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第5讲 质数与合数

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第5讲 质数与合数

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  1. 第5讲 质数与合数

  2. 概念 1、质数——只有1和本身是因数,没有其他因数(也叫约数) 2、合数——除了1 和本身之外,还有其他的因数 注意:1既不是质数也不是合数

  3. 分解质因数 • 每个合数都可以分解为一系列质数的积的形式,这种过程叫做分解质因数。且这种分解的结果是唯一的。 • 分解质因数是解决数字问题的常用思路

  4. 性质 1、合数有无数个 如果你愿意,可以用任何一个数产生无数个合数,比如2n (n是自然数) 2、质数也有无数个 我们找出开始的几个质数:2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,…可以发现,质数逐渐稀疏,即使如此,也可以证明,质数的个数有无数个。

  5. 质数有无穷多个的经典证明 证:假设只有有限多个质数:p1,p2,…,pn , 构造一个数: N=(p1p2…pn)!+1, 则N是一个新的质数。若不然,则N是一个合数,于是N可以被p1,p2,…,pn中的某一个质数pi整除,而pi必然整除(p1p2…pn)!,因此 1=N- (p1p2…pn)!可被pi整除,矛盾!

  6. 例题 1、试判别359是不是质数 分析:首先知道182<359<192,约数都是成对出现的,因此若359有一个大于18的约数,则必有一个小于18的约数,因此只要检验到18的质因数即可。 用2,3,5,7,11,13,17依次试除359,发现都不是359的约数,因此359式质数。

  7. 2、求质数p,使得p+10和p+14都是质数 试验:此题看不出什么规律,因此不妨取几个数字看看,把p取值分别为2,3,5,7,11…可以发现什么? 猜想:除了3 之外,后面的质数不太可能满足条件。但是,如何证明这一点? 证明:把所有的整数按照被3 除的余数分类:3k,3k-1.3k+1

  8. 3、将1,2,3,…,2000这些数任意排列成为一行,得到一个数N,求证:N一定是个合数。3、将1,2,3,…,2000这些数任意排列成为一行,得到一个数N,求证:N一定是个合数。 分析:这样的题目看似没有方向,我们须确定一点——其中必然隐藏了一些特点,那就是解题的关键。 本题事实上用到了被3 整除的数字特征。2000个数字排列的时候,数字之和是一个不变的东西,抓住这一点即可。

  9. 4、已知三个不同的质数a,b,c满足abbc+a=2000,求a+b+c。4、已知三个不同的质数a,b,c满足abbc+a=2000,求a+b+c。 分析:本题用到了分解质因数。 abbc+a=a(bbc+1)=24×53, 右边只有2 个质因数,故a=2或5

  10. 练习 1、自然数n至少含有2 个大于10的质因数,那么n的最小值是______.

  11. 2 、3599是质数还是合数? 解:3599=3600-1=602-1 =(60+1)(60-1)=61×59 因此3599是一个合数。

  12. 3、用1、2、3、4、5任意组成一个五位数,所得的数中有几个质数?3、用1、2、3、4、5任意组成一个五位数,所得的数中有几个质数? 解:因为1+2+3+4+5=15可以被3整除,因此这个五位数可以被3 整除,因此其中没有质数.

  13. 4、p是质数。 +2也是质数,则1997+ ________

  14. 5、3 个不同的质数m,n,p满足m+n=p,则mnp的最小值是_____

  15. 6、已知三个质数m,n,p的乘积等于它们的和的5 倍,则 ______ 7、2 个质数的和为1995,则它们的积是_______

  16. 8、a,b,c,d,e是5个质数,其中a<b,a<c,a<d,并且a+b+c+d=e,则a=_______8、a,b,c,d,e是5个质数,其中a<b,a<c,a<d,并且a+b+c+d=e,则a=_______

  17. 9、已知正整数p,q都是质数,且7p+q与pq+11都是质数,试求p,q的值。9、已知正整数p,q都是质数,且7p+q与pq+11都是质数,试求p,q的值。

  18. 10、(1)是否存在连续4个正整数,他们均为合数?若存在,求出其中一组最小值;若不存在,说明理由10、(1)是否存在连续4个正整数,他们均为合数?若存在,求出其中一组最小值;若不存在,说明理由 (2)写出10个连续的正整数,使其中每个都是合数 .

  19. 11、某书店积存了若干画片,按照每张5角出售,无人购买,现决定按照成本价出售,一下子全部售出,共卖了31元9角3 分,问一共有多少张画片?