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第七节

第七节. 方向导数与梯度. 一、方向导数. 二、梯度. 三、物理意义. 2. 3. 1. 4. 5. ？. 6. 实例 ： 一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是 (1,1) ， (5,1) ， (1,3) ， (5,3) ．在坐标原点处有一处火焰，它使金属板受热．假定板上任意一点处的 温度与该点到原点的距离成反比 ．在 (3,2) 处有一个青蛙，问这只青蛙应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？. 问题的 实质 ：应沿由热变冷变化最骤烈的方向（即 梯度方向 ）爬行．. 讨论函数 在一点 P 沿 某一方向的变化率 。.

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第七节

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Presentation Transcript

  1. 第七节 方向导数与梯度 一、方向导数 二、梯度 三、物理意义

  2. 2 3 1 4 5 ？ 6

  3. 实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)．在坐标原点处有一处火焰，它使金属板受热．假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比．在(3,2)处有一个青蛙，问这只青蛙应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)．在坐标原点处有一处火焰，它使金属板受热．假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比．在(3,2)处有一个青蛙，问这只青蛙应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？ 问题的实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方向（即梯度方向）爬行．

  4. 讨论函数 在一点P沿某一方向的变化率。 设函数 在点 的某一邻域内有定义, 设 x 轴与射线 l 的夹角为 ， 并设 为 l上 的另一点且 一、方向导数 自P 点引射线 l.

  5. 考虑 当 沿着 趋于 时， 是否存在？

  6. 依定义, 函数 在点P 沿x轴正向 沿 y 轴正向 的方向导数 存在， 如果极限 定义 则称该极限为函数在点 P 沿方向 l的方向导数. 记作 的方向导数 沿 x轴负向和 y 轴负向的方向导数分别是

  7. 两边同除以 其中 为方向 l 的方向角． 定理　如果函数 在点 可微分， 那么函数在该点沿任意方向 l 的方向导数都存在， 且有 证明 由于函数可微，则增量可表示为 得到

  8. 故有方向导数

  9. 这里方向 即为 , • 例1 求函数 在点 处沿从点 • 到点 的方向的方向导数. 解 所求方向导数

  10. 例2 求函数 在点(1,1)沿 与 x 轴夹角为 的射线 的方向导数. 并问在 怎样的方向上此方向导 数有 （1）最大值； （2）最小值； （3）等于零？ 解

  11. 方向导数达到最大值 (1) 当 时， 驻点有： 故 方向导数达到最小值 (2) 当 时， 方向导数等于0. (3) 当 时，

  12. 在点P(2, 3)沿曲线 例3. 求函数 朝 x增大方向的方向导数. 解: 将已知曲线用参数方程表示为 它在点 P的切向量为

  13. 沿着方向 l 的方向导数 ，可定义为 方向 l (方向角为 )的方向导数都存在, 且 推广可得三元函数方向导数的定义 对于三元函数 ，它在空间一点 （ 其中 ） 同理:当函数在此点可微时，函数在该点沿任意

  14. 例4. 求函数 解: 向量l的方向余弦为 在点P(1, 1, 1) 沿向量 的方向导数 .

  15. 例5 设 是曲面 在点 处的指向外侧的法向量，求函数 在此处沿方向 的方向导数. 解 令 故 方向余弦为

  16. 故

  17. 例6.考察函数 在原点处沿任意射线方向 l的方向导数及偏导数 不存在!

  18. 同理： 不存在! 注意: (1) 例4中只能按照定义来求方向导数. (2) 沿任意方向的方向导数存在不能保证 偏导数存在，反之亦然。 方向导数存在 可微 偏导数存在

  19. l P 二、梯度 问题：函数在点P 沿哪一个方向增加的速度最快？ 由方向导数公式知 时， 称 为梯度.

  20. 定义 设函数 在区域D内具有一阶连续偏导数，则对于每一点 ，都可定 出一个向量 向量G 称为函数 在点 的梯度，记为 其中 称为向量微分算子或 Nabla算子. 处的梯度 在点 同样可定义二元函数

  21. ( 为方向l 上的单位向量) 梯度的性质： 沿梯度的方向是函数值增长最快的方向， 且沿梯度方向的方向导数等于梯度的模. 沿负梯度的方向是函数值减小最快的方向 (运筹学中优化算法的基础) 说明: 函数的方向导数为梯度在该方向上的投影:

  22. 2. 梯度的几何意义 在几何中， 表示一个曲面，该曲面被 平面 所截得曲线 称为函数 f的等值线或等高线 . 等高线 等温线

  23. 播放 等值线的画法

  24. 则L*上点P 处的法向量为 设 不同时为零， 因此，函数在一点的梯度垂直于该点的等值线, 指向函数值增大的方向. 同样, 称为 的等值面 当其各偏导数不同时为零时, 其上点 P (等量面). 处的法向量为

  25. 例如：函数

  26. 例7 求函数 在点 (1,1,2) 处的梯度，并问在 哪些点处梯度为零？ 解 由梯度计算公式得 故 在 处梯度为 0。

  27. 例8. 设函数 在点 P(1,1,1)处的切平面方程. • 求等值面 (2) 求函数 f 在点 P(1,1,1)沿增加最快方向的方向导数. 解: (1) 点P处切平面的法向量为 故所求切平面方程为 即 (2) 练习

  28. 3. 梯度的基本运算公式 ( c 为常数)

  29. 处矢径 r 的模 , 为点 例9. 设f (r)可导， 试证 证:

  30. 三、物理意义 (物理量的分布) 梯度场 数量场(数性函数) 如: 温度场, 电势场等 函数 场 向量场(矢性函数) 如: 力场,速度场等 可微函数 (向量场) ( 势 ) 注意: 任意一个向量场不一定是梯度场.

  31. 例10. 已知位于坐标原点的点电荷 q 在任意点 处所产生的电势为 场强 试证 证: 利用例5的结果 这说明 场强: 垂直于等势面, 且指向电势减少的方向.

  32. 内容小结 (方向角为 (方向角为 1. 方向导数 在点 沿方向 l • 三元函数 的方向导数为 沿方向 l • 二元函数 在点 的方向导数为

  33. 2. 梯度 • 三元函数 在点 处的梯度为 方向: f 变化率最大的方向 • 梯度的特点 模: f 的最大变化率之值 3. 关系 方向导数存在 可微 偏导数存在

  34. 思 考 与 练 习

  35. 1. 函数 在点 处的 梯度 (92 考研) 解: 则 注意 x , y , z具有轮换对称性

  36. 在点A( 1 , 0 , 1) 处沿点A 2. 函数 (96考研) 指向 B( 3, －2 , 2) 方向的方向导数是 . 提示: 其单位向量为

  37. 作 业 • P108. 2，3，6，7，8，10 提交时间：2012年3月12日上午8:00

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