ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ -8

1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ-8

2. 10. Линейные однородные ДУ • Линейным ДУ (любого порядка) называется такое уравнение, в которое искомая функция у и её производные входят в первых степенях, т.е. имеет вид:

3. f(x)- свободный член уравнения Еслиf(x)=0, то ДУ называется однородным; Если f(x)≠0, то ДУ называется неоднородным.

4. 11. Линейные однородные ДУ II порядка с постоянными коэффициентами • Это такое уравнение, которое содержит в первой степени и коэффициенты при них- постоянные величины. (*)

5. Теорема 1. Если функция у=у1 – решение уравнения (*), то у=ау1, где а=const, также будет решением этого уравнения.

6. Теорема 2. Если функция у=у1 и у=у2 – решения уравнения (*), то и функция у=у1+у2 также является решением этого уравнения. При этом у1 и у2 называются линейно независимыми частными решениями.

7. Две функции у1 и у2 называются линейно зависимыми, если одна из них может быть получена умножением другой на какой-нибудь постоянный множитель; в противном случае частные решения называются линейно независимыми.

8. Пример 1. Например, и -линейно независимые функции, так как Например, и -линейно зависимые функции, так как

9. Теорема 3. Если у=у1 и у=у2 – линейно независимые частные решения уравнения (*), то общее решение его будет у=С1у1+С2у2 , где С1 и С2- произвольные постоянные величины.

10. Итак, для того, чтобы найти общее решение уравнения , имеющее вид , нужно найти два линейно независимых частных решения у1 и у2. Л.Эйлер предложил искать частное решение данного ДУ в виде

11. Чтобы найти значение к, при котором окажется решением ДУ , нужно подставить функцию и её производные в это уравнение: Тогда

12. Уравнение вида называется характеристическим уравнением для данного ДУ. Чтобы получить характеристическое уравнение, достаточно заменить

13. При решении квадратного уравнения могут получиться корни следующих видов: 1) действительные и различные (D>0) 2) действительные и равные (D=0) 3) комплексные (D<0)

14. 1. Корни действительные и различные (D>0). Частными линейно независимыми решениями ДУ будут функции:

15. Пример 2.Решить ДУ: Решение. Характеристическое уравнение: частные линейно независимые решения Ответ. Общее решение:

16. Пример 3.Решить задачу Коши: Решение. Характеристическое уравнение: частные линейно независимые решения

17. Общее решение: Найдём С1 и С2: Ответ. Частное решение:

18. 2. Корни действительные и равные (D=0). Частными линейно независимыми решениями ДУ будут функции:

19. Пример 4.Решить ДУ: Решение. Характеристическое уравнение: частные линейно независимые решения Ответ. Общее решение: или

20. Пример 5.Решить задачу Коши: Решение. Характеристическое уравнение: частные линейно независимые решения общее решение:

21. Общее решение: Найдём С1 и С2: Ответ. Частное решение: или

22. 3. Корни комплексные (D<0). Частными линейно независимыми решениями ДУ будут функции: где комплексные корни.

23. Пример 6.Решить ДУ: Решение. Характеристическое уравнение: частные линейно независимые решения Ответ. Общее решение:

24. Пример 7.Решить задачу Коши: Решение. Характеристическое уравнение: частные линейно независимые решения

25. Общее решение: Найдём С1 и С2: Ответ. Частное решение: