به نام خدا

1. به نام خدا

2. سمینار درس مدلسازی سیستم های بیولوژیکی عنوان:روش زیر فضا وکاربرد آن در شناسائی سیستم های خطی و بیولوژیکی استاد:جناب دکتر توحید خواه ارائه دهنده:امیر اکرادی زمستان 85

3. مطالب مورد بحث: 1-مقدمه ای بر شناسائی سیستم ها 2-مدل های فضای حالت 3-آشنائی با روش های زیر فضا در شناسائی سیستم های خطی فضای حالت وابزار های لازم 4-شناسائی سیستم های خطی معین در فضای حالت به روش زیر فضا 5-شناسائی سیستم های خطی تصادفی فضای حالت به روش زیر فضا 6-سیگنال های بیولوژیکی 7-تنظیم زیر فضا بر اساس تخمینی از ERP های تک آزمایشی

4. هدف از شناسائی سیستم چیست؟شناسائی یک سیستم روشی است که در آن مدل(مدل های )آن سیستم ا ز روی داده های اندازه گیری شده ساختته یا تکمیل می گردند.این داده ها شامل ورودی ها, خروجی ها واحتمالا نویز می باشد. • با کمک این اندازه گیری می توان فهمید که سیستم چه طور کار می کند و ثابت های سیستم را محاسیه نمود. • مدل دینامیکی سیستم به شکل زیر است: • یک سیستم دینامیکی با ورودی و خروجی معین وو اعوجاج .تمام پیکانهانشان دهنده بردار سیگنال بوده و اند یس زمان در حالت گسسته می باشد قابل کنترل ولی غیر قابل کنترل می باشد . سیگنال های قابل اندازه گیری خروجی(ورودی )اطلاعات مفیدی را در مورد یک سیستم ناشناخته بدست می دهند . و

5. تکنیک های شناسائی سیستم که در ساخت مدل ها به کار می رود به طور عمومی شامل مراحل زیر است: • 1-انجام تجربیات در یک سیستم • 2-مشخص نمودن یک مدل پارامتری از قبل تعریف شده جهت آن • 3-تخصیص مقادیر مناسب جهت پارامترهای مدل به طوری که حتی الممکن در قالب داده ها قرار گیرد. • 4-مرحله نهائی ارزیابی مدل از دید داده هائی که در فرایند شناسائی نقش نداشته اند.

6. مدل های فضای حالت : این مدل ها در حالت کلی به صورت ریاضی با مجموعه معادلات تفاضلی زیر بیان می شوند :

7. حال سیستم دینامیکی قبل را به صورت زیر نشان می دهیم که سیستم خطی تغییر ناپذیر با زمان با ابعاد محدود می باشد :

8. مزایای روش فضای حالت : • 1-نمایش فضای حالت با چند ورودی و چند خروجی مرسوم ترین روش برای کار با متد طراحی سیستم کنترل به کمک کامپیوتر(CACSD )می باشد. • 2-در این مدل دینامیک کل سیستم در ماتریس A جمع می شود به طوری که مقادیر ویژه ماتریس A بیان کننده مد های دینامیکی می باشند. • 3-اغلب فرایند های صنعتی به خوبی توسط سیستم های خطی با ابعاد محدود قابل تقریب می باشند.

9. اساس روش زیر فضا : • روش زیر فضا شیوه جدیدی می باشد که جهت تخمین مدل های فضای حالت با استفاده مستقیم ار داده های ورودی و یا خروجی به کار می رود. • اساس الگوریتم زیر فضا بر پایه مفاهیمی از تئوری سیستم های غیر خطی(عددی) و احتمالات قرار گرفته است.

10. اجزای اصلی جهت پیاده سازی زیر فضا در جدول زیر نشان داده شده است :

11. تفاوت روش زیر فضا و کلاسیک نیز در شکل زیر نشان داده شده است :

12. ویزگی های جدید در روش زیر فضا: • پارامتریزاسیون:مرتبه سیستم تنها پارامتری است که باید مشخص شود. • همگرائی :به دلیل استفاده از الگوریتم های جبر خطی عددی مقاوم بودن عددی تضمین گردیده است بنابر این طراح با مشکلاتی هم چون عدم همگرائی یا کندی همگرائی ویا ناپایداری عددی مواجه نخواهد بود. • کاهش مرتبه مدل :همواره مدل های مرتبه پائین مد نظر میباشد.در شناسائی سیستم به روش زیر فضا مدل کاهش مرتبه یافته مستقیما از روی داده های ورودی-خروجی به دست می آید.

14. معرفي ابزار هاي لازم :1-تجزيه به فرم مقادير ويژه SVD : در يك ماتريس مستطيلي مقدار ويژه و بردار هاي ويژه متناظر آنها u و v در شرايط زير صدق مي كند : ماتزيس u و v قائم هستند بنابراين SVD به صورت زير تعريف مي شود : كه u و vمربعي بوده و ماتريس S در ابعاد A مي باشد.

15. 2-تجزيه به فرم QR :تجزيه به صورت يك ماتريس قائم مثلثي مي باشد. هم براي ماتريس هاي مزبعي و هم مستطيلي به كار برده مي شود. 3-ابزار هاي هندسي : الگوريتم شناسائي زير فضا بر پايه ابزارهاي هندسي مي باشد. الف-تابش عمودي : تصوير فضاي سطري يك ماتريس بر روي فضاي سطري ماتريس B به صورت زير تعريف مي شود : نشان دهنده شبه معكوس مور-پنروس يك ماتريس است. عملگر هندسي است كه فضاي سطري يك ماتريس را به مكمل قائم فضاي سطري ماتريس B مي تاباند.

16. ب-تابش مايل :همان طور كه ماتريس A را مي توان به صورت تركيب خطي دو ماتريس عمودي ( Bو ) تجزيه نمود مي توان آن را به صورت تركيب خطي دو ماتريس غير عمودي B و C و مكمل هاي عمودي آنها تجزيه كرد. ماتريس Lc.C به عنوان تابش مايل فضاي سطري A در طول فضاي سطري B روي فضاي سطري C تعريف مي شود.

17. 4-خواص كنترل پذيري و رويت پذيري:به يك سيستم كنترل پذير در لحظه k گفته مي شود اگر بتوان سيستم را به كمك يك بردار كنترل نا مشروط از يك حالت اوليه x(k) به يك حالت ديگر در بازه زماني محدود انتقال داد. شرط لازم جهت كنترل پذيري : دارا ي rank,n بوده يا اين كه n بردار ستوني مستقل خطي داشته باشيم. به يك سيستم رويت پذير در لحظه k و با حالت x(k) گفته مي شود اگر بتوان اين حالت را از خروجي در يك بازه زماني مشخص مشاهده نمود.

18. ماتريس هنكل بلوكي :اين ماتريس نقش مهمي در الگوريتم شناسائي زير فضا دارد.اين ماتريس به راحتي از روي ورودي و خروجي ساخته مي شود.

19. 6-رشته حالت معين : رشته حالت معين نيز نقش مهمي در تعبير وتوصيف الكوريتم شناسائي زير فضا ايفا مي كند.زشته حالت معين به صورت زير تعريف مي شود :

20. شناسائي سيستم هاي خطي معين در فضاي حالت به روش زير فضا : • صورت مسئله:مي خواهيم مدلي به صورت فضاي حالت زير پياده سازي نمائيم :

21. قضيه اي جهت حل مسئله فوق ارائه شده است كه داراي دو نتيجه زير مي باشد : • الف-رشته حالت را مي توان به طور مستقيم از داده هاي و تعيين نمود بدون نياز به دانستن ماتريس هاي A,B,C,D • ب-ماتريس رويت گسترش يافته را به طور مستقيم از روي داده هاي ورودي و خروجي معين نمود.

22. براي به دست آوردن ماتريس ها از دو الگوريتم معين زير استفاده مي كنيم : • تابش های مایل محاسبه کنید : • مقادیر SVD ناشی از تابش های مایل وزن دار را محاسبه نمائید . • مرتبه سيستم را از تعداد مقادير ويژه غير صفربه دست آوريد. و از تفكيك SVD به دست مي آيد. • و را محاسبه كنيد. • و را از روابط زير به دست آوريد:

23. ادامه الگوريتم 1: • ماتريس هاي خطي ِD,C,B,A را از حل معادلات خطي زير به دست مي آوريم :

24. الگوريتم دوم : • تابش های مایل محاسبه کنید : • مقادیر SVD ناشی از تابش های مایل وزن دار را محاسبه نمائید . • مرتبه سيستم را ازتعداد مقادير ويژه غير صفر به دست آوريد. و و از تفكيك SVD به دست خواهند آمد. • و را محاسبه کنید .

25. ادامه الگوريتم 2 : • A را از به كمك رابطه به دست آوريد. • C از l سطر اول به دست مي آيد. • Bو D به كمك روابط از حل معادله ماتريسي زير به دست مي آيد.

26. شناسائي سيستم هاي خطي تصادفي فضاي حالت به روش زير فضا : • صورت مسئله :در الگوريتم شناسائي زير فضا در سيستم هاي تصادفي مدل فضاي حالت از داده هاي خروجي محاسبه مي شود. • به تعداد s اندازه گيري از خروجي يك سيستم نامعلوم تصادفی بامرتبه n بدست آمده است . • و داراي دو ماتریس با ميانگين صفرورشتهء برداري سفيد هستند كه ماتريس كوواريانس آنها بصورت ذيل مي باشند :

27. مطلوب در اين جا محاسبه n سيستم نا معلوم و ماتريس هاي سيستمي AوC وماتزيس هاي Qو S مي باشد به طوري كه مشخصه هاي آماري مرتبه دوم خروجي به دست آمده از مدل و داده هاي خروجي يكسان باشد.

28. سيگنال هاي بيولوژيكي : • 1-Galvanic Skin Response(GSR): براي محاسبه پاسخ عصب خود مختار مي باشد. نمونه هاي GSR يك فرد سالم و بيمار در شكل زير نشان داده شده است :

29. 2-تغييرات نرخ قلب( HRV): نوسان در فاصله بين ضربه هاي پي در پي قلب(فاصله RR ) به همان نسبت بين ضربه هاي پي در پي نرخ قلبی, تغيير پذيزي نرخ قلب مي گويند. آناليز HRV بر اساس ECG مي باشد كه از كمپلكس هاي QRS به دست مي آيد.

30. 3-Quantitative EEG(qEEG) در این روش بعضی از اندازه گیری ها به منظور توصیف EEG به کار برده می شود. بیشترین عمومیت اندازه ها بر اساس خصوصیات طیفی از سیگنال اندازه گیری شده می باشد. گستره فرکانسی در آنالیز qEEG در محدوده 0-30Hz می باشد که به چهار دسته دلتا, تتا, آلفا و بتا تقسیم می شود.

31. پتانسیل های وابسته به پیشامد(ERPs ): پتانسیل evoked به عنوان پتانسیلی که معلول فعالیت های الکتریکی سیستم عصبی مرکزی بعد از تحریک سیستم سنسوری تعریف می شود. پتانسیل های وابسته به پیشامد به طور گسترده برای مطالعه فعالیت مغزی در ارتباط با عملکرد های ذهنی بالاتر استفاده می شود.

32. تنظیم زیر فضا بر اساس تخمینی از ERP های تک آزمایشی: ایده اصلی در روش تخمین بر اساس تنظیم با اضافه کردن مقدار اضافی اطلاعات قیاسی در باره پتانسیل های تخمین می باشد.این کار با مدل کردن EP با بعضی مدل های عمومی صورت می گیرد. تخمین با استفاده از مدل مشاهدات : ما در اینجا نویز خطی اضافه می کنیم.روابط به صورت زیر در می آید:

33. حال باید را تخمین بزنم .یک روش مینیمم کردن نرم مجذور ترم خطا ei می باشد. که منجر به روش حداقل مربعات می شود .نرم دلخواه مینیمم مقدار خود را وقتی دارد که بردار ei متعلق به مکمل متعامد H باشد یا به عبارت ساده تر وقتی که ei عمود به زیر فضا است.

34. با توجه به رابطه به نتایج زیر می رسیم : از روابط بالا می توانیم مقدار پتانسیل evoked را نیز محاسبه کنیم.

35. روش حداقل مربعات تنظیم شده :

36. روش تنظیم زیر فضا : ایده اصلی این است که از بردارهای پایه گاوسی شیفت داده شده و عمومی به شکل زیر استفاده می کنیم : بعد بردار های ویژه را از ماتریس همبستگی Rz اندازه گیری می کنیم و ازp اولین بردار ویژه مترادف با بزرگترین مقدار ویژه به عنوان ستون های ماتریس Hs استفاده می کنیم. با انتخاب L به مقدار روبرو: به راه حل زیر فضای تنظیم شده رسیدیم.

37. انتخاب پارامتر تخمین : یک مسئله باقیمانده انتخاب مقدار بهینه پارامتر می باشد.مقدار این تخمین بر اساس تجربه می باشد و معمولا بین 0.05 تا 20 می باشد. در نمودار بالاخاکستری مربوط به اندازه گیری خط آبی خط قرمز وخط چین می باشد.

38. با تشکر از توجه شما