Dane INFORMACYJNE (do uzupełnienia)

2. Dane INFORMACYJNE (do uzupełnienia) • Nazwa szkoły: • Gimnazjum nr 1 im. Żołnierzy Armii Krajowej w Gryficach • ID grupy: • 98/22_mf_g1 • Kompetencja: • Matematyczno-Fizyczna • Temat projektowy: • „Fotografując uczymy się geometrii” • Semestr/rok szkolny: • II/ 2010/2011

3. Dwusieczna kąta.

4. Definicja Zbiór punktów płaszczyzny/przestrzeni leżących w równej odległości od ramion kąta płaskiego / ścian kąta dwuściennego.

5. Własności • Dwusieczna kąta płaskiego to prosta (dla kąta dwuściennego - płaszczyzna) przechodząca przez wierzchołek kąta (dla kąta dwuściennego przez krawędź) i dzielącą go na dwa kąty przystające (stąd nazwa: dwu-sieczna = krojąca na połowy). • Dwusieczna jest jedyną osią symetrii kąta.

6. W każdym kącie płaskim dwusieczną można skonstruować cyrklem i linijką.

7. Podstawowe twierdzenia • Dwusieczne kątów trójkąta przecinają się w jednym punkcie (w środku okręgu wpisanego w trójkąt).

8. Dwusieczna • Dowód. Dwusieczne dwóch kątów trójkąta nie są równoległe, więc przecinają się. Oznaczmy punkt ich przecięcia przez P. P leży na dwusiecznej kąta C, więc w równych odległościach od boków a i b. P leży też na dwusiecznej kąta B, zatem w równych odległościach od boków a i c. Skoro P leży w tej samej odległości od boków b i c, to leży na dwusiecznej kąta A, jest więc punktem wspólnym trzech dwusiecznych.

9. Podstawowe twierdzenia cd. • Dwusieczne kątów czworokąta wypukłego przecinają się w jednym punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości przeciwległych boków tego czworokąta są równe.

10. Symetralna odcinka • Prosta prostopadła do danego odcinka i przechodząca przez jego środek.  • Równoważnie - prosta będąca zbiorem punktów równo oddalonych od obu końców odcinka. Poprawność drugiej definicji wynika z twierdzenia mówiącego, że taki zbiór punktów faktycznie tworzy prostą

11. Symetralna jest jedną z dwóch osi symetrii odcinka.

12. własności • Tylko w niektórych czworokątach symetralne przecinają się w jednym punkcie np. kwadracie, rombie... • Symetralne boków trójkąta przecinają się w jednym punkcie, który jest równo oddalony od jego wierzchołków. • Wszystkie punkty leżące na symetralnej odcinka są równo oddalone od jego końców.

13. Rzuty figur przestrzennych na płaszczyznę. • Geometria wykreślna to powstały pod koniec XVIII w. dział geometrii zajmujący się sposobami przedstawiania figur przestrzennych na płaszczyźnie. W odróżnieniu od geometrii teoretycznej jest nauką stosowaną, użyteczną w wielu dziedzinach techniki. Z niej wywodzi się m.in. rysunek techniczny maszynowy.

14. cd. • Obrazowanie figur przestrzennych możliwe jest dzięki rzutom Monge'a. Ichidea polega na przedstawieniu przestrzeni trójwymiarowej z dwóch różnych kierunków widzenia (rzutowania). Dzięki temu położenie obiektów geometrycznych takich jak punkt i większości prostych staje się jednoznaczne i możliwe do odwzorowania na kartce papieru.

15. cd. • Najczęściej stosowane są rzuty prostokątne (kierunek rzutowania jest prostopadły do rzutni) i prostopadłe (kierunki rzutowania są prostopadłe względem siebie). Tak uzyskane rzuty umownie nazywa się widokiem z góry i widokiem z boku. Możliwe jest wprowadzanie dodatkowych rzutni, o dowolnym usytuowaniu w celu ułatwienia, bądź przeprowadzenia konstrukcji

17. cd. Rzut – w geometrii odwzorowanie przestrzeni euklidesowej trójwymiarowej na daną powierzchnię zwaną rzutnią, które każdemu punktowi przestrzeni przypisuje punkt przecięcia się z rzutnią pewnej prostej z danej rodziny prostych rzutujących przechodzącej przez punkt .

18. W zależności od definicji rodziny prostych rzutujących wyróżnia się rzuty: • rzut równoległy – wszystkie proste rzutujące są równoległe do obranego kierunku • prostokątny – kierunek rzutowania jest prostopadły do rzutni • ukośny – kierunek rzutowania nie jest prostopadły do rzutni • aksonometria – dostosowanie kierunku rzutowania i orientacji rzutni do kształtu rzutowanego obiektu • rzut środkowy (perspektywa) – wszystkie proste rzutujące przechodzą przez pewien punkt zwany środkiem rzutu

19. rzutnia Rzutnia jest najczęściej płaszczyzną, choć stosuje się również rzuty na powierzchnię kuli, walca, stożka i inne.

20. Rzut można także rozumieć jako funkcję odwzorującą płaszczyznę na pewną jej prostą (będącą rzutnią) i ogólniej jako funkcję odwzorującą n-wymiarową przestrzeń euklidesową na pewną jej hiperpłaszczyznę.

21. Rzuty figur

22. GRANIASTOSŁUPY I OSTROSŁUPY PRAWIDŁOWE

23. Graniastosłupy • Graniastosłup (wielościan) jest figurą przestrzenną, której obie podstawy są równoległymi wielokątami przystającymi, a ściany boczne są równoległobokami. Krawędzie boczne graniastosłupa są równoległe i mają jednakową długość.

24. Wśród graniastosłupów wyróżniamy: • Graniastosłupy pochyłe Podstawy graniastosłupów pochyłych są równoległe, a krawędzie boczne nie są prostopadłe do podstaw. • Graniastosłupy prosteKrawędzie boczne graniastosłupów prostych są prostopadłe do obydwóch podstaw. • Ze względu na kształt podstawy wyróżniamy graniastosłupy: trójkątne, czworokątne, pięciokątne itd.

25. Graniastosłupem prawidłowym nazywamy taki graniastosłup, którego podstawą jest wielokąt foremny (trójkąt równoboczny, kwadrat, pięciokąt foremny, sześciokąt foremny...). Graniastosłup prawidłowy

26. Graniastosłup prawidłowy • ProstopadłościanProstopadłościanem nazywamy graniastosłup prosty, którego wszystkie ściany są prostokątami.a, b - krawędź podstawyH - wysokość prostopadłościanu (krawędź boczna)c - przekątna podstawyx - przekątna ściany bocznejd - przekątna prostopadłościanu

27. SześcianSześcianem nazywamy prostopadłościan, który ma wszystkie krawędzie równej długości. Jego wszystkie ściany są kwadratami.a - krawędź sześcianu,c - przekątna podstawy i ściany bocznej (w sześcianie są równe)d - przekątna sześcianuSześcian jest szczególnym przypadkiem prostopadłościanu. Graniastosłup prawidłowy

28. Graniastosłup prawidłowy trójkątnyGraniastosłupem prawidłowym trójkątnym nazywamy graniastosłup, którego podstawą jest trójkąt równoboczny, a jego ściany boczne są przystającymi (równymi) prostokątami.a - krawędź podstawyH - wysokość graniastosłupah - wysokość podstawyc - przekątna ściany bocznej Graniastosłup prawidłowy

29. Graniastosłup prawidłowy • Graniastosłup prawidłowy czworokątnyGraniastosłupem prawidłowym czworokątnym nazywamy graniastosłup, którego podstawą jest kwadrat, a jego ściany boczne są przystającymi (równymi) prostokątami.a - krawędź podstawyH - wysokość graniastosłupac - przekątna podstawyd - przekątna graniastosłupax - przekątna ściany bocznej

30. Ostrosłupy • Ostrosłupem nazywamy wielościan, którego jedna ściana, zwana podstawą ostrosłupa, jest dowolnym wielokątem, a pozostałe ściany, nazywane ścianami bocznymi ostrosłupa, są trójkątami o wspólnym wierzchołku.

31. Ostrosłupy • Przekrojem ostrosłupa nazywamy część wspólną ostrosłupa i płaszczyzny (przekrój poprzeczny - płaszczyzna przecina wszystkie krawędzie boczne, przekrój przekątny - płaszczyzna przechodzi przez dwie krawędzie nie należące do jednej ściany).

32. Ostrosłup nazywamy ostrosłupem prawidłowym, gdy jego podstawą jest wielokąt foremny i spodek wysokości ostrosłupa jest środkiem okręgu opisanego na podstawie. Jeżeli ostrosłup jest prawidłowy, to wszystkie jego krawędzie boczne są równe, wszystkie kąty nachylenia krawędzi bocznych do płaszczyzny podstawy mają równe miary, wszystkie ściany boczne są przystającymi trójkątami równoramiennymi. Ostrosłupy

33. Ostrosłupy Czworościanem foremnym nazywamy ostrosłup prawidłowy trójkątny, którego wszystkie ściany są trójkątami równobocznymi. H - wysokość czworościanu, a - krawędź czworościanu

34. Ostrosłupy Ostrosłupem ściętym nazywamy część Ostrosłupa zawartą między jego podstawą i przekroje płaszczyzną równoległą do podstawy wraz z tą płaszczyzną. Ściany boczne ostrosłupa ściętego są trapezami. Podstawy ostrosłupa ściętego są wielokątami podobnymi.

35. Długości okręgu i jego łuku.

36. Wzór na długość okręgu • Wzór na długość okręgu: l=2*pi*r. Wzór na pole koła: pi*r^2. Pi jest w przybliżeniu równe 3,14. Na pierwszym rysunku jest okrąg o promieniu r, a na drugim koło o promieniu r.

37. Zastosowanie wzoru:

38. Długość łuku • Na pierwszym rysunku jest okrąg i dwa promienie tworzące kąt alfa. Wyznaczają one łuk okręgu. Długość tego łuku można policzyć ze wzoru iloraz miary kąta alfa przez 360 stopni razy 2*pi*r. Na drugim rysunku jest koło i dwa promienie tworzące kąt alfa. Wyznaczają one wycinek koła. Pole tego koła można wyliczyć ze wzoru iloraz miary kąta alfa przez 360 stopni razy pi*r^2. Pi w przybliżeniu jest równe 3,14. Na trzecim rysunku jest również koło i dwa promienie tworzące kąt alfa. Jeżeli połączymi końce promieni odcinkiem wyznaczymy w ten sposób odcinek koła. Pole tego odcinka liczymy odejmując od pola wycinka koła pole trójkąta jaki tworzą promienie i odcinek łączący końce promieni

39. Jak to wygląda w praktyce:

40. Figury, które mają oś symetrii i figury, które mają środek symetrii.

41. Oś symetrii figury jest prostą, względem której ta figura jest do siebie osiowo symetryczna. Oś symetrii dzieli figurę na dwie przystające części. Oś symetrii:

42. Trójkąt równoramienny: Przykłady figur z jedną osią symetrii:

43. Trapez równoramienny: Przykłady figur z jedną osią symetrii:

44. Romb: Przykłady figur z dwiema osiami symetrii:

45. Odcinek: Przykłady figur z dwiema osiami symetrii:

46. Prostokąt: Przykłady figur z dwiema osiami symetrii:

47. Wieża Eiffla Inne mające osie symetrii

48. Flaga Wielkiej Brytanii Inne mające osie symetrii

49. Odbicie w jeziorze Inne mające osie symetrii

50. Motyl Inne mające osie symetrii