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复变函数论多媒体教学课件 数学与信息科学学院 Department of Mathematics

复变函数论多媒体教学课件 第一章复数与复变函数第二章解析函数第三章复变函数的积分第四章解析函数的幂级数表示法第五章解析函数的罗朗展示与孤立奇点第六章残数理论及其应用第七章保形变换 Department of Mathematics

复变函数论多媒体教学课件 第一章复数与复变函数第一节复数第二节复平面上的点集第三节复变函数第四节复球面与无穷远点 Department of Mathematics

第一章复数与复变函数 • 第一节复数 • 1 复数域 • 2 复平面 • 3 复数的模与辐角 • 4 复数的乘幂与方根 • 5 共轭复数

1、复数域: （1）复数每个复数具有的形状，其中x和y是实数，i是虚数单位(-1的平方根)。x和y分别称为的实部和虚部，分别记作：复数和复数相等是指它们的实部与虚部分别相等如果Imz=0，则z可以看成一个实数；如果Imz不等于零，那么称z为一个虚数；如果Imz不等于零，而Rez=0，则称z为一个纯虚数

（2）复数的四则运算: 复数的四则运算定义为：复数在四则运算这个代数结构下，构成一个复数域(对加、减、乘、除运算封闭），记为C，复数域可以看成实数域的扩张。

2、复平面: 复数域C也可以理解成平面RxR，我们称C为复平面.作映射：则在复数集C与平面RxR之建立了一个1-1对应（双射）。平面上横坐标轴我们称为实轴，纵坐标轴称为虚轴；复平面一般称为z-平面，w-平面等。

复数可以等同于平面中的向量等价类（在平移关系下）。向量的长度称为复数的模，定义为：复数可以等同于平面中的向量等价类（在平移关系下）。向量的长度称为复数的模，定义为：非零实轴之间的夹角称为复数的辐角，定义为：复数的共轭定义为：

3、复数的模与辐角: 非零复数的三角表示定义为：复数加、减法的几何表示如下图：

基本不等式: 关于两个复数的和与差的模，有以下不等式：

例1试用复数表示圆的方程: 其中，a,b,c,d是实常数。解：利用

例2 设、是两个复数，证明：

三角表示的乘法： 利用复数的三角表示，我们可以更简单的表示复数的乘法与除法，设则有其中后一个式子应理解为集合相等。

同理，对除法，也有： 其中后一个式子也应理解为集合相等。

例3设、是两个复数，求证：

例4、作出过复平面C上不同两点a,b的直线及过不共线三点 a,b,c的圆的表示式。

例4、作出过复平面C上不同两点a,b的直线及过不共线三点 a,b,c的圆的表示式。 a,c,b,z构成一个圆内接四边形或在同以侧

4、复数的乘幂与方根： 利用复数的三角表示，我们也可以考虑复数的乘幂：

复数的乘幂： 进一步，有：可以看到，k=0,1,2,…,n-1时，可得n个不同的值，即z有n个n次方根，其模相同，辐角相差一个常数，均匀分布于一个圆上。这样，复数的乘幂可以推广到有理数的情形。

例5、求所有值： 解：由于所以有有四个根。

5、复球面与无穷大: 在点坐标是(x,y,u)的三维空间中，把 xOy面看作是 z 平面。考虑球面S：取定球面上一点N(0,0,1)称为球极。我们可以建立一个复平面C到S-{N}之间的一个1-1对应（球极射影）：

球极射影: 我们称上面的映射为球极射影： 1、(x,y,0), (x’,y’,u’), (0,0,1)三点共线 2、x:y:-1=x’:y’:u’-1;

无穷远点: 对应于球极射影为N，我们引入一个新的非正常复数称为无穷远点，称为扩充复平面，记为。

关于无穷远点，我们规定其实部、虚部、辐角无意义，模等于：关于无穷远点，我们规定其实部、虚部、辐角无意义，模等于：它和有限复数的基本运算为：这些运算无意义：

本节结束 谢谢！ Complex Function Theory Department of Mathematics

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