Тема: Косинус угла

1. Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе. Тема: Косинус угла А С В

2. Теорема • Косинус угла зависит только от градусной меры угла и не зависит от расположения и размеров треугольника. М М

3. Задача

4. Задача

5. Задача

6. Пифагор Самосский родился в 570 г. до н.э

7. Открытия пифагорейцев Пифагорейцами было сделано много важных открытий в арифметике и геометрии, в том числе: • теорема о сумме внутренних углов треугольника; • построение правильных многоугольников и деление плоскости на некоторые из них; • геометрические способы решения квадратных уравнений; • деление чисел на чётные и нечётные, простые и составные; введение фигурных, совершенных и дружественных чисел; • доказательство того, что корень из 2 не является рациональным числом; • создание математической теории музыки и учения об арифметических, геометрических и гармонических пропорциях и многое другое.

8. ТЕОРЕМА ПИФАГОРА Прямоугольный треугольник Гипотенуза с Катет b Катет a В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов c2 = a2 + b2

9. Теорема.В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

10. Алгебраическое доказательство C 2 2 2 B D Дано:ABC-прямоугольный треугольник Доказать:AB =AC +BCДоказательство:1) Проведем высоту CD из вершины прямого угла С.2) По определению косинуса угла соsА=AD/AC=AC/AB, отсюда следует AB*AD=AC3) Аналогично соsВ=BD/BC=BC/AB, значит, AB*BD=BC4) Сложив полученные равенства, получим: AC+BC=АВ*(AD + DB) AB =AC +BC A 2 2 2 2 2 2 2

11. Доказательтво теоремы Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетамиа, b и гипотенузойс (рис 1). Докажем, что с2 = а2 + b2. Достроим треугольник до квадрата со стороной (а+b) так, как показано на рис. 2. Площадь S этого квадрата равна (a+b)2. С другой стороны, этот квадрат составлен из четырёх равных прямоугольных треугольников, площадь каждого из них равна (1/2 аb ), и квадрата со стороной с, поэтому площадь квадрата S = 4(1/2ab) + c2 = 2ab + c2. Таким образом, (а + b)2 = 2аb + с2 a2 + 2ab +b2 = 2ab + c2. Откуда с2 = а2 + b2.                  ч.т.д. c a а b рис.1 a b a с b b с с a b с с b a рис.2

12. Доказательство Евклида Дано: ABC-прямоугольный треугольник Доказать: SABDE=SACFG+SBCHI                                           Доказательство: Пусть ABDE-квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника ABC, а ACFG и BCHI-квадраты, построенные на его катетах. Опустим из вершины C прямого угла перпендикуляр CP на гипотенузу и продолжим его до пересечения со стороной DE квадрата ABDE в точке Q; соединим точки C и E, B и G. Очевидно, что уголы CAE=GAB(=A+90°); отсюда следует, что треугольники ACE и AGB(закрашенные на рисунке) равны между собой (по двум сторонам и углу, заключённому между ними). Сравним далее треугольник ACE и прямоугольник PQEA; они имеют общее основание AE и высоту AP, опущенную на это основание, следовательно SPQEA=2SACE Точно так же квадрат FCAG и треугольник BAG имеют общее основание GA и высоту AC; значит, SFCAG=2SGAB Отсюда и из равенства треугольников ACE и GBA вытекает равновеликость прямоугольника QPBD и квадрата CFGA; аналогично доказывается и равновеликость прямоугольника QPAE и квадрата CHIB. А отсюда, следует, что квадрат ABDE равновелик сумме квадратов ACFG и BCHI, т.е. теорема Пифагора.

13. Геометрическое доказательство Дано:ABC-прямоугольный треугольник Доказать:BC2=AB2+AC2 Доказательство: 1) Построим отрезок CD равный отрезку AB на продолжении катета AC прямоугольного треугольника ABC. Затем опустим перпендикуляр ED к отрезку AD, равный отрезку AC, соединим точки B и E. 2) Площадь фигуры ABED можно найти, если рассматривать её как сумму площадей трёх треугольников: SABED=2*AB*AC/2+BC2/2 3) Фигура ABED является трапецией, значит, её площадь равна: SABED=(DE+AB)*AD/2. 4) Если приравнять левые части найденных выражений, то получим: AB*AC+BC2/2=(DE+AB)(CD+AC)/2 AB*AC+BC2/2= (AC+AB)2/2 AB*AC+BC2/2= AC2/2+AB2/2+AB*AC BC2=AB2+AC2.

14. Древнекитайское доказательство • В IX книге "Математики"- главном из сохранившихся математико-астрономических сочинений Древнего Китая- помещен чертеж (рис. а), доказывающий теорему Пифагора. Четыре равных прямоугольных треугольника с катетами a, b и гипотенузой c уложены так, что их внешний контур образует квадрат со стороной a+b внутренний - квадрат со стороной c, построенный на гипотенузе (рис. б). Если квадрат со стороной с вырезать и оставшиеся 4 затушеванных треугольника уложить в два прямоугольника (рис. с), то ясно, что образовавшиеся пустота, с одной стороны, равна с², а с другой - a²+b², т.е. с²=a²+b². Теорема доказана.

15. Древнеиндийское доказательство Доказывая эту теорему просто говорили:- «Смотри!» Квадрат, сторона которого имеет длину а + в , можно разбить на части . Ясно, что невыделенные части на обоих рисунках одинаковы .

16. Простейшее доказательство Простейшее доказательство теоремы получается в простейшем случае равнобедренного прямоугольного треугольника. В самом деле, достаточно просто посмотреть на мозаику равнобедренных прямоугольных треугольников , чтобы убедиться в справедливости теоремы. Например, для треугольника ABC: квадрат, построенный на гипотенузе АС, содержит 4 исходных треугольника, а квадраты, построенные на катетах,- по два.Теорема доказана.

17. Пифагоровы штаны Во все стороны равны

18. Пифагоровы штаны во все стороны равны

19. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах. c2 = a2 + b2