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平行四边形

平行四边形. 初二数学 主讲教师：邓兰萍. A. A’. B. B’. A. D. O. C. B. 一．平行四边形知识回顾： 1 ．图形的平移 给我们的启示： 线段平行移动　 AA´  BB´, AB  A´B´, AA´ // BB , AB// A´B´ 2 ． 图形的 中心对称变换 给我们的启示：. 四边形绕一个点 旋转 180 度 ∠ A =∠ C , ∠ B =∠ D. A. D. O. C. B. 二．平行四边形的特征： 　　两组对边分别平行的四边形是平行四边形．

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平行四边形

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Presentation Transcript

  1. 平行四边形 初二数学 主讲教师：邓兰萍

  2. A A’ B B’ A D O C B 一．平行四边形知识回顾： 1．图形的平移给我们的启示： 线段平行移动　 AA´BB´,ABA´B´,AA´ //BB , AB//A´B´ 2．图形的中心对称变换给我们的启示： 四边形绕一个点 旋转180度 ∠A=∠C, ∠B=∠D

  3. A D O C B 二．平行四边形的特征： 　　两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 1．边：对边平行且相等．ABDC，ADBC； AB//DC，AD//BC． 2．角：对角相等．　　ABCCDA， DABBCD． 3．对角线：互相平分．AOCO，BODO．

  4. l 1 h h h l 2 A C E l 1 AB// CD// EF l 2 B F D 4．平行线间的距离： 　 回忆：点与点之间的距离； 　　　　 点到直线的距离；　　 　　 平行线之间的距离： AB=CD=EF

  5. E A D A D C B B C D A F B C E 还可以发现： 1．对称性：中心对称．对角线的交点是它的对称中心． 　　　　　 中心对称的四边形是平行四边形． 2．与平四边形有关的面积问题： AEBCCDAF

  6. A D O B C 3．平行四边形的两条对角线把平行四边形分割成４对成中心对称的三角形： △ABD与△DCB， △ABC与△CDA， △OAB与△OCD， △OBC与△ODA。 　　相邻两个三角形还有：面积相等；周长的差等于平行四边形相邻两边的差： 例如：△OAB的面积等于△OBC的面积； △OAB的周长与△OBC的周长的差等于AB　　　　　与BC的差．

  7. 典型例题： [例1] 若□ABCD中，∠A∠B∠D，求∠C的度数． 分析：利用平行四边形及平行线的特征，可知平行四边形的四个内角中对角相等，相邻两角互补．由已知条件 ∠C∠A,∠B∠D, ∠A2∠B， ∠A∠B180就可求出． 解：∵　 □ABCD，∴　 AB//CD．（平行四边形定义） 　　　　 ∠A∠C， ∠B∠D．（平行四边形对角相等） 　　　　 ∠A∠B180. (两直线平行, 同旁内角相等) ∵ ∠A∠B∠D , ∴ 　∠A2∠B，∠A2(180∠A)180， 解得∠A120．　　∴ 　 ∠C120． 点评：利用平行四边形的特征求角：可以“知一求三” ．

  8. D C O A B [例2]□ABCD的周长是60 ，对角线的交点是O，若 △AOB 的周长比△BOC的周长大８．求AB、BC的长． 分析: △AOB与△BOC周长数量关系实质就是AB比BC大８, □ABCD的周长是60， 可得ABBC30，联立求出AB、BC． 解: ∵ □ABCD的周长是60 , 　 ∴ ABBC30. ① ∵ △AOB的周长比△BOC的周长大8, ∴ ABBC8.　② 解由①和②组成的方程组,得AB19，BC11． 点评：利用平行四边形的特征，将两个三角形周长的关系 转化为相邻两边的关系．

  9. A D F B C E [例3]平行四边形的相邻两边上的高分别为8和9，它的周长是68，求它的面积． 分析:如图，由平行四边形的面积有: AEBCAFCD，由周长可 　　 知BCCD是周长的一半． 解：∵ □ABCD， 　　∴ABCD，ADBC，BCCD34. 由面积，有 AEBCAFCD 　　设BC为x，则CD（34x）． 即8x9(34x)，解得 x18. ∴ □ABCD的面积818144（平方单位）．

  10. [例4]数平行四边形的个数

  11. [例5]在下面的格点图中．以格点为顶点，你能画出多少平行四边形． [例5]在下面的格点图中．以格点为顶点，你能画出多少平行四边形．

  12. A D E B C F [例6]如图，BD是△ABC的角平分线， DE//CB交AB于E， EF//AC交BC于． 试说明：BEFC． 分析： DE//CB， EF//AC说明 四边形CDEF是平行四边形， EDFC．由角平分线和平行线 的条件可知△EBD是等腰三角形， BEED，从而问题得证．

  13. A D E B C F 证明：∵ DE//CB， EF//AC， 　　　∴四边形CDEF是平行四边形， EDFC． 　　　∵ BD是△ABC的角平分线， 　　　∴∠ABD∠CBD． 　　　∵DE//CB， ∴ ∠EDB∠CBD． 　　　∴∠ABD ∠EDB． 　　　∴ BEED． 　　　∴ BEFC

  14. E A D O B C [例7]如图， □ABCD的周长为16㎝，AC与BD相交于点O，OE⊥AC交AD于E，求△DCE的周长． 解: ∵ □ABCD中AC与BD相交于点O, ∴ AOCO． ∵ OE⊥AC， ∴EAEC． ∵ △DCE的周长DEECCDDEEACD，　　　 ∴ △DCE的周长ADCD． 　 ∵ ADCD □ABCD的周长的一半8 ㎝， 　 ∴ △DCE的周长8㎝．

  15. 三．平行四边形的识别：（共5种方法） 边：1．(定义)两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 2．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 3．两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 角：4．两组对角分别相等的四边形是平行四边形． 对角线：5．对角线互相平分的四边形是平行四边形．

  16. 值得思考的问题： 1．要想识别一个四边形是平行四边形，需要几个条件？ 2．在四边形的边、角、对角线中任意知道两个条件都能确定是平行四边形吗？ 　 例如：若四边形ABCD中， AB//CD，∠A∠C ,它一定是平行四边形吗? 又如:若四边形ABCD中， ABCD，∠A∠C ,它一定是平行四边形吗? ……

  17. D A B C 例如：若四边形ABCD中， AD//BC，∠A∠C ,它 一定是平行四边形吗? 　说明：因为　AD//BC， 　　　　所以　∠A∠B180， ∠C∠D180． 　　　　因为　∠A∠C， 　　　　根据等角的补角相等， ∠B∠D． 　　　　因为　两组对角分别相等， 　　　　所以　四边形ABCD是平行四边形．

  18. C B A P D 又如:若四边形ABCD中， ABCD，∠A∠C ,它一定是平行四边形吗? 我们可以画出符合条件的图形： 　　如图：　　　　　　　　　 说明：这个四边形ABCD不一定是平行四边形．

  19. A D O C B 典型例题 [例1]四边形ABCD中，AC交BD于O，AB//CD，再加上一个什么条件可以得到一个平行四边形？ 分析：此题是一个开放性命题，答案不唯一． 解：如图， 　∵ AB//CD，若 AD//BC 则四边形ABCD为平行四边形． 想想看，再加上的条件可不可以是： ①ABCD； ② ∠A∠C；③ ∠B∠D；④ AOCO ；……

  20. D C F Ｏ E B A [例2]已知：如图， □ABCD中，E、F是AC上的点，且有AECF．试说明四边形DEBF为平行四边形． 分析：此题的条件与平行四边形的对角线有关，在判断四边形是否为平行四边形时，可优先考虑对角线的关系． 证明：连结BD交AC于O， 　　　∵ □ABCD， 　　　∴AOBO，CODO． 　　　∵ AECF， 　　　∴ AOAECOCF，即OEOF． 　　　 ∴四边形DEBF为平行四边形．

  21. D C F E B A 【问题还可引伸】 　　若将此问题中E、F在AC上 的位置改变，如三分之一点、四 分之一点……，实质上点E、F关 于对角线交点成中心对称的性质没有变，这样的问题都可以用同样类似的方法证明。 　 我们还可以想象，在另一条对角线上能否作同样的文章，这样大家掌握的就不是一道题而是一组题．

  22. D C H E F G B A [例3]已知□ABCD中，E、F分别是AD、BC边的中点，AF与BE交于G点，CE与DF交于H点．试说明EF与GH互相平分． 分析：要使EF与GH互相平分，只要 　　　四边形EGFH为平行四边形． 证明：∵ □ABCD中，E、F分别是AD、BC边的中点， 　　 ∴DEFB，DE//FB． ∴四边形DEBF为平行四边形． ∴DF//EB． 同理：EC//AF． ∴四边形EGFH为平行四边形． 　　 ∴ EF与GH互相平分．

  23. 点评： 1．平行四边形对边的中点提供平行且相等的线段； 2．只要E、F在AD、BC边上的位置保证DEFB，其它条件不变，此题结论均成立．

  24. F D C A B E [例4]又例．已知□ABCD中，∠ADC、∠CBD的平分线DE、BF分别交AB、CD于E、F．试说明四边形DEBF为平行四边形． 分析：因为四边形DEBF中，可由 □ABCD知道DF//EB，所以只要 证明DE//FB或DFBE即可． 　　由平行四边形对角平分线的条件易证DE//FB； 　　由角平分线和平行条件可得△ADE与△CBF是等腰三角形AEADBCCF，进而得到DFBE． 证明：略． 点评：对角的平分线提供平行线、等腰三角形，很好的利用我们以前所学的内容

  25. 小结： 1．平行四边形这一特殊四边形除边、角、对角线有一些特征外，我们还可以由它的中心对称性从面积、周长和与之相关的三角形进一步对其进行探究． 2．平行四边形的特征为我们提供得到角相等，线段相等的重要依据． 3．要求会用平行四边形的特征解决关于内角、边的识别与计算问题. 4．在学习平行四边形的过程中，要注意提高说理水平．

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