欧拉公式与闭曲面的分类

1. 欧拉公式与闭曲面的分类 主讲教师:刘 玉 教授

2. 一 凸多面形的欧拉公式 多面形,其中(一)(二)(三)(四)为凸多面形. 欧拉示性数：X（P）=V-E+F

3. 正多面形 欧拉示性数：X（P）=V-E+F

4. 凸多面形的欧拉定理 定理1（凸多面形的欧拉定理） 任意一个凸多面形P的欧拉示数都是2： X（P）=V-E+F=2

5. 二 球面的欧拉示性数 设在球面（或同胚于它的曲面）上画有连同的网络G，它有V个顶点和E条棱，并把球面分割F个区域（面），那么V-E+F=2也成立。

6. 两个同胚曲面 映射f: A B说是同胚映射(或同胚),是指它既是一一对应的,又是双方连续的,即不仅映射f连续,而且逆映射f-1也连续.

7. 三 曲面 在“三页册”中点x,y,z邻近有不同结构，点y邻域是半圆形，且y在它的边界上，称点y在图形的边缘，点z的邻域由沿公共直径相连接的三个半圆组成，这时称图形在这地方分叉，点x有圆盘形域，且点x在圆盘内部，图形在这里没有边缘也没有分叉。每个点x都有同胚于圆盘的邻域（点x在其内部）的图形叫做曲面，曲面没有边缘和分叉，球面和环面都是曲面，也可以讨论有边缘的曲面，他们有边缘但没有分叉。

8. 边缘曲面 环 柄 圆盘是个有边缘的曲面，开了若干个圆空的曲面也是边缘曲面，如果在环面上开一个空，则就得到一个有边缘的曲面，叫做环柄。

9. 麦比乌斯带 麦比乌斯带 （是一个有边缘的曲面）

10. 麦比乌斯带 麦比乌斯带 麦比乌斯带上存在着这样的闭道路（闭路），曲面的法向量沿这道路变动能达到与原来位置方向相反的位置。

11. 麦比乌斯带 • 在麦比乌斯带上有这样的道路（闭路），当圆周沿这道路变动时，圆周上的方向会改变到相反的位置，这样的闭路叫做反转定向的。 麦比乌斯带

12. 如果在曲面上没有反转定向的闭路，则这曲面叫做可定向的（或双侧的），而如果有这种闭路，则叫做不可定向的（或单侧的）。如果在曲面上没有反转定向的闭路，则这曲面叫做可定向的（或双侧的），而如果有这种闭路，则叫做不可定向的（或单侧的）。 现在设Q1和Q2是两个曲面，每一个都有同胚于圆周的边缘。把这两个曲面的边缘接起来（“粘和”），得到一个新曲面。这时就说，在曲面Q1上的孔，用曲面Q2封合起来（或反之）

13. 带环柄的球面 考虑开有p个圆孔的球面，并且每个孔都用唤环柄封合起来。得到的曲面叫做带p个环柄的球面。带一个环柄的球面同胚于环面；带两个环柄的球面同胚于“8字形面包”表面（粘合两个环柄而得到）。

14. 带k个环柄的曲面系列 • 我们只讨论闭曲面（它没有边缘而且可以剖分成有限个多边形）。例如平面不是闭曲面：在平面上的有限网络不能把平面剖分成全部同胚于圆盘的区域。曲面的拓扑分类问题是这样：指出这样一些两两的互不同胚的闭曲面，使任意闭曲面总同胚于其中某一个。换句话说，需要列举拓扑的不同的所有闭曲面。 • 我们先对可定向的曲面来讨论这个问题的解。用p0表示球面，并用pk表示带k个环柄的球面。可以证明，曲面 p0 , p1 , p2 ,……,pk……给出可定向的闭曲面的全部拓扑分类，即这里列举了这种曲面的全部拓扑不同的类型。 • 可以证明曲面pk的欧拉示性数等于2-2k

15. 四 曲面的欧拉示性数 • 设Q是可以剖分成多边形的曲面（有边缘或无边缘，双侧或单侧）；这就是说，在曲面上可以“画出”一个网络，它把曲面剖分成有限个同胚于圆盘的片。在网络的顶点和棱的个数记作V和E，并把由这个网络把Q剖分成的多边形的个数记作F。数 x(Q)=V-E+F 叫做曲面Q的欧拉示性数。

16. 五 可定向的闭曲面的分类 • 曲面系列p0 , p1, p2……pk ……两两不同胚，因为他们有不同的欧拉示性数，我们可以证明任何可定向的闭曲面总同胚于曲面系列p0 , p1, p2……pk ……中的一个。

17. 六 不可定向的闭曲面的分类 • 不可定向的闭曲面在空间中的位置只能是有自交线的。 如上图（a)上曲面画着边缘l的曲面，图（b）上画着它穿过“瓶颈”的剖面。用圆盘把孔l缝合给出闭曲面图（c），但它是自交的。实际上不应该有自交线，我们可以认为，发生这种情况只是由于曲面在空间的”不利的“位置。得到的曲面叫做克莱因瓶。它是单侧的：从瓶表面外侧的点开始移动可以进入瓶的内侧，图(b)

18. 麦比乌斯带的边缘同胚于圆周，所以可以把麦比乌斯带沿其边缘粘到从某个曲面开出的孔的边缘上。在图（ a）上画着麦比乌斯带（扭转了的平环），而在图（b ）上画的是开过孔的曲面Q的一部分。如果把曲面Q的内部的“螺旋桨页片”“摊开”，则容易看出图（c）在它上面开了个同胚于圆盘的孔。因为画在图（a）和（b）上的曲面有同样的边缘，所以可以把它们的边缘粘起来，即把麦比乌斯带粘到在曲面Q上开出的圆孔上。当然，这时麦比乌斯带显然要与曲面相交，但是我们认为，相交只是由于曲面在空间的“不利的”位置。

19. 用麦比乌斯带封合一个孔还可以换个说法。沿中位线把麦比乌斯带割开。为此我们需要先把矩形的侧边粘起来（为了得到麦比乌斯带要扭转一下），然后沿mnp线割开图（a）。但可以按相反的顺序来完成：先沿mnp线把矩形割开图（b），然后再把两侧线段粘合（按箭头所指的方向）。为了粘合，我们把矩形的下半部翻转图（c），并把两半放在图（d）那样的位置。用麦比乌斯带封合一个孔还可以换个说法。沿中位线把麦比乌斯带割开。为此我们需要先把矩形的侧边粘起来（为了得到麦比乌斯带要扭转一下），然后沿mnp线割开图（a）。但可以按相反的顺序来完成：先沿mnp线把矩形割开图（b），然后再把两侧线段粘合（按箭头所指的方向）。为了粘合，我们把矩形的下半部翻转图（c），并把两半放在图（d）那样的位置。 现在不难进行所需要的粘合图（e）。我们看到，沿线割开麦比乌斯带给出同胚于平环的图形。在图（e）上用相同字母表示的点处在对径点的位置。相反的粘合重新把平环变成麦比乌斯带。因此，如果把平环的一个圆周上的每两个对径点都粘合起来，则就得到麦比乌斯带。

20. 现在设l是一个曲面Q上的圆孔的周线。环绕空l从曲面割下狭长条（平环），且用l’表示这平环的外部周线（如左图）于是得到一个同胚于Q平面（只不过有稍大的孔l’）和单独的平环。现在在割下的平环的周线l上把每两个对径点都粘起来：那么平环就变成麦比乌斯带了。把这个麦比乌斯带与孔l’粘起来。结果我们就在曲面Q（确切地说是也它同胚的曲面）上粘了一个麦比乌斯带。但是沿周线l’割开曲面并反过来把割开的地方粘起来等于什么也没有做，因而简单地说是在周线l上把每两个对径点都粘起来。总之，在圆孔的周线l上把每两个对径点都粘起来相当在这个孔上粘一条麦比乌斯带。现在设l是一个曲面Q上的圆孔的周线。环绕空l从曲面割下狭长条（平环），且用l’表示这平环的外部周线（如左图）于是得到一个同胚于Q平面（只不过有稍大的孔l’）和单独的平环。现在在割下的平环的周线l上把每两个对径点都粘起来：那么平环就变成麦比乌斯带了。把这个麦比乌斯带与孔l’粘起来。结果我们就在曲面Q（确切地说是也它同胚的曲面）上粘了一个麦比乌斯带。但是沿周线l’割开曲面并反过来把割开的地方粘起来等于什么也没有做，因而简单地说是在周线l上把每两个对径点都粘起来。总之，在圆孔的周线l上把每两个对径点都粘起来相当在这个孔上粘一条麦比乌斯带。

21. 带k个麦比乌斯带的曲面系列 • 现在我们可以写出关于曲面分类的麦比乌斯—约当定理的后一半，那就是列举不可定向的闭曲面的所有拓扑不同的类型。我们用Np表示从球面开q个孔且全部用麦比乌斯带封起来而得到的曲面。可以证明，曲面 N1, N2 , ……Nq , …… 给出不可定向的闭曲面的完全的拓扑分类。

22. 谢谢大家!