第十章

1. 第十章 能 量 法

2. 工程实例

3. 工程实例

5. 工程实例

7. 工程实例

8. 工程实例

9. 工程实例

10. 工程实例

11. 本章要点 （1）莫尔定理的推导和应用 （2）卡氏定理的应用 （3）图乘法原理 重要概念 变形能、莫尔定理、卡氏定理、单位力、虚位移、虚力

12. 目录 §10-1 概 述 §10-2 杆件变形能的计算 §10-3 莫尔定理 §10-4 图形互乘法 §10-5卡氏定理 §10-6 功的互等定理和位移互等定理

13. §10-1 概 述 • .上册总结： 二.本节课所要学习的主要内容及中心内容： 1.能量法的概念 2.杆件变形能的计算 3.莫尔定理—— 一种具体的能量方法（本节课的中心内容）

14. 1. 功能原理——W=U 物理意义：弹性体在变形的过程中，外力所做的功全部 转化为储存于弹性体内部的变形能。 2. 能量法——从能量的角度出发，利用功能原理来求解弹 性体变形的方法，即： 变形 能量 三.基本概念： 完 目录

15. (1)由于本课位于第二册之首，因此在学习之前对上册进(1)由于本课位于第二册之首，因此在学习之前对上册进 行简单总结，同时，在总结过程中可自然地引出该章内容。 (2)在阐述功能原理的过程中，必须强调：在功能的转化 过程中，还会有动能的损失，还会产生热能等其它形式的能量 ，但由于这些能量同变形能相比，是很小的，故在一般情况下 可以忽略不计，而近似地认为W全部地转化成了U。 (3) 在分析了功能原理和能量法的概念之后，应该指出能 量法的实质，并合乎情理的引出下节内容。

16. N=常量（图一） 轴向拉压变形 ——复习内容。 §10-2 杆件变形能的计算 • .轴向拉压变形能的计算：

17. 2． 微元法 ：微量 相对于 的影响。 而言很小，忽略 （图二） 近似的被看成N=常量的等直杆，从而可用公式 微段 ——计算微段内的变形能 图二 方法：微元法

18. 令微段内的变形能为du，则： ——重点学习内容

19. 1． 2． （图三） （变量）（图四） ——学习内容 扭转变形 方法：微元法。 ——复习内容 图三 图四 二.扭转变形能的计算：

20. 三．弯曲变形能的计算： 2． 〈注：其中 （图五） 的角标可略〉 （图六） 1. ——复习内容 图五 受力作用 图六 方法：微元法 ——学习内容

21. 4.由于 三种情况下 变形能的计算方法都是一样的，故在此只需对 的情况做细致的讨论，后面两种情况可一带而过，无须多讲。 • 3.在讨论变形能的计算问题之前，应首先强调：杆件的变 形能 • 可以分为两种情况： 内力=常量 内力=变量 • 对于内力=常量的情况在第2，3，7三章已经分别研究过。 • 在本节课上只做简单复习，而着重的讨论内力=变量的情况。 完 目录

22. 其中： 一．定理： f —— 线位移 §10-3 莫尔定理 ——计算挠度的莫尔定理 ——在原始载荷P1、P2、P3作用下，X截面弯矩。 ——计算线弹性结构变形的一种非常有效的工具 ——在预加单位载荷P0=1 作用下，X截面的弯矩。

23. 图八 图七

24. 对于图六的情况：由于该梁是一横力弯曲梁，即在横截面上不仅有弯矩，而且还有剪力，因此在梁的变形中，弯矩不仅要产生影响，剪力也要产生影响，但当 时，剪力的影响相对 故可略而不计，而近似地认为梁的 于弯矩的影响来说是很小的， 的影响而产生的。 变形都是由于 • 在研究莫尔定理之前，首先应明确：在这一章中，我们将学习两种能量方法：1，莫尔定理。2，卡氏定理。其中莫尔定理是今天这节课的内容。并且，在变形能概念的基础上来研究莫尔定理。

25. —— <a> 图八 —— <b> 图七 二.定理证明： 1．在原始载荷P1、P2、P3……单独作用下，梁内变形能U 2．在P0=1单独作用下，梁内变形能U0

26. P1、P2、P3……作用下： 3. 采用先加P0=1，然后再加P1、P2、P3…..的加载方 式时，梁内的变形能 ——<c> P0作用下： ——<b> 图七

27. 图八 图七 图九

28. 4. 采用将P0、（P1、P2、P3……）同时作用于梁上的加 载方式时X截面弯矩: • 在产生 f变形过程中，P0做功： ——<d> ——转变成变形能储存于弹性体中，从而可求出梁 内最终所储存的总变形能 ——根据叠加原理

29. 在求U之前，应将图六和图七进行比较，即可发现图七实质 上是图六的计算简图，因此，此时梁内的变形能仍应为： • 此时应强调P1、P2、P3…对梁的作用效果并不因预先在C点作用了单位载荷而有所改变，因此得出：由于P1、P2、P3…的作用，C点产生的位移 产生的变形能也应等于图七情 应等于f； 况下梁内的变形能。即<c>式。 • 在进行第二步计算之前应明确：弹性体内所储存的变形能只与外力和位移的最终数值有关，而与加载方式无关；基于这个道理，在此分别研究梁在不同的加载方式作用情况下，变形能的情况。

30. 4.根据变形能与加载方式无关的道理得： ——计算挠度的莫尔定理 5.推论：同样的道理，如果我们要求截面的转角，也只需在C截面上施加一个单位力偶，用上述同样的方法可求出：

31. 三.总结： 四.应用举例： 例1：如图所示：简支梁AB，跨长为L，抗弯刚度为 ——计算转角的莫尔定理 。其上受均布载荷作用，载荷集度为q，试求出梁跨中点C的 挠度 1.莫尔定理——单位力法 2.适用范围——线弹性结构 及端面B的转角 图九

33. 解：〈一〉求支反力RA，RB 〈二〉求 及 由对称性：

34. 对于对称结构，在求其某一具体物理量的数值时，只需取其 一个对称部分来进行计算，其结果再乘以对称部分的个数即可。 如图十，可沿梁中截面将梁分为两个对称部分，因此 及 可写成左边的形式。 • 在材料力学中，由于每一个具体的问题都要涉及到一定结构的具体图形，因此，在接到问题，了解了已知条件和要求解的问题之后，紧接着应该来分析图形的结构性质。很显然，图十为一对称结构。

35. 2． 中的正负号所表示的含义： 及 ，在 • 为了区别 中的 改写 中的 的形式。 成 “+”表示位移的实际方向同假设的单位载荷的方向一致。 “-”表示位移的实际方向同假设的单位载荷的方向相反。 例题总结： 1.从莫尔定理的证明过程及例题的分析过程中，可以看出莫尔定理实质上就是单位载荷法。若要求某一点的线位移，只需在该点上沿着线位移的方向作用一单位集中力就行了。若要求解一截面的转角，也只需在该截面上作用一单位力偶就行了。

36. 五.莫尔定理在平面曲杆的应用： 〈对于横截面高度远小于轴线曲率半径的平面曲杆，其弯曲正应力分布规律接近于直梁，如再省略轴力和剪力的影响，可将计算直梁变形的莫尔定理推广应用于这类曲杆〉挠度和转角的近似计算公式： （10-12） 为了表示出这两种含义，最后在求出的数值后面应用符号…标明实际位移方向。 注意： 上述内容为一节课（50分钟）内容。整个板面应控制在两个板面左右，以提高“讲”的效果。

37. 式中：S ——代表曲杆轴线的弧长 ——载荷作用下，曲杆横截面上的弯矩 ——单位力或力偶作用，曲杆横截面上的弯矩 （计算桁架中某一点位移的莫尔定理的推导做为课外作业，请大家课后将它推导出来） 完 目录

38. §10-4 图形互乘法 在应用莫尔定理求位移时，需计算下列形式的积分： 对于等直杆，EI=const，可以 提到积分号外，故只需计算积分。 直杆的M0(x)图必定是直线或折 线。

40. 顶点 • 顶点 • 二次抛物线

41. 例10—2：试用图乘法求所示悬臂梁自由端B的挠度和转角。例10—2：试用图乘法求所示悬臂梁自由端B的挠度和转角。 解：

43. 例10—3：试用图乘法求所示简支梁的最大挠度和最大转角。例10—3：试用图乘法求所示简支梁的最大挠度和最大转角。 解：

44. 例10—4：试用图乘法求所示简支梁的最大挠度和最大转角。例10—4：试用图乘法求所示简支梁的最大挠度和最大转角。 解：

45. 例10—5：试用图乘法求所示简支梁C截面的挠度和A、B截面的转角。例10—5：试用图乘法求所示简支梁C截面的挠度和A、B截面的转角。 解：

47. 例10—6：试用图乘法求所示悬臂梁自由端B的挠度和转角。 例10—6：试用图乘法求所示悬臂梁自由端B的挠度和转角。 解：

48. 例10—7：试用图乘法求图示悬臂梁中点C处的铅垂位移。 解：

49. 例10—8：图示梁，抗弯刚度为EI，承受均布载荷q及集中力X作用。用图乘法求：例10—8：图示梁，抗弯刚度为EI，承受均布载荷q及集中力X作用。用图乘法求： (1)集中力作用端挠度为零时的X值； (2)集中力作用端转角为零时的X值。 解：

50. 例9：图示梁的抗弯刚度为EI，试求D点的铅垂位移。例9：图示梁的抗弯刚度为EI，试求D点的铅垂位移。 解：