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1. 範例：

1. 範例：. 解：. 將 x =  8 ， z = 3 代回  得 y =  7 。. 故方程組的解為 ( x , y , z ) = (  8 ,  7 , 3 ) 。. Let’s do an exercise !. 馬上練習. 解：. 將 x = 2 ， z =  3 代回  得 y = 1 。. 故方程組的解為 ( x , y , z ) = ( 2 , 1 ,  3 ) 。. ＃. 2. 範例：. 解：. 故此方程組無解。.

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1. 範例：

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Presentation Transcript

  1. 1.範例： 解： 將x = 8， z = 3代回 得 y = 7。 故方程組的解為 (x, y, z) = (8 , 7 , 3)。 Let’s do an exercise !

  2. 馬上練習. 解： 將x = 2，z = 3代回 得 y = 1。 故方程組的解為 (x, y, z) = (2 , 1 , 3)。 ＃

  3. 2.範例： 解： 故此方程組無解。 得 x = 1 z= 1 t， 令 z = t，代回 x + z = 1 將 z = t，x =  1 t，代回  得 y = 3  x  3z = 3  (1t)  3t= 4 2t， 方程組有無限多組解 Let’s do an exercise !

  4. 馬上練習. 解： 故此方程組無解。 將x = 2，代回方程組得 令 z = t方程組有無限多組解 ＃

  5. 3. 範例：求通過 A(1, 1)，B(1, 1)，C(2, 1) 三點的圓方程式。 解：設所求的圓方程式為 x2 + y2 + dx + ey + f = 0， 將d = 1， f = 3代回 得 e = 0。 故所求為 x2 + y2 + x  3 = 0。 Let’s do an exercise !

  6. 馬上練習. 設二次函數的圖形 f(x) = ax2 + bx + c 通過 A(1, 1)，B(2, 3)，C(3, 7) 三點，試求 a、b、c 的值。 解： 將a = 1， b = 1代回 得 c = 1。 故所求 a = 1， b = 1， c = 1。 ＃

  7. 4.範例：一礦物內含 A、B、C 三種放射性物質，放射出同一種輻射。 已知A、B、C每公克分別會釋放出1單位、2單位、1單位的輻射強度， 又知 A、B、C 每過半年其質量分別變為原來質量的 於一年前測得此礦物的輻射強度為 66 單位， 而半年前測得此礦物的輻射強度為 22 單位， 且目前此礦物的輻射強度為 8 單位， 則目前此礦物中 A、B、C 物質之質量分別為多少公克? 解：設目前此礦物中 A 、B 、C 物質之質量分別為 x、y、z 公克， 則半年前此礦物中 A 、B 、C 物質之質量分別為 2x、3y、4z 公克， 一年前此礦物中A 、B 、C 物質之質量分別為 4x、9y、16z 公克， Let’s do an exercise ! 故目前 A 為 4 公克，B 為 1 公克， C 為 2 公克。

  8. 馬上練習：相傳包子是三國時白羅家族發明的。孔明最喜歡吃他們馬上練習：相傳包子是三國時白羅家族發明的。孔明最喜歡吃他們 所做的包子，因此白羅包子店門庭若市，一包難求，必須一大早 去排隊才買得到。事實上，白羅包子店只賣一種包子， 每天限量供應 999 個，且規定每位顧客限購三個； 而購買一個、兩個或三個包子的價錢分別是 8、15、21 分錢。 在那三國戰亂的某一天，包子賣完後，老闆跟老闆娘有如下的對話： 老闆說：「賺錢真辛苦，一個包子成本就要 5 分錢， 今天到底賺了多少錢?」 老闆娘說：「今天共賣了 7195 分錢，只有 432 位顧客買到包子。」 (1) 請問當天白羅包子店淨賺多少錢？ (2) 聰明的你，請幫忙分析當天購買一個、兩個及三個包子 的人數各是多少人? To be continued  詳解

  9. 每天限量供應 999 個，且規定每位顧客限購三個； 而購買一個、兩個或三個包子的價錢分別是 8、15、21 分錢。 老闆說：「賺錢真辛苦，一個包子成本就要 5 分錢， 老闆娘說：「今天共賣了 7195 分錢，只有 432 位顧客買到包子。」 (1) 請問當天白羅包子店淨賺多少錢？ (2) 當天購買一個、兩個及三個包子的人數各是多少人? 解：(1) 一個包子成本 5 分錢，每天賣 999 個，共賣了 7195 分錢  2200 分錢。 所以淨賺 7195  5  999 (2) 設買一個有 x 人，買二個有 y 人，買三個有 z人， 將 y 107， z  230，代回 得 x 95， 故買一個有 95 人，買二個有 107 人，買三個有 230 人。 ＃

  10. 5. 範例： 除了(x, y, z) = (0, 0, 0) 外，尚有其它解， (1) 求 k 之值。 (2) 求 (x2)2 + y + z 的最小值。 解： 注意： To be continued  (2)

  11. (2) 求 (x2)2 + y + z 的最小值。 解： 故所求最小值為 3。 ＃

  12. 二 、克拉瑪公式的解 1. 二元一次方程組的解 證明： To be continued  方程組的解

  13. 方程組的解討論如下： 兩直線恰交於一點 0 (克拉瑪公式) x、y其中有一不為 0 兩直線平行 方程組無解 =0 x= y=0 兩直線重合 方程組有無限多組解 本段結束

  14. 2.範例： 解： Let’s do an exercise ! 馬上練習： 解： ＃

  15. ◎ 3. 三元一次方程組的解 由代入消去法化簡，消去 y、z可得 x  x = To be continued 

  16.  x = x  y = y  z = z 因此方程組 (*) 的解如下所示： To be continued  方程組的解

  17. 因此方程組(*)的解如下所示： (克拉瑪公式)  0 方程組(*)無解 x、y、z其中有一不為 0 = 0 x=y=z= 0 方程組(*)無解或有無限多組解 本段結束

  18. ◎ 三、三平面幾何關係的代數判定 1. 三平面的 8 種相交情形： To be continued  (1) (2)

  19. (1) 當 0 時，此方程組恰有一組解 (2) 當 = 0 時， 有無限多組解或無解。 L 注意：當 0時，三平面只有 1種相交情形， E2 E1 即恰交於一點。(見附錄2) E3 當 = 0時，三平面共有 7種相交情形。 恰交於一點 三平面共有 8 種相交情形，討論如下： To be continued  平面的幾何關係

  20. 圖形 判別式 三法向量 方程組 L 不共平面 有唯一解 (x, y, z) = 三法向量 所成平行 六面體體積 不為0 E2 E1  0 恰交於一點 E3 E1 E3 交於二平行直線 E2 = 0 共平面 方程組無解 且 x、y、z 三法向量 所成平行 六面體體積 為0 其中有一不為 0 E3 E1 E2 交於三平行直線 To be continued  =x=y=z=0

  21. 三法向量 方程組 圖形 判別式 E1 E1(E2 , E3) E3(E2) 三平面重合 方程組有 無限多組解 共平面 兩平面重合交 第三面平於一直線 三法向量 所成平行 六面體體積 為0 E1 E3 三相異平面 交於一直線 = 0 E2 且 x=y=z=0 E3 E3 共平面 方程組無解 E2 三法向量 所成平行 六面體體積 為0 E1(E2) E1 二平面重合且 平行第三平面 三平面平行 To be continued  八種相交情形

  22. L E1 E3 E2 E1 E1(E2 , E3) E3 E3 E2 E1 E2 三平面重合 交於三平行直線 交於二平行直線 恰交於一點 =x=y=z=0 無解 = 0 且 x、y、z 其中有一不為 0 = 0 且 x、y、z 其中有一不為 0 無解  0 無限多組解 恰有一解 E1 E1 E3 E3 E3 E3(E2) E2 E1(E2) E2 無解 E1 三相異平面 交於一直線 兩平面重合交 第三面平於一直線 無解 二平面重合且 平行第三平面 三平面平行 =x=y=z=0 =x=y=z=0 =x=y=z=0 =x=y=z=0 To be continued  三不平行平面 無限多組解 無限多組解

  23. L E1 E3 E2 E1 E1(E2 , E3) E3 E2 E3 E1 E2 三平面重合 交於二平行直線 交於三平行直線 恰交於一點 =x=y=z=0 = 0 且 x、y、z 其中有一不為 0 = 0 且 x、y、z 其中有一不為 0  0 恰有一解 無限多組解 無解 E1 E1 E3 E3 E3 E3(E2) E2 E1(E2) E2 E1 兩平面重合交 第三面平於一直線 三相異平面 交於一直線 二平面重合且 平行第三平面 三平面平行 本段結束 =x=y=z=0 =x=y=z=0 =x=y=z=0 =x=y=z=0

  24. 2. 範例：(1) 0， x=y=z=0 (2) = x=y=z=0 (3) =0， x、y、z其中有一不為 0 上述三種情形，可與下列何者符合? (甲) 交於一直線 (乙) 恰交於一點 (丙) 交於三平行直線 解：(甲) 交於一直線 有無限多解  = 0且 x = y = z = 0 符合 (2)。 (乙) 恰交於一點   0 符合 (1)。 (丙) 交於三平行直線 無解 符合 (3)。   = 0， x、y、z其中有一不為 0 ＃ 注意： (1) 當三平面交於一直線  = x= y= z= 0。(見附錄1) (2) 當三平面交於三平行直線 =0 ，但 x= y= z其中有一不為 0。(見附錄1) (3) 當三平面交於二平行直線 =0 ，但 x= y= z其中有一不為 0。(見附錄1)

  25. 3. 範例： 並說明三平面的相交情形。 解： E1 E3 E2 故不平行三平面相交於一直線 L。 Let’s do an exercise !

  26. 馬上練習. 並說明三平面的相交情形。 解： 方程組無解。 E3 E1 E2 故不平行三平面兩兩相交於三平行直線。 ＃

  27. 4.範例： 解： To be continued  方程式的解

  28. 4.範例： 解： (2) 若 = 0，且 x= y= z= 0，即 k = 1， 此時方程組即為方程式 x  y + z = 1的解， 方程組有無限多組解 ( x, y ,z ) = (s , t, 1  s + t ) ， s、t  R。 (3) 若 = 0，且 x、y、z其中有一不為 0， Let’s do an exercise !

  29. 馬上練習： 解： To be continued  方程式的解

  30. 馬上練習： 解： (2) 若 =0，且x= y= z= 0，即 k = 2， 即方程組有無限多組解 ( x, y, z ) = ( 5t , 14t , t )，t  R。 (3) 若 = 0，且 x、y、z其中有一不為 0， 本 節 結 束

  31. 結 束 離 開 23 ＃ 總複習 第九章 結束 本段結束 Let’s do an exercise ! To be continued  注 意 To be continued  範 例

  32. 二 、克拉瑪公式的解 1. 二元一次方程組的解 證明： To be continued  方程組的解

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