Prognozowanie i symulacje

1. Prognozowanie i symulacje

2. Ramowy plan wykładu • Wprowadzenie w przedmiot • Trafność, dopuszczalność i błąd prognozy • Prognozowanie na podstawie szeregów czasowych • Prognozowanie na podstawie modelu ekonometrycznego • Heurystyczne modele prognostyczne • Symulacje

3. Wybrana literatura • Prognozowanie gospodarcze. Metody i zastosowanie, red. M. Cieślak, PWN, Warszawa 2001 • Zeliaś A., Pawełek B., Wanat S., Prognozowanie ekonomiczne. Teoria, przykłady, zadania, PWN, Warszawa 2003 • Gajda J., Prognozowanie i symulacja a decyzje gospodarcze, Wyd. C.H. Beck, Warszawa 2001 • Prognozowanie gospodarcze, red. E. Nowak, AW Placet, Warszawa 1998 • Prognozowanie i symulacja, red. W. Milo, Wyd. UŁ, Łódź 2002

4. Przewidywanie przyszłości Racjonalne Nieracjonalne Naukowe Zdroworozsądkowe Przewidywanie przyszłości PROGNOZOWANIE to przewidywanie przyszłości w sposób racjonalny z wykorzystaniem metod naukowych PREDYKCJA to prognozowanie na podstawie modelu ekonometrycznego

5. Prognoza jako wynik prognozowania PROGNOZA to sąd sformułowany z wykorzystaniem dorobku nauki odnoszący się do określonej przyszłości, weryfikowalny empirycznie, niepewny (ale akceptowalny) • Etapy prognozowania: • Sformułowanie zadania prognostycznego • Podanie przesłanek prognostycznych • Wybór metody prognozowania • Ocena dokładności lub dopuszczalności prognozy • Weryfikacja prognozy

6. Funkcje prognoz • Wyróżnia się trzy podstawowe funkcje prognoz: • PREPARACYJNA (do podejmowania decyzji, stwarza dodatkowe przesłanki do podejmowania racjonalnych decyzji) • AKTYWIZUJĄCA (pobudzenie do działań sprzyjających realizacji korzystnej prognozy, przeciwdziałających prognozie niekorzystnej) • INFORMACYJNA (dostarcza informacji o badanym zjawisku)

7. Metoda prognozowania • METODA PROGNOZOWANIA to sposób przetworzenia danych z przeszłości wraz ze sposobem przejścia od przetworzonych danych do prognozy. • Istnieją więc dwie fazy: • faza diagnozowania przeszłości - odbywa się przez budowę modelu formalnego (model ekonometryczny) lub myślowego (w umyśle eksperta) • faza określania przyszłości – polega na zastosowaniu odpowiedniej reguły prognozy

8. Reguły prognozy • reguła podstawowa – prognoza postawiona na podstawie modelu, przy założeniu, że będzie on aktualny w prognozowanym okresie • reguła podstawowe z poprawką – prognoza postawiona na podstawie modelu z poprawką uwzględniającą, że ostatnio zaobserwowane odchylenia od modelu utrzymają się w przyszłości • reguła największego prawdopodobieństwa (dla zmiennych losowych, których rozkład prawdopodobieństwa jest znany) – prognozą jest wartość zmiennej, której odpowiada największe prawdopodobieństwo dla zmiennych skokowych lub maksymalna wartość funkcji gęstości prawdopodobieństwa dla zmiennych ciągłych • reguła minimalnej straty – przyjmuje się, że wielkość straty jest funkcją błędu prognozy i poszukuje się minimum tej funkcji. Prognozą jest wartość dla której ta funkcja przyjmuje minimum.

9. Metody prognozowania Metody matematyczno-statystyczne Metody niematematyczne Metody oparte na modelach deterministycznych Metody oparte na modelach ekonometrycznych • Metody ankietowe • Metody intuicyjne • Metody kolejnych przybliżeń • Metoda ekspertyz • Metoda delficka • Metoda refleksji • Metody analogowe • Inne • Modele wielorównaniowe: • prosty • rekurencyjny • o równaniach współzależnych Modele jednorównaniowe • Klasyczne modele trendu • Adaptacyjne modele trendu • Modele przyczynowo-opisowe • Modele autoregresyjne Metody prognozowania

10. Metody prognozowania Prognozowanie na podstawie modelu matematyczno-statystycznego to prognozowanie ilościowe Prognozowanie na podstawie modeli niematematycznych, to zwykle prognozowanie jakościowe • Prognozy ilościowe dzielimy na: • punktowe, gdzie dla zmiennej prognozowanej wyznacza się jedną wartość dla T>n, • przedziałowe, w których wyznacza się przedział, w którym znajdzie się rzeczywista wartość zmiennej prognozowanej w prognozowanym okresie T>n.

11. Prognozowanie Bazą danych do modelu zmiennej prognozowanej (1) yt=F(t,et)lub (2) yt=F(x1t, x2t,...,xkt,et) jest szereg czasowy w postaci: Prognozy zmiennej prognozowanej yt wyznaczamy na okres T > n Prognozę na okres T będziemy oznaczać YT*

12. Horyzont czasowy prognoz Prognoza krótkookresowa to prognoza na taki przedział czasowy, w którym zakłada się istnienie tylko zmian ilościowych. Prognozy takie wyznacza się przez ekstrapolację dotychczasowych związków (na podstawie modeli ekonometrycznych lub trendów) Prognoza średniookresowa dotyczy okresów czasu, w których oczekuje się zmian ilościowych oraz ewentualnie niewielkich zmian jakościowych. Prognoza musi uwzględniać oba typy zmian, musi przynajmniej umiarkowanie odchodzić od ekstrapolacji Prognoza długookresowa dotyczy przedziału czasu, w którym mogą występować zmiany ilościowe oraz znaczące zmiany jakościowe

13. Modele ilościowe • Prognozę na okres T > n można postawić wykorzystując model F (1) lub(2) jeśli spełnione są następujące założenia: • funkcja F wyraża pewną prawidłowość ekonomiczną, która jest stabilna w czasie (nie spodziewamy się żadnych zmian jakościowych), • składnik losowy et jest stabilny, • w przypadku modelu ekonometrycznego znane są wartości zmiennych objaśniających w okresie T > n, czyli znane są wartości prognoz X1T*,X2T*,...,XkT*, • dopuszczalna jest ekstrapolacja modelu poza próbę, czyli poza obszar zmienności zmiennych objaśniających, jak i zmiennej (zmiennych) objaśnianej.

14. Y A t Analiza danych w szeregu czasowym • Analiza danych polega na: • Wyodrębnieniu obserwacji odstających • Stwierdzeniu braku lub istnienia trendu

15. Obserwacje odstające • Po wyodrębnieniu obserwacji odstających należy ustalić: • Czy dana obserwacja pojawiła się w skutek błędu rejestracji danych, • Czy obserwacja pojawiła się w skutek jednokrotnego zjawiska zewnętrznego wpływu (np. realizacja pewnego dużego jednokrotnego zamówienia, o którym wiemy, że nie nastąpi już w przyszłości), • Czy obserwacja pojawiła się jako normalne wahanie losowe (przypadkowe) w próbie. W przypadku 1. oraz 2. obserwację A można pominąć, a brakującą wartość uzupełnić średnią arytmetyczną z obserwacji poprzedniej i następnej. W przypadku 3. obserwacja powinna pozostać w bazie danych statystycznych.

16. Błąd prognozy • Po wyborze modelu prognostycznego F można wyznaczyć prognozy dla T>n: • YT*=F(T)lub (2) YT*=F(x1T*, x2T*,...,xkT*) • wraz z prognozą YT* należy wyznaczyć miernik dokładności prognozy Przy wyborze modelu prognostycznego należy dążyć do osiągnięcia zadowalającego poziomu miernika dokładności • Wyróżniamy dwa typy mierników: • błąd ex post • błąd ex ante Błąd prognozy można zapisać jako Bt = yt – Yt* gdzie Yt* to wartość prognozy zmiennej Y na okres t, wyznaczona na podstawie modelu F, a yt to rzeczywista wartość zmiennej prognozowanej w okresie t.

17. Błąd ex ante wyznacza się dla modeli liniowych, których parametry oszacowano Metodą Najmniejszych Kwadratów (MNK). Niech model ma postać: dla t = 1, 2, …n. to po oszacowaniu MNK jego parametrów model teoretyczny przyjmuje postać: dla t = 1, 2, …n. w zapisie macierzowym: Dopuszczalność prognozy: błąd ex ante

18. Gdzie w zapisie macierzowym: oraz Dopuszczalność prognozy (2)

19. Prognozę na okres T > n można wyznaczyć ze wzoru: gdzie: X*1T, X*2T,…X*kTto prognozyzmiennych objaśniającychX1, X2,…Xkw okresie T>n cow zapisie macierzowym: gdzie: Dopuszczalność prognozy (3)

20. Błąd ex ante to odchylenie standardowe błędu BT prognozy Y*T na okres T. Błąd ex ante oznacza się przez V*T: gdzie Se to odchylenie standardowe reszt modelu liniowego. Względny błąd ex ante prognozy Y*T: który informuje jaką część prognozy stanowi błąd ex ante Błąd ex ante

21. Błąd ex post może być wyznaczony dla wszystkich modeli ilościowych. Jeśli t będzie okresem, na który postawiono prognozę Y*t i okres ten już minął, to znana jest wartość rzeczywista Yt zmiennej prognozowanej. Taką prognozę Y*t nazywać będziemy prognozą wygasłą. Dla prognoz wygasłych można wyznaczyć błąd ex post. • Rozróżniamy: • względny błąd prognozy (procentowy): • absolutny błąd prognozy: • względny absolutny błąd prognozy (procentowy): • kwadratowy błąd prognozy: • względny kwadratowy błąd prognozy: Trafność prognozy – błąd ex post (1)

22. Trafność prognozy – błąd ex post (2) • Do oceny trafności prognoz wygasłych (a a więc dopasowania modelu prognostycznego F do danych o zmiennej prognozowanej Y można wykorzystać następujące błędy: • średni absolutny błąd ex post prognoz wygasłych • średni względny absolutny błąd ex post prognoz wygasłych • średni błąd ex post prognoz wygasłych • średni względny błąd ex post prognoz wygasłych • średni kwadratowy błąd ex post prognoz wygasłych • pierwiastek średniego kwadratowego błędu ex post prognoz wygasłych • współczynnik Theila Do badania aktualności modelu prognostycznego – możemy użyć współczynnika Janusowego

23. Oznaczmy przez • M zbiór numerów okresów/momentów, w których weryfikujemy trafność prognoz wygasłych wyznaczonych za pomocą modelu • card M – liczebność zbioru M.

24. Średni absolutny błąd ex post prognoz wygasłych MAE

25. Średni względny absolutny błąd ex post prognoz wygasłych MAPE(procentowy)

26. Średni błąd ex post prognoz wygasłych ME

27. Średni względny błąd ex post prognoz wygasłych MPE

28. Średni kwadratowy błąd ex post prognoz wygasłych MSE

29. Pierwiastek średniego kwadratowego błędu ex post prognoz wygasłych RMSE

30. Współczynnik Theila (1)

31. Współczynnik Theila (2) Wyraża wielkość błędu z powodu nieodgadnięcia średniej wartości zmiennej prognozowanej (nieobciążoności prognozy). Wartości średnie wyznaczane są dla wartości yt takich, że ,

32. Współczynnik Theila (3) Wyraża wielkość błędu z powodu nieodgadnięcia wahań zmiennej prognozowanej (niedostatecznej elastyczności)

33. Współczynnik Theila (4) Wyraża wielkość błędu z powodu nieodgadnięcia kierunku tendencji rozwojowej zmiennej prognozowanej (niedostatecznej zgodności prognoz z rzeczywistym kierunkiem zmian zmiennej prognozowanej) to współczynnik korelacji pomiędzy wartościami yt i Yt* dla

34. Współczynnik Janusowy P – zbiór numerów okresów/momentów, dla których postawiono prognozy za pomocą modelu i stały się one prognozami wygasłymi, card P – liczebność zbioru P, K to zbiór numerów okresów/momentów dla których zbudowano model i wyznaczono prognozy wygasłe, Card K – liczebność zbioru K Jeżeli J2≤ 1, to model jest nadal aktualny i może być użyty do prognozowania na następne okresy.

35. Prognozowanie na podstawie szeregów czasowych • Składowe szeregu czasowego: • Składowa systematyczna • Składowa przypadkowa • Składowa systematyczna: • Trend (tendencja rozwojowa) – długookresowa skłonność do jednokierunkowych zmian wartości badanej zmiennej, • Stały przeciętny poziom prognozowanej zmiennej – wartości oscylują wokół stałego poziomu, • Wahania cykliczne – długookresowe, powtarzające się rytmicznie w przedziałach czasu dłuższych niż rok, wahania wartości zmiennej wokół trendu lub stałego poziomu, • Wahania sezonowe – wahania wartości zmiennej wokół trendu lub stałego poziomu w przedziałach czasu nie przekraczających roku.

36. Dekompozycja szeregu czasowego Proces wyodrębniania poszczególnych składowych szeregu czasowego Ocena wzrokowa sporządzonego wykresu Identyfikacja poszczególnych składowych szeregu czasowego na podstawie wykresów szeregu czasowego Analiza autokorelacji Oblicza się wartości współczynników korelacji między yt oraz yt-i (dla i=1,2,...,k), czyli współczynniki autokorelacji różnych rzędów. Bada się statystyczną istotność tych współczynników. Jeśli współczynniki dla kilku pierwszych rzędów są duże i statystycznie istotne, to wskazuje to na występowanie trendu. Jeśli występuje statystycznie istotny współczynnik autokorelacji rzędu równego liczbie faz cyklu sezonowego, to wskazuje to na występowanie wahań sezonowych.

37. Ocena wzrokowa (1)

38. Ocena wzrokowa (2)

39. Ocena wzrokowa (3)

40. Ocena wzrokowa (4)

41. Modele szeregów czasowych ze stałym poziomem zmiennej prognozowanej bez wahań okresowych (1) Metoda naiwna metodę można stosować w przypadku niskiej zmienności zmiennej prognozowanej – zazwyczaj, w sytuacjach, gdy współczynnik zmienności nie przekracza 10% Metoda średniej ruchomej ważonej k-elementowej Stałą wygładzania k ustala się na podstawie najmniejszego błędu prognoz wygasłych, wagi wi ustala prognosta na podstawie wiedzy o zmiennej prognozowanej Y. Jeśli przyjmie się to metodę nazywamy metodą średniej ruchomej k-elementowej.

42. Modele szeregów czasowych ze stałym poziomem zmiennej prognozowanej (2) Prosty model wygładzania wykładniczego dla t =2, 3,…n. model można stosować jeśli szereg nie cechuje zbyt silna zmienność (wahania przypadkowe nie są zbyt duże). Stałą wygładzania a wyznacza się eksperymentalnie na podstawie wybranego kryterium, jakie powinny spełniać prognozy wygasłe. Do wyboru modelu prognostycznego (prognozy) można wykorzystać analizę błędów ex post prognoz wygasłych

43. Modele szeregów czasowych z tendencją rozwojową zmiennej prognozowanej bez wahań okresowych(1) Modele analityczne stosuje się do prognozowana zjawisk, które charakteryzowały się w przeszłości regularnymi zmianami, które można opisać za pomocą funkcji czasu i wobec których zakłada się niezmienność kierunku trendu. • Wybór postaci analitycznej modelu dokonuje się na podstawie: • przesłanek teoretycznych dotyczących mechanizmu rozwojowego prognozowanego zjawiska, • oceny wzrokowej wykresu przeszłych wartości zmiennej, • dopasowania modelu do wartości rzeczywistych zmiennej prognozowanej.

44. Modele szeregów czasowych z tendencją rozwojową zmiennej prognozowanej (2) Do oceny dopasowania modelu liniowego, którego parametry oszacowano MNK, do wartości empirycznych można się posłużyć: a) współczynnikiem determinacji: b) standardowym błędem szacunku modelu (odchyleniem standardowym reszt): gdzie: k– oznacza liczbę zmiennych objaśniających w modelu

45. Modele szeregów czasowych z tendencją rozwojową zmiennej prognozowanej (3) Model trendu liniowego (lub zlinearyzowanego) przedstawia się w następujący sposób: Parametry strukturalne modelu można oszacować metodą najmniejszych kwadratów : Prognozę na okres T>nwyznacza się z wzoru:

46. Modele szeregów czasowych z tendencją rozwojową zmiennej prognozowanej (4) Do oceny dopuszczalności zbudowanych prognoz używa się błędów ex ante: a) dla modelu liniowego: b) dla modeli nieliniowych sprowadzalnych do liniowych poprzez transformację g: – zmienna określona transformacją liniową = g(y), to błąd ex ante prognozy zmiennej na okres T, a pochodna jest liczona w punkcie y*T

47. Modele szeregów czasowych z tendencją rozwojową zmiennej prognozowanej (5) Model trendu wielomianowego: Przekształcenie do postaci liniowej: podstawienie: Prognoza:

48. Modele szeregów czasowych z tendencją rozwojową zmiennej prognozowanej (6) Model trendu wykładniczego: Przekształcenie do postaci liniowej:

49. Modele szeregów czasowych z tendencją rozwojową zmiennej prognozowanej (7) Model trendu potęgowego: Przekształcenie do postaci liniowej:

50. Modele szeregów czasowych z tendencją rozwojową zmiennej prognozowanej (8) Model trendu logarytmicznego: Przekształcenie do postaci liniowej: