Jo van den Brand & Gideon Koekoek Gekromde ruimten : 19 maart 2009

1. Het quantum heelal Hovo cursus Jo van den Brand & Gideon Koekoek Gekromderuimten: 19 maart 2009

2. Traagheid van gasdruk • SRT: hoe hoger de gasdruk, des temoeilijker is het om het gas teversnellen (traagheidneemt toe) • Oefenkracht F uit, versnel tot snelheidv << c Volume V Dichtheidr Druk P • SRT: lorentzcontractiemaakt de dooskleiner v • Energienodigom gas teversnellen extra traagheid van gasdruk

3. Energie – impulstensor: `stof’ • Energienodigom gas teversnellen • Afhankelijk van referentiesysteem • 0 – component van vierimpuls • Beschouw `stof’ (engels: dust) • Verzamelingdeeltjes in rust tenopzichte van elkaar • Constant viersnelheidsveld Flux viervector • Rustsysteem • n en mzijn 0-componenten van viervectoren deeltjesdichtheid in rustsysteem massadichtheid in rustsysteem energiedichtheid in rustsysteem • Bewegendsysteem • N0 is deeltjesdichtheid • Nideeltjesflux in xi – richting is de component van de tensor Er is geengasdruk!

4. Energie – impulstensor: perfectevloeistof • Perfectevloeistof (in rustsysteem) • Energiedichtheid • IsotropedrukP diagonaal, met • In rustsysteem • In tensorvorm (geldig in elkesysteem) We hadden Probeer We vinden Verdergeldt

5. Kromlijnigecoördinaten t f(t2) Afgeleidescalairveld 2 f(t1) 1 raakvector (tangent vector) De waarde van de afgeleide van f in de richting Afgeleide van scalairveldlangsraakvector

6. Voorbeeld Transformatie Plaatsvector Basisvectoren Metriekbekend Natuurlijke basis Nietorthonormaal Inverse transformatie Duale basis

7. Tensorcalculus a is 0 - 3 stel b is 0 Afgeleide van een vector Notatie Covarianteafgeleide met componenten

8. Voorbeeld: poolcoördinaten Bereken Berekenchristoffelsymbolen Divergentie en Laplace operatoren

9. Christoffelsymbolen en metriek Covarianteafgeleiden In cartesischecoördinaten en euclidischeruimte Dezetensorvergelijkinggeldt in allecoördinaten Neemcovarianteafgeleide van Direct gevolg van in cartesischecoördinaten! De componenten van dezelfde tensor voorwillekeurigecoördinatenzijn Opgave: bewijsdatgeldt Connectiecoëfficiëntenbevattenafgeleidennaar de metriek

10. Lokaallorentzframe – LLF We bespreken in het volgende de gekromderuimtetijd Op elkegebeurtenisP in ruimtetijdkunnen we eenLLF kiezen: - we zijnvrij-vallend (geeneffecten van gravitatievolgensequivalentieprincipe) - in LLF geldt de minkowskimetriek Lokaaleuclidisch LLF in gekromderuimtetijd Op elk punt is raakruimtevlak

11. Kromming en parallel transport Parallellelijnensnijden in eengekromderuimte (Euclidesvijfdepostulaatgeldtniet) Parallel transporteren van een vector - projecteerraakvectornaelkestap op het lokaleraakvlak - rotatiehangtaf van kromming en grootte van de lus Wiskundigebeschrijving - interval PQ is curve met parameter - vectorveldbestaat op deze curve - raakvectoraan de curve is - we eisendat in een LLF de componenten van constant moetenzijn Parallel transporteren

12. Geodeten Parallel transporteren Geodeet: lijn, die zorechtalsmogelijk is Componenten van de viersnelheid Geodetenvergelijking Viergewonetweede-ordedifferentiaalvergelijkingenvoor de coördinaten en Gekoppeld via de connectiecoëfficiënten Twee randvoorwaarden Ruimtetijdbepaalt de beweging van materie

13. Riemanntensor Beschouwvectorvelden en Transporteerlangs Vector verandert met Transporteerlangs Componenten van de commutator Commutator is eenmaatvoor het nietsluiten Krommingstensor van Riemann meet het nietsluiten van dubbelegradiënten Beschouwvectorveld

14. Riemanntensor: eigenschappen Metrische tensor bevat de informatie over intrinsiekekromming EigenschappenRiemanntensor Antisymmetrie Symmetrie Biancchiidentiteiten Onafhankelijkecomponenten: 20 Krommingstensor van Ricci Riccikromming (scalar) Huiswerkopgaveomditallestedemonstreren Beschrijving van het oppervlak van eenbol

15. Getijdenkrachten Laateentestdeeltjevallen. Waarnemer in LLF: geenteken van gravitatie Laat twee testdeeltjesvallen. Waarnemer in LLF: differentiëlegravitatieversnelling: getijdenkracht Volgens Newton Definieer Gravitationelegetijdentensor

16. Einsteinvergelijkingen t Twee testdeeltjeszijninitieel parallel Door kromming van ruimtetijdbewegenzenaarelkaar toe Initieel in rust Op geldt P Q Tweede-ordeafgeleideongelijkaannulvanwegekromming x Volgtuit Ergeldt Beschrijftrelatieveversnelling Newton

17. Einsteinvergelijkingen Wellichtverwachten we datgeldt Echtergeentensorvergelijking (geldig in LLF) Wellichtdienttegelden Einstein 1912 – fout tensor scalar Stelsel van 10 p.d.v. voor 10 componenten van Probleem: Vrijekeuze: Einsteintensor Biancchiidentiteiten Einsteinvergelijkingen Energie – impuls tensor Materieverteltruimtetijd hoe tekrommen

18. Zwakkegravitatievelden ART gaat over in SRT voor LLF Zondergravitatiegeldt de minkowskimetriek Voorzwakkegravitatieveldengeldt Neemaandatmetriekstationair is Neemaan het deeltjelangzaambeweegt Wereldlijn van vrij-vallenddeeltje Christoffelsymbool Metriekstationair Newtoniaanselimiet van ART Newton Aarde Zon Witte dwerg

19. Kromming van de tijd Ruimtetijdkrommingzorgtvoorkromming van de tijd Klok in rust Tijdintervaltussen twee tikken Beschrijftbanen van deeltjes in ruimtetijd Ruimtetijdinterval Baan van een bal en eenkogel Ruimtelijkekromming is zeerverschillend

20. Kromming in ruimtetijd In werkelijkheidzijn de banen (geodeten) volledigrecht, en is ruimtetijdgekromd