4.3.1 第一类换元法

1. ． (4.3.1) 4.3.1第一类换元法 利用公式(4.3.1)来计算不定积分，就是第一换元法，亦称为凑微分法．

2. 　　解　设　　　，则　　　　，即　　　　．　　解　设　　　，则　　　　，即　　　　． 所以 ， 再将　　　代入，得 ． 例1　求　　　　　． 4.3.1第一类换元法

3. 解　被积函数可以写成　　　　 ，设　　　　，则　　　　，即　　　　　．因此 例2　求　　　　　　． ． 4.3.1第一类换元法

4. 　　例1 ； 4.3.1第一类换元法 注意：　在对变量替换比较熟练后，可以不必写出新设的积分变量，而直接凑微分．例如：

5. 　　例2 ． 　　例3求 　　解 ． 4.3.1第一类换元法

6. 例4　求　　　　　　　　　． 解 ． 4.3.1第一类换元法

7. ． 4.3.1第一类换元法 　　用类似的方法还可以求得

8. 　　例5　求　　　　． 解　由于　　　　　　　，所以 ． 4.3.1第一类换元法

9. 例6　求 解 ． 4.3.1第一类换元法

10. 例7求　　　　． 解　因为，而　　　　． 所以 ． 4.3.1第一类换元法

11. 　　类似地，可以得到 ． 4.3.1第一类换元法

12. 例8　求 解法1 4.3.1第一类换元法

13. 解法2 4.3.1第一类换元法

14. 4.3.1第一类换元法 注意：本题利用不同解法所得到的结果在形式上有所不同．但不难验证，它们仅相差一个常数．

15. 　　如果不定积分　　　　不易直接应用基本积分表计算，也可以引入新变量　，并选择代换　　　　，其中　　可导，且　　连续，将不定积分　　　　化为　　如果不定积分　　　　不易直接应用基本积分表计算，也可以引入新变量　，并选择代换　　　　，其中　　可导，且　　连续，将不定积分　　　　化为 4.3.2 第二类换元法

16. 　　如果容易求得　　　　　　　　　　　， 而　　　　的反函数　　　　　存在且可导，则 ，(4.3.2) ， ， 　　再将　　　　代入上面的　　，回到原积分变量，有 4.3.2 第二类换元法

17. 例11　求　　　　　． 解　设　　　　，则　　　　，　　　　． 4.3.2 第二类换元法 　　这类求不定积分的方法，称为第二换元法．

18. ． 　　应注意，在最后的结果中必须代入 　　　　　，返回到原积分变量　． 4.3.2 第二类换元法

19. 例12求　　　　　　　　　． 解　设　　　　　　　　　　，则 ，　　　　　．所以 4.3.2 第二类换元法

20. ． 由　　　　，所以　　　　　．于是 4.3.2 第二类换元法

21. 因此，所求不定积分 ． 4.3.2 第二类换元法

22. 1.被积函数为　　　　　，则令　　　，其中　为　，　的最小公倍数．1.被积函数为　　　　　，则令　　　，其中　为　，　的最小公倍数． 2.被积函数为　　　　　，则令 　　　　　． 4.3.2 第二类换元法 　　第二类换元法常常用于被积函数中含有根式的情形，常用的变量替换如下：

23. 3.被积函数为　　　　　　，则令　　　　　．3.被积函数为　　　　　　，则令　　　　　． 4.被积函数为　　　　　　，则令　　　　． 5.被积函数为　　　　　 ，则令　　　　 ． 4.3.2 第二类换元法

24. (1) . (2) . (3)　　　　　　　　　　　　　　． 4.3.2 第二类换元法 　　本节一些例题的结果，可以当做公式使用．将这些常用的积分公式列举如下：

25. (4)　　　　　　　　　　　　　　． (5) . (6)　　　　　　　　　　　　　． 4.3.2 第二类换元法

26. (7)　　　　　　　　　　　　　． (8)　　　　　　　　　　　　． (9)　　　　　　　　　　　　　　 ． 4.3.2 第二类换元法