2005) 1. Problématique et Cadre Théorique

4. Problématique Étude de décisions didactiques des professeurs : décisions prises avec une intention d’apprentissage par l’élève de la connaissance visée 1. Problématique et Cadre Théorique Modélisation de connaissances des élèves concernant la connaissance visée Choix d’une notion mathématique : symétrie orthogonale

5. Cadre de référence • Choix des Cadres de Référence qui contiennent des principes méthodologiques et des règles qui permettent de réaliser les modélisations envisagées : Modèle cK¢ Modèle des niveaux du professeur 1. Problématique et Cadre Théorique Balacheff (1995, 2005) Margolinas (2002, 2005)

6. Modèle cK¢ : formalisation de conceptions La conceptionest l’état d’équilibre d’un système, et plus précisément d’une boucle action/rétroaction du système [sujet<>milieu]. P est un ensemble de problèmes R est un ensemble d’opérateurs L est un système de représentation est une structure de contrôle 1. Problématique et Cadre Théorique

7. Hypothèse de travail (1) • Les contrôles rendent compte des critères qui renvoient le sujet au choix, à la décision, à l’adéquation, à la validité d’une action, à la décision « résolu » pour un problème (Gaudin, 2005). 1. Problématique et Cadre Théorique

8. Questions de recherche • Q1 : Comment caractériser l’ensemble des contrôles des conceptions susceptibles d’être mobilisés par l’élève dans la résolution d’un problème relatif à la symétrie orthogonale ? • Q2 : À partir de l’ensemble des contrôles, peut-on accéder aux autres éléments qui caractérisent une conception, notamment les opérateurs et les problèmes ? Si oui, comment ? 1. Problématique et Cadre Théorique

9. Hypothèse de travail (2) • L’apprentissage est considéré comme le passage d’une conception à une autre. • Une conception C est légitimée par une sphère de pratique. Cette légitimité s’impose en fonction du problème que le sujet résout. 1. Problématique et Cadre Théorique

10. Question de recherche • Q3 : Quels sont les types de problèmesqui favorisent le passage d’une conception Ci à une conception Cj, et comment décrire ces problèmes en termes de variables didactiques? 1. Problématique et Cadre Théorique

11. Cadre de référence Modèle cK¢ Modèle des niveaux du professeur 1. Problématique et Cadre Théorique Balacheff (1995, 2005) Margolinas (2002, 2005)

12. Situations sur-didactiques Situation a-didactique Modèle des niveaux du professeur +3 Valeurs et conceptions sur l’enseignement/apprentissage projet éducatif : valeurs éducatives, conceptions de l’apprentissage et de l’enseignement + 2 Construction du thème construction didactique globale dans laquelle s’inscrit la leçon : notions à étudier et apprentissage à réaliser + 1 Projet de leçon projet didactique spécifique pour la leçon observée : objectifs, planification du travail 0 Situation didactique réalisation de la leçon, interaction avec les élèves, prise de décisions dans l’action -1 Observation de l’activité des élèves perception de l’activité de l’élève, régulation du travail délégué aux élèves 1. Problématique et Cadre Théorique

13. Hypothèse de travail (3) • Connaissances susceptibles d’intervenir dans la prise de décisions des professeurs (Comiti, Grenier et Margolinas, 1995): • niveau + 3: connaissances sur la notion mathématique et sur l’apprentissage • niveau + 2: connaissances relatives à la situation d’enseignement/apprentissage • niveau + 1 : connaissances globales sur les connaissances et les difficultés habituelles des élèves • niveau 0: connaissances qui sont des interprétations et/ou des représentations des élèves, qui vont lui servir dans l’action pour ses prises de décisions immédiates • niveau - 1 : connaissances permettant de distinguer dans le travail de l’élève les erreurs ou les difficultés 1. Problématique et Cadre Théorique

14. Question de recherche • Q4 : Sur quels éléments les professeurs s’appuient-ils pour prendre leurs décisions didactiques en vue de faire évoluer les conceptions mobilisées par un élève ? 1. Problématique et Cadre Théorique

15. Plan de la présentation • 1. Problématique et cadre théorique • 2. Modélisation de connaissances des élèves • 3. Étude de décisions didactiques • 4. Expérimentation auprès des élèves • 5. Expérimentation auprès des professeurs • 6. Conclusion générale et perspectives de recherche

16. Objectifs • Caractériser a priori l’ensemble des contrôlesdes conceptions susceptibles d’être mises en œuvre par un élève générique dans la résolution de problèmes de symétrie orthogonale • Décrire des procédures de résolution 2. Modélisation des Connaissances

17. L’étude théorique Résultats de recherches Institution scolaire Symétrie Orthogonale 2. Modélisation des Connaissances Mathématique et didactique

18. Résultats de recherches • Typologie des procédures(Grenier & Laborde, 1987 ; Grenier, 1988) : • rappels : horizontal, vertical, par prolongement, orthogonal • procédures analytiques, semi-analytiques, globales • Typologie des conceptions(Tahri, 1993): • parallélisme, symétrie centrale, symétrie oblique, symétrie orthogonale • Théorèmes en acte(Grenier, 1988) : • un segment horizontal ne peut se transformer en un segment vertical • la symétrie matérialise sur la feuille deux demi-plans 2. Modélisation des Connaissances

19. Institution scolaire : Programmes • Cycle 2: exploitation de l’aspect perceptif de la symétrie (par la vue, par l’utilisation du pliage, calque, miroir…) • Cycle 3: passage progressif des connaissances perceptives aux connaissances géométriques (utilisation du pliage, calque…; tracé de figures symétriques sur papier quadrillé ) • Classe 6e: passer de l’identification perceptive de figures et de configurations à leur caractérisation par des propriétés (construction d’un point, d’un segment, d’un cercle, que l’axe de symétrie coupe ou non la figure) 2. Modélisation des Connaissances

20. Institution scolaire : manuels • Définitions: • Deux figures symétriques par rapport à une droite se superposent par pliage le long d’une droite. • Deux points distincts Aet A’ sont symétriques par rapport à une droite d lorsque la droite d coupe le segment [AA’] perpendiculairement en son milieu. • Propriétés: • Caractéristiques : l’orthogonalitéet l’égalité des distances • Conservation : longueur, mesure des angles, alignement... 2. Modélisation des Connaissances

21. Institution scolaire : manuels • Types de problèmes: • reconnaissance de figures symétriques par rapport à une droite d  • reconnaissance d’axes de symétrie  • construction de figures symétriques par rapport à une droite d  (à main levée, sur papier quadrillé, avec des instruments de dessin)  • construction d’axes de symétrie (à main levée, sur papier quadrillé, avec des instruments de dessin) 2. Modélisation des Connaissances

22. Formalisation de contrôles Critères de choix Taille Distance à l’axe 2. Modélisation des Connaissances Direction Forme Sens Position

23. Critères et valeurs Distance à l’axe:conservée Taille:conservée 2. Modélisation des Connaissances Direction : horizontaleou celle donnée par leprolongement d’un segment de F Forme : conservée Sens :inverse Position :translation suivie d’un retournement

24. Contrôles Σtaille : Le symétrique d’un segment est un segment de même longueur Distance à l’axe:conservée Taille:conservée Σdist : Une figure (sous-figure) et sa symétrique sont à la même « distance » de l’axe de symétrie 2. Modélisation des Connaissances Σhor : L’image d’une figure (sous-figure) par une symétrie orthogonale est construite dans une direction horizontale Σprolong : L’image d’une figure par une symétrie orthogonale est construite dans la direction donnée par le prolongement d’un segment de cette figure Direction : horizontaleou celle donnée par leprolongement d’un segment de F Σforme : Une figure et son image par la symétrie orthogonale ont la même forme Forme : conservée Sens :inverse Position :translation suivie d’un retournement Σtranslation : L’image d’une figure F par la symétrie orthogonale est obtenue par une translation de F dans une direction choisie Σsens_inverse : Une figure et son symétrique ont leur sens inverse

25. Autres contrôles • Liés à l’utilisation du pliage • Σpliage_1 : Une figure et sa symétrique se superposent par pliage le long de l’axe de symétrie  • Liés à l’utilisation du calque • Σcalque_3 : Si F’ est obtenue en décalquant F et en retournant le papier calque, alors F et F’ sont symétriques • Liés à la nature de la figure F • Σnature_de_F’ : Le symétrique d’une figure est une figure de même nature • Liés aux relations entre la figure F et la droite d • Σpoint_invariant : Le symétrique d’un point sur l’axe est le point lui-même  • Contrôles de parallélisme • Σparallélisme_segment : Un segment et son symétrique sont parallèles 2. Modélisation des Connaissances

26. Résultats de l’étude théorique • Modélisation de contrôles susceptibles d’être mobilisés par l’élève dans la résolution de problèmes de reconnaissance et de construction de figures symétriques. • Répertoire des variables didactiques. • Description en termes de contrôles des procédures susceptibles être mobilisés par l’élève dans la construction de figures symétriques. • Étant donné que les opérateurs sont attestés dans l'action, cette étude ne nous a pas permis de formaliser a priori les opérateurs. 2. Modélisation des Connaissances

27. Plan de la présentation • 1. Problématique et cadre théorique • 2. Modélisation de connaissances des élèves • 3. Étude de décisions didactiques • 4. Expérimentation auprès des élèves • 5. Expérimentation auprès des professeurs • 6. Conclusion générale et perspectives de recherche

28. Quels sont les éléments déterminants dans la prise de décisions didactiques du professeur ? • Dans le but de favoriser un apprentissage chez l’élève, le professeur prend des décisions : • Quelle est la meilleure manière d’aborder un contenu ? • Quels problèmes choisir ? • À partir d’une réponse de l’élève, quelle est la manière la plus pertinente de conduire un processus d’enseignement ? • … 3. Étude de décisions didactiques

29. Niveaux sur-didactiques Projet didactique local Modèle des niveaux du professeur • + 3 Valeurs et conceptions sur l’enseignement/apprentissage projet éducatif : valeurs éducatives, conceptions de l’apprentissage et de l’enseignement • + 2 Construction du thème construction didactique globale dans laquelle s’inscrit la leçon : notions à étudier et apprentissage à réaliser • + 1 Projet de leçon projet didactique spécifique pour la leçon observée : objectifs, planification du travail • 0 Situation didactique réalisation de la leçon, interaction avec les élèves, prise de décisions dans l’action • - 1 Observation de l’activité des élèves perception de l’activité de l’élève, régulation du travail délégué aux élèves 3. Étude de décisions didactiques

30. Production de l’élève Observé de la situation S-1 Situation du professeur participant à notre recherche Projet didactique local Projet éducatif : valeurs éducatives, conceptions de l’enseignement et de l’apprentissage (+3) Professeur Situation S +1 3. Étude de décisions didactiques Projet global : notions à étudier et apprentissage à réaliser (+2)

31. Plan de la présentation • 1. Problématique et cadre théorique • 2. Modélisation de connaissances des élèves • 3. Étude de décisions didactiques • 4. Expérimentation auprès des élèves • 5. Expérimentation auprès des professeurs • 6. Conclusion générale et perspectives de recherche

32. Expérimentation auprès des élèves • Objectifs : • recueillir des productions d’élèves afin de pouvoir identifier les types de réponses et de procédures • concevoir des copies pour l’expérimentation menée auprès des professeurs dans le but d’étudier leurs prises de décisions didactiques • Le public : • 51 élèves de deux classes de quatrième (13-14 ans d’âge) d’un collège à Grenoble • Données recueillies : • copies 4. Expérimentation auprès des élèves

33. Expérimentation auprès des élèves : quelques résultats • Certains élèves ont donné des réponseset ont utilisé des procédures de construction convergentes sur la totalité des problèmes. • D’autres élèves ont donné des réponses et ont utilisé des procédures de construction différentes d’un problème à l’autre. • D’autres encore ont donné aussi bien des réponses correctes qu’erronées. Cependant, il y a une certaine cohérence dans ces réponses en termes de contrôles mobilisés. 4. Expérimentation auprès des élèves

34. Construction théorique de copies • « Anissa »: copie fictive avec réponses et procédures présentant une certaine convergence • « Béatrice »:copievraie comportant des réponses assez variées • « Cédric »: copie fictive avec réponses et procédures tantôt correctes tantôt erronées, présentant toutefois une convergence dans les contrôles mobilisés 4. Expérimentation auprès des élèves

35. Copie Béatrice • Problème-flèche 4. Expérimentation auprès des élèves Σprolong: L’image d’une figure par une symétrie orthogonale est construite dans la direction donnée par le prolongement d’un segment de cette figure. Σdist :Une figure (sous-figure) et sa symétrique sont à la même « distance » de l’axe de symétrie. Σrotation: L’image d’une figure par la symétrie orthogonale est obtenue par une rotation de F autour d’un point et d’un angle choisis. Ou Σrotation+ Σsens_inverse :  une figure et son symétrique ont leur sens inverse. Σparallélisme_segment: Un segment et son symétrique sont parallèles.

36. Copie Béatrice • Problème segment-losange 4. Expérimentation auprès des élèves Σprolong ; Σdist ; Σrotation Σtranslation : L’image d’une figure F par la symétrie orthogonale est obtenue par une translation de F dans une direction choisie+Σsens_inverse ; Σparallélisme_segment Σdemi_plan : Le symétrique de F est situé de l’autre côté de l’axe de symétrie. Σpoint_invariant : Le symétrique d’un point sur l’axe est le point lui-même.

37. Copie Béatrice • Problème-segment Σortho : La figure (sous-figure) symétrique d’une figure (sous-figure) par la symétrie orthogonale est construite dans la direction orthogonale à d ; Σdist Σsegment: Si les extrémités d’un segment sont les symétriques des extrémités d’un autre segment par rapport à une droite d, alors ces deux segments sont symétriques par rapport à d. 4. Expérimentation auprès des élèves RB1 : Construire une droite perpendiculaire à la droite d passant par un point. RB2 : Construire le symétrique d’un point en conservant la distance à l’axe dans la direction orthogonale à celui-ci. RB3 : Construire le symétrique d’un segment comme le segment reliant les symétriques des extrémités du segment objet.

38. Copie Béatrice • Problème-maison Σortho ; Σdist ; Σtaille_1 : Le symétrique d’un segment est un segment de même longueur. Σforme: Une figure et son image par la symétrie orthogonale ont la même forme (en particulier, le symétrique d’un segment est un segment). Σposition_autre : l’image de la figure est construite en fonction d’une direction précédemment définie ; Σsens_inverse 4. Expérimentation auprès des élèves RB1 : Construire une droite perpendiculaire à la droite d passant par un point. RB2 : Construire le symétrique d’un point en conservant la distance à l’axe dans la direction orthogonale à celui-ci . RB4 : À partir d’un point construit, tracer la figure image (F’) tout en conservant la taille et la forme de la figure initiale (F), et en inversant l’orientation des angles.

39. Copie Béatrice : conclusions • Problèmes de reconnaissance : • contrôle lié à la direction donnée par le prolongement d’un segment ; • Problème de construction du segment : • procédure analytique • contrôle lié à la propriété d’orthogonalité et distance. • Problème de construction de la maison : • procédure semi-analytique • contrôles taille, forme, sens inverse • Système de représentation : changement de registre passant du géométrique au spatio-graphique et vice-versa 4. Expérimentation auprès des élèves S’agit-il de conception(s) ? Si oui, s’agit-il de l’évolution d’une conception vers une autre, ou bien de la cohabitation de plusieurs conceptions chez Béatrice ?

40. Plan de la présentation • 1. Problématique et cadre théorique • 2. Modélisation de connaissances des élèves • 3. Étude de décisions didactiques • 4. Expérimentation auprès des élèves • 5. Expérimentation auprès des professeurs • 6. Conclusion générale et perspectives de recherche

41. Dispositif expérimental • Objectifs : • Dégagerles éléments identifiés par les professeurs dans l'activité de l’élève, et la façon dont ces éléments sont pris en compte dans leurs décisions didactiques • Dégager les éléments des projets globaux d'enseignement (niveau +2) et des projets éducatifs(niveau +3) qui influencent les décisions des professeurs 5. Expérimentation auprès des professeurs

42. Dispositif expérimental • Public • 10 professeurs expérimentés dans l'enseignement secondaire ou primaire • Dossier fourni aux professeurs • fiche de l'enseignant • copies Anissa, Béatrice et Cédric • questionnaire • série de 18 problèmes • Données recueillies • questionnaires • entretiens (2 professeurs) 5. Expérimentation auprès des professeurs

43. Questionnaire • 1) Pourriez-vous décrire ce qu’est la symétrie axiale pour cet élève (propriétés attribuées à cette notion par l’élève, types d’erreurs, moyens de contrôle …) ? • 2) Quelle séquence d’apprentissage proposez-vous pour cet élève ? Justifiez tous les choix faits dans cette séquence : • a) éléments pris en compte • b) raisons du choix des problèmes et conditions d’utilisation de ces problèmes • c) autres remarques 5. Expérimentation auprès des professeurs

44. Σortho : La figure (sous-figure) symétrique d’une figure (sous-figure) par la symétrie orthogonale est construite dans la direction orthogonale à d Σdist : Une figure (sous-figure) et sa symétrique sont à la même « distance » de l’axe de symétrie Σpliage_1 : Une figure et sa symétrique se superposent par pliage Σdemi_plan : Le symétrique de F est situé de l’autre côté de l’axe de symétrie Méthodologie d’analyse des productions des professeurs 5. Expérimentation auprès des professeurs

45. Copie Béatrice Prise d’information par les professeurs La structure de contrôle des conceptions initiales contiendrait : 5. Expérimentation auprès des professeurs

46. Copie BéatriceProjets didactiques des 5 professeurs La structure de contrôle de la conception viséecontiendrait : 5. Expérimentation auprès des professeurs

47. Copie Béatrice : Conclusions • Les connaissances qui semblent avoir influencé les décisions des professeurs : • connaissances des programmes scolaires: • symétrie et pliage • connaissances relevant de l’expérience de l’enseignement et connaissances du fonctionnement des élèves: • aspect visuel de la symétrie (Prof_1 et Prof_5) • efficacité du travail à l’oral (Prof_5) • les situations de guidage fonctionnent dans certains cas (Prof_4) 5. Expérimentation auprès des professeurs

48. Copie Béatrice : Conclusions • connaissances mathématiques de la symétrie : • propriétés d’orthogonalité et d’égalité des distances • propriété d’invariance des points sur l’axe (Prof_2) • relation symétrie/pliage (Prof_3) • conceptions de l’enseignement/apprentissage: • on apprend à partir de ce qu’on sait déjà ; amener l’élève à dégager de nouvelles connaissances qui se substitueront aux anciennes (Prof_1 et Prof_2) • mobilisation de connaissances nouvelles pour déstabiliser des connaissances erronées  (Prof_4) • l’élève apprend à partir des exercices progressifs (Prof_4 et Prof_5) • formulation favorisant l’apprentissage (tous les Profs) • importance du réinvestissement des connaissances (tous les Profs) 5. Expérimentation auprès des professeurs

49. Plan de la présentation • 1. Problématique et cadre théorique • 2. Modélisation de connaissances des élèves • 3. Étude de décisions didactiques • 4. Caractérisation des conceptions • 5. Expérimentation auprès des professeurs • 6. Conclusion générale et perspectives de recherche

50. Conclusion générale • Questions Q1 et Q2 concernant la caractérisation des contrôles et l’accès aux autres éléments des conceptions : • L’étude a priori nous a permis d’identifier les contrôles susceptibles d’être mobilisés par un élève générique dans la résolution des problèmes de reconnaissanceet deconstruction de figures symétriques. • L’étude des copies nous a permis de dégager chez ces élèves les , les Ret Ldes conceptionsmobilisées dans la résolution des problèmes P proposés. 6. Conclusion générale et perspectives