Sandsynlighedsregning

1. Sandsynlighedsregning Grundlæggende begreber … at udregne sandsynligheder Jævn og ujævn sandsynlighed

2. Grundlæggende begreber Sandsynlighedsregning bruges, når man skal arbejde med problemer, der involverer tilfældighed – dvs. at man ikke på forhånd kan udregne resultatet. … og sandsynlighedsregning er den disciplin inden for matematikken, hvor man beregner chancen (eller risikoen) for at noget sker.

3. Grundlæggende begreber Sandsynlighedsregning bruges, når man skal arbejde med problemer, der involverer tilfældighed – dvs. at man ikke på forhånd kan udregne resultatet. … og sandsynlighedsregning er den disciplin inden for matematikken, hvor man beregner chancen (eller risikoen) for at noget sker. Eksempler: Kast med en terning eller en mønt, fordeling af kort i et kortspil, kombinationer af tal i lotto, bingo og lign., kast en tegnestift, kast med en tændstiksæske, resultatet af en fodboldkamp… Og sådan kan man blive ved…

4. Grundlæggende begreber I sandsynlighedsregning opererer vi med såkaldte stokastiske (tilfældige) eksperimenter – dvs. forsøg, hvor der er flere forskellige resultater – og hvor vi ikke kan forudsige, hvilket resultat, vi får.

5. Grundlæggende begreber I sandsynlighedsregning opererer vi med såkaldte stokastiske (tilfældige) eksperimenter – dvs. forsøg, hvor der er flere forskellige resultater – og hvor vi ikke kan forudsige, hvilket resultat, vi får. Eks: Eksperiment: Man kaster en almindelig, 6-sidet terning.

6. Grundlæggende begreber I sandsynlighedsregning opererer vi med såkaldte stokastiske (tilfældige) eksperimenter – dvs. forsøg, hvor der er flere forskellige resultater – og hvor vi ikke kan forudsige, hvilket resultat, vi får. Når man udfører et eksperiment, er udfaldsrummet en betegnelse for ”de ting, der kan ske”, dvs. alle de mulige resultater af det stokastiske eksperiment.

7. Grundlæggende begreber I sandsynlighedsregning opererer vi med såkaldte stokastiske (tilfældige) eksperimenter – dvs. forsøg, hvor der er flere forskellige resultater – og hvor vi ikke kan forudsige, hvilket resultat, vi får. Når man udfører et eksperiment, er udfaldsrummet en betegnelse for ”de ting, der kan ske”, dvs. alle de mulige resultater af det stokastiske eksperiment. Eks: Eksperiment: Man kaster en almindelig, 6-sidet terning. Udfaldsrummet er: {1, 2, 3, 4, 5, 6}

8. Grundlæggende begreber I sandsynlighedsregning opererer vi med såkaldte stokastiske (tilfældige) eksperimenter – dvs. forsøg, hvor der er flere forskellige resultater – og hvor vi ikke kan forudsige, hvilket resultat, vi får. Når man udfører et eksperiment, er udfaldsrummet en betegnelse for ”de ting, der kan ske”, dvs. alle de mulige resultater af det stokastiske eksperiment. Endelig opererer vi med begrebet hændelse. En hændelse er en delmængde af udfaldsrummet. Dvs. at en hændelse er et eller flere af resultaterne i udfaldsrummet.

9. Grundlæggende begreber I sandsynlighedsregning opererer vi med såkaldte stokastiske (tilfældige) eksperimenter – dvs. forsøg, hvor der er flere forskellige resultater – og hvor vi ikke kan forudsige, hvilket resultat, vi får. Når man udfører et eksperiment, er udfaldsrummet en betegnelse for ”de ting, der kan ske”, dvs. alle de mulige resultater af det stokastiske eksperiment. Endelig opererer vi med begrebet hændelse. En hændelse er en delmængde af udfaldsrummet. Dvs. at en hændelse er et eller flere af resultaterne i udfaldsrummet. Eks: Eksperiment: Man kaster en almindelig, 6-sidet terning. Udfaldsrummet er: {1, 2, 3, 4, 5, 6} Eksempler på hændelser: Det bliver en sekser – {6} Det bliver et lige tal – {2, 4, 6} Det bliver et kvadrattal – {1, 4} - osv…

10. Grundlæggende begreber Med andre ord: Et udfaldsrum er mængden af resultater, også kaldet udfald, i et givent eksperiment. Eksempler:

11. Grundlæggende begreber Med andre ord: Et udfaldsrum er mængden af resultater, også kaldet udfald, i et givent eksperiment. Eksempler: Eksperiment: Kast en almindelig mønt, f.eks. en 5-krone. Udfaldsrummet for dette eksperiment er: {plat, krone}.

12. Grundlæggende begreber Med andre ord: Et udfaldsrum er mængden af resultater, også kaldet udfald, i et givent eksperiment. Eksempler: Eksperiment: Kast en almindelig mønt, f.eks. en 5-krone. Udfaldsrummet for dette eksperiment er: {plat, krone}. Eksperiment: Kast en ganske almindelig 6-sidet terning. Udfaldsrummet for eksperimentet er: {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

13. Grundlæggende begreber Med andre ord: Et udfaldsrum er mængden af resultater, også kaldet udfald, i et givent eksperiment. Eksempler: Eksperiment: Kast en almindelig mønt, f.eks. en 5-krone. Udfaldsrummet for dette eksperiment er: {plat, krone}. Eksperiment: Kast en ganske almindelig 6-sidet terning. Udfaldsrummet for eksperimentet er: {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Eksperiment: Kast to terninger og find summen af deres øjne. Udfaldsrummet er: {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}.

14. Grundlæggende begreber Med andre ord: Et udfaldsrum er mængden af resultater, også kaldet udfald, i et givent eksperiment. Eksempler: Eksperiment: Kast en almindelig mønt, f.eks. en 5-krone. Udfaldsrummet for dette eksperiment er: {plat, krone}. Eksperiment: Kast en ganske almindelig 6-sidet terning. Udfaldsrummet for eksperimentet er: {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Eksperiment: Kast to terninger og find summen af deres øjne. Udfaldsrummet er: {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}. Eksperiment: Lav 2-cifrede tal med cifrene 2,5 og 8. Udfaldsrummet er: {22, 25, 28, 52, 55, 58, 82, 85, 88}

15. Jævn sandsynlighed Inden for spil af forskellig slags har vi næsten altid at gøre med det, vi kalder jævn sandsynlighed

16. Jævn sandsynlighed Inden for spil af forskellig slags har vi næsten altid at gøre med det, vi kalder jævn sandsynlighed Det betyder, at alle hændelserne er lige mulige og derfor også har samme sandsynlighed.

17. Jævn sandsynlighed Inden for spil af forskellig slags har vi næsten altid at gøre med det, vi kalder jævn sandsynlighed Det betyder, at alle hændelserne er lige mulige og derfor også har samme sandsynlighed. Sandsynligheden for en hændelse i et eksperiment med jævn sandsynlighed kan derfor altid findes ved dividere de gunstige udfald… Gunstige udfald = de udfald, vi gerne vil have som resultat (de ønskede udfald)

18. Jævn sandsynlighed Inden for spil af forskellig slags har vi næsten altid at gøre med det, vi kalder jævn sandsynlighed Det betyder, at alle hændelserne er lige mulige og derfor også har samme sandsynlighed. Sandsynligheden for en hændelse i et eksperiment med jævn sandsynlighed kan derfor altid findes ved dividere degunstige udfald med de mulige udfald Mulige udfald = alle de for-skellige udfald, der kan blive resultatet af eksperimentet

19. Jævn sandsynlighed Altså: Når der er tale om jævn sandsynlighed, skal man altså altid finde eksperimentets gunstige og mulig udfald, hvor Mulige udfald = alle udfaldene i udfaldsrummet Hvis man kaster en terning, er de mulige udfald: 1, 2, 3, 4, 5 og 6

20. Jævn sandsynlighed Altså: Når der er tale om jævn sandsynlighed, skal man altså altid finde eksperimentets gunstige og mulig udfald, hvor Mulige udfald = alle udfaldene i udfaldsrummet Hvis man kaster en terning, er de mulige udfald: 1, 2, 3, 4, 5 og 6 OG Gunstige udfald = udfald, der opfylder en bestemt forudsætning. Gunstige udfald er resultatet af en ønsket hændelse! Hvis man kaster en terning, kunne et gunstigt udfald være, at man fik en sekser, et lige antal øjne eller lignende.

21. Jævn sandsynlighed • Sandsynligheden af en hændelse er altid et tal mellem 0 og 1

22. Jævn sandsynlighed • Sandsynligheden af en hændelse er altid et tal mellem 0 og 1 • Sandsynligheden for hændelsen findes ved at dividere antallet af gunstige udfald med antallet af mulige udfald…

23. Jævn sandsynlighed • Sandsynligheden af en hændelse er altid et tal mellem 0 og 1 • Sandsynligheden for hændelsen findes ved at dividere antallet af gunstige udfald med antallet af mulige udfald… • Sandsynligheden for en hændelse forkortes P(hændelse) ~ P står for Probability • Ved et kast med en mønt er P(plat) = 0,5

24. Jævn sandsynlighed • Sandsynligheden af en hændelse er altid et tal mellem 0 og 1 • Sandsynligheden for hændelsen findes ved at dividere antallet af gunstige udfald med antallet af mulige udfald… • Sandsynligheden for en hændelse forkortes P(hændelse) ~ P står for Probability • Ved et kast med en mønt er P(plat) = 0,5

25. Jævn sandsynlighed Eksempel 1: Find sandsynligheden for at få en sekser ved et terningekast.

26. Jævn sandsynlighed Eksempel 1: Find sandsynligheden for at få en sekser ved et terningekast. Antal mulige udfald: 6 (nemlig 1,2,3,4,5,6)

27. Jævn sandsynlighed Eksempel 1: Find sandsynligheden for at få en sekser ved et terningekast. Antal mulige udfald: 6 (nemlig 1,2,3,4,5,6) Antal gunstige udfald: 1 (nemlig kun 6)

28. 1 6 Jævn sandsynlighed Eksempel 1: Find sandsynligheden for at få en sekser ved et terningekast. Antal mulige udfald: 6 (nemlig 1,2,3,4,5,6) Antal gunstige udfald: 1 (nemlig kun 6) P(6) =

29. Jævn sandsynlighed Eksempel 2: Der kastes to ens mønter. Find sandsynligheden for, at begge mønter lander på plat.

30. Jævn sandsynlighed Eksempel 2: Der kastes to ens mønter. Find sandsynligheden for, at begge mønter lander på plat. Antal mulige udfald: 4 (krone/krone, plat/krone, krone/plat, plat/plat)

31. Jævn sandsynlighed Eksempel 2: Der kastes to ens mønter. Find sandsynligheden for, at begge mønter lander på plat. Antal mulige udfald: 4 (krone/krone, plat/krone, krone/plat, plat/plat) Antal gunstige udfald: 1 (plat/plat)

32. 1 4 Jævn sandsynlighed Eksempel 2: Der kastes to ens mønter. Find sandsynligheden for, at begge mønter lander på plat. Antal mulige udfald: 4 (krone/krone, plat/krone, krone/plat, plat/plat) Antal gunstige udfald: 1 (plat/plat) P(plat/plat) =

33. Jævn sandsynlighed Eksempel 3: Et eksperiment består i at trække en kugle op af en pose med 4 røde kugler og 3 blå kugler. Find sandsynligheden for, at kuglen, der trækkes op, er rød.

34. Jævn sandsynlighed Eksempel 3: Et eksperiment består i at trække en kugle op af en pose med 4 røde kugler og 3 blå kugler. Find sandsynligheden for, at kuglen, der trækkes op, er rød. Antal mulige udfald: 7 (4 røde og 3 blå kugler, i alt 7 kugler)

35. Jævn sandsynlighed Eksempel 3: Et eksperiment består i at trække en kugle op af en pose med 4 røde kugler og 3 blå kugler. Find sandsynligheden for, at kuglen, der trækkes op, er rød. Antal mulige udfald: 7 (4 røde og 3 blå kugler, i alt 7 kugler) Antal gunstige udfald: 4 (en af de 4 røde kugler)

36. 4 7 Jævn sandsynlighed Eksempel 3: Et eksperiment består i at trække en kugle op af en pose med 4 røde kugler og 3 blå kugler. Find sandsynligheden for, at kuglen, der trækkes op, er rød. Antal mulige udfald: 7 (4 røde og 3 blå kugler, i alt 7 kugler) Antal gunstige udfald: 4 (en af de 4 røde kugler) P(rød kugle) =

37. Jævn sandsynlighed Eksempel 4: Et eksperiment består i at trække et kort ud af et kortspil. Find sandsynligheden for, at kortet, der trækkes, er et Spar billedkort .

38. Jævn sandsynlighed Eksempel 4: Et eksperiment består i at trække et kort ud af et kortspil. Find sandsynligheden for, at kortet, der trækkes, er et Spar billedkort . Antal mulige udfald: 52 (der er 52 kort i et kortspil)

39. Jævn sandsynlighed Eksempel 4: Et eksperiment består i at trække et kort ud af et kortspil. Find sandsynligheden for, at kortet, der trækkes, er et Spar billedkort . Antal mulige udfald: 52 (der er 52 kort i et kortspil) Antal gunstige udfald: 3 (Spar Knægt, Spar Dame og Spar Konge)

40. 3 52 Jævn sandsynlighed Eksempel 4: Et eksperiment består i at trække et kort ud af et kortspil. Find sandsynligheden for, at kortet, der trækkes, er et Spar billedkort . Antal mulige udfald: 52 (der er 52 kort i et kortspil) Antal gunstige udfald: 3 (Spar Knægt, Spar Dame og Spar Konge) P(Spar billedkort) =

41. Ujævn sandsynlighed I virkelighedens verden møder vi næsten aldrig jævn sandsynlighed. Her findes der rigtig mange eksperimenter, hvor de forskellige hændelser ikke har lige store sandsynligheder. Dette kaldes ujævn sandsynlighed.

42. Ujævn sandsynlighed I virkelighedens verden møder vi næsten aldrig jævn sandsynlighed. Her findes der rigtig mange eksperimenter, hvor de forskellige hændelser ikke har lige store sandsynligheder. Dette kaldes ujævn sandsynlighed. Eksempler: * Summen af øjnene ved kast med 2 terninger * Kast med to tegnestifter * Kast med to tændstikæsker * Kaste gris – i spillet af samme navn

43. Ujævn sandsynlighed Eksempel 1: Summen af øjnene ved kast med 2 terninger

44. Ujævn sandsynlighed Eksempel 1: Summen af øjnene ved kast med 2 terninger Der bliver tale om følgende mulige udfald (= mulige summer, når øjnene lægges sammen): {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}

45. Ujævn sandsynlighed Eksempel 1: Summen af øjnene ved kast med 2 terninger Der bliver tale om følgende mulige udfald (= mulige summer, når øjnene lægges sammen): {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} … og sandsynligheden for hvert af disse udfald kan bestemmes ved at sætte tallene ind i et skema, hvor hver af de to terninger repræsenteres…

46. Ujævn sandsynlighed Eksempel 1: Summen af øjnene ved kast med 2 terninger Mulige udfald for Terning 1

47. Ujævn sandsynlighed Eksempel 1: Summen af øjnene ved kast med 2 terninger Mulige udfald for Terning 2

48. Ujævn sandsynlighed Eksempel 1: Summen af øjnene ved kast med 2 terninger Dette giver 6·6=36 udfald…

49. Ujævn sandsynlighed Eksempel 1: Summen af øjnene ved kast med 2 terninger … som findes ved at sige Terning 1 + Terning 2

50. 1 36 Ujævn sandsynlighed Eksempel 1: Summen af øjnene ved kast med 2 terninger Da summen ”2” findes én gang i skemaet, er sandsynligheden for at få summen ”2” altså 1 ud af 36 eller