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3.2 等差数列

3.2 等差数列. (一)等差数列的概念: 先观察几个数列:. 38 , 40 , 42 , 44 , 46 , 48 , 50 , 52 , 54 , 56. 7500 , 8000 , 8500 , 9000 , 9500 , 10000 , 10500. 3 , 0 , - 3 , - 6 , · · · ;. 特点:从第二项起,每一项与它前一项的差 都 等于同一个常数. 定义:如果一个数列从第 2 项起,每一项与它 的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列 就

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3.2 等差数列

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  1. 3.2 等差数列

  2. (一)等差数列的概念: • 先观察几个数列: 38,40,42,44,46,48,50,52,54,56. 7500,8000,8500,9000,9500,10000,10500. 3 ,0 ,- 3,- 6,· · · ; 特点:从第二项起,每一项与它前一项的差 都 等于同一个常数. 定义:如果一个数列从第 2 项起,每一项与它 的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列 就 叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差, 公 差通常用字母 d 来表示.

  3. (二)等差数列的通项公式: • 设等差数列 { a n } 的首项是 a 1,公差是 d ,那么,根据等差数列的定义, • a 2 – a 1 = d , a 3 – a 2 = d , a 4 – a 3 = d ,· · · • 所以,a 2 = a 1 + d , • a 3 = a 2 + d = ( a 1 + d ) + d = a 1 + 2d • a 4 = a 3 + d = ( a 1 + 2d ) + d = a 1 + 3d • a 5 = a 4 + d = ( a 1 + 3 d ) + d = a 1 + 4d • · · · · · · 等差数列的通项公式: a n = a 1 + ( n –1 ) d .

  4. 注: (1)由等差数列的定义可以知道,如果一个等差数列的公差 d > 0,那么这个数列是递增数列;如果公差 d < 0,那么这个数列是递减数列;如果公差 d 等于 0,那么这个数列是常数列 . • (2)在 a 1,a n ,d,n 这四个量中,已知其中的三个量,可以求出另外一个量.

  5. 例 1 (1)求等差数列 8 ,5 ,2,· · · 的第 20 项 . (2)-401 是不是等差数列 - 5,- 9,-13, · · · 的项?如果是,是第几项? 注:要考查数 b 是不是某个数列中的项,首先求 出这个数列的通项公式 a n,然后考察关于 n 的方程 a n = b 即可. 如果 a n = b 有正整数解,则 b 就是这个 数列中的一项,这个正整数解,就是它的项数;如果 a n = b 无解,或者虽然有解,但无正整数解,则 b 就 不是这个数列中的一项.

  6. 例 2 在等差数列 { a n } 中,已知 a 5 = 10,a 12 = 31 ,求首项 a 1 与公差 d . • 分析:利用等差数列的通项公式,可以得到关于 a 1 和 d 的两个二元一次方程,解方程组,即可求得 a 1 和 d . • 例 3 梯子的最高一级宽 33 cm , 最低一级宽 110 cm,中间还有10 级,各级的宽度成等差数列,计算中间各级的宽度 . • 分析: 问题等价于, 在等差数列中,已知 a 1 = 33, a 12 = 110,求其它各项 . • 先利用等差数列的通项公式,求出公差 d,而后依次求出其余各项即可 .

  7. (三)等差中项: • 定义:如果 a,A,b 成等差数列,那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项 . 注:在一个等差数列中,从第 2 项起,每一项 (有穷等差数列的末项除外)都是它的前一项与后 一项的等差中项 .

  8. 例 4 已知数列的通项公式为 a n = p n + q ,其中 p,q 是常数,且 p  0,那么这个数列是否一定是等差数列?如果是,其首项与公差是什么? • 分析:由等差数列的定义,要判断 { a n } 是不是等差数列,只要看 a n - a n-1 ( n  2 ) 是不是一个与 n 无关的常数即可 . • 注: (1)公差不为 0 的等差数列的通项公式是关于 n 的一次函数 . • (2)如果数列的通项公式是关于 n 的一次函数,则这个数列是等差数列

  9. 例如首项是 1 公 差是 2 的无穷等差数 列的通项公式为 a n = 2n -1, 相应的图象是直线 y = 2x – 1 上均匀排 开的无穷多个孤立 点. • (3)数列可以用坐标平面上的点来表示,表示等 差数列的点都在一条直线上 .

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